WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.740
함수 y＝(x－3)²×(x－1)이 있습니다

00:00:00.740 --> 00:00:03.720
함수 y＝(x－3)²×(x－1)이 있습니다

00:00:03.720 --> 00:00:05.370
함수 y＝(x－3)²×(x－1)이 있습니다

00:00:05.370 --> 00:00:08.390
구하고 싶은 것은

00:00:08.390 --> 00:00:10.480
이 함수의 x＝1부터 x＝3부분까지의 부분을

00:00:10.480 --> 00:00:13.130
회전시킨 것입니다

00:00:13.130 --> 00:00:15.400
이 식에서 x＝3이고 x＝1일 때는

00:00:15.400 --> 00:00:18.530
함수를 0으로 만드는 값들입니다

00:00:18.530 --> 00:00:22.760
이렇게 생긴 영역을

00:00:22.760 --> 00:00:25.120
y축에 대해 회전시켜 봅시다

00:00:25.120 --> 00:00:27.460
회전시키면

00:00:27.460 --> 00:00:28.760
이런 모양을 얻을 수 있습니다

00:00:28.760 --> 00:00:31.880
이 모양의 부피를 구해봅시다

00:00:31.880 --> 00:00:34.480
여기서 사용할 방법은

00:00:34.480 --> 00:00:37.487
원주각 방법이라는 새로운 방법입니다

00:00:37.487 --> 00:00:39.820
원주각 방법을 사용하는 이유는

00:00:39.820 --> 00:00:41.236
예전에 배울 때는

00:00:41.236 --> 00:00:43.450
수직선에 대해 회전시켰고

00:00:43.450 --> 00:00:44.550
디스크 방법을 사용했습니다

00:00:44.550 --> 00:00:46.445
모든 식을 y에 대한 함수로 표현했죠

00:00:46.445 --> 00:00:47.320
모든 식을 y에 대한 함수로 표현했죠

00:00:47.320 --> 00:00:48.360
모두 디스크 형태로 표현했습니다

00:00:48.360 --> 00:00:50.440
그리고 각 디스크에 대해 부피를 구했고요

00:00:50.440 --> 00:00:52.710
하지만 여기서 문제는

00:00:52.710 --> 00:00:55.980
함수를 y에 대해 표현하기 어렵다는 것입니다

00:00:55.980 --> 00:00:59.830
이 식을 어떻게 y만으로 표현할 수 있나요?

00:00:59.830 --> 00:01:02.040
따라서 그 대신에 식을 x에 대한 항으로 남기고

00:01:02.040 --> 00:01:05.129
다른 기하학적 시각화 방법으로

00:01:05.129 --> 00:01:06.746
부피를 구해보자 합니다

00:01:06.746 --> 00:01:08.620
디스크를 만드는 과정 대신에

00:01:08.620 --> 00:01:11.820
껍질을 만드는 과정을 상상해 봅시다

00:01:11.820 --> 00:01:13.780
껍질은 무엇을 뜻할까요?

00:01:13.780 --> 00:01:19.770
적분 구간의 각 x 구간을 잘라

00:01:19.770 --> 00:01:22.400
사각형을 만들 수 있습니다

00:01:22.400 --> 00:01:25.010
이 사각형을 회전시키면 어떻게 될까요?

00:01:25.010 --> 00:01:29.030
여기 이 직사각형입니다

00:01:29.030 --> 00:01:33.460
이 모든 사각형을 y축을 따라서 회전시킨다면 어떻게 될까요?

00:01:33.460 --> 00:01:36.740
이 모든 사각형을 y축을 따라서 회전시킨다면 어떻게 될까요?

00:01:36.740 --> 00:01:38.430
최대한 그려보겠습니다

00:01:38.430 --> 00:01:43.480
최대한 그려보겠습니다

00:01:43.480 --> 00:01:45.130
이런 식으로 보이겠죠

00:01:45.130 --> 00:01:46.750
이런 식으로 보이겠죠

00:01:46.750 --> 00:01:50.260
왼쪽 그림과는 전혀 다른 모양입니다

00:01:50.260 --> 00:01:52.420
왼쪽 그림과는 전혀 다른 모양입니다

00:01:52.420 --> 00:01:54.930
마치 속이 빈 원기둥처럼 보입니다

00:01:54.930 --> 00:01:56.720
그게 바로 이를 껍질이라고 
부르는 이유일 겁니다

00:01:56.720 --> 00:01:58.200
껍질은 약간의 깊이를 가질 것이고

00:01:58.200 --> 00:01:59.525
그 깊이는 dx 정도가 됩니다

00:01:59.525 --> 00:02:08.294
그 깊이는 dx 정도가 됩니다

00:02:08.294 --> 00:02:09.669
그리고 이 높이는 함숫값이 될 것입니다

00:02:09.669 --> 00:02:11.950
그리고 이 높이는 함숫값이 될 것입니다

00:02:11.950 --> 00:02:12.960
높이는 f(x)입니다

00:02:12.960 --> 00:02:17.030
이 경우에서 f(x)＝(x－3)²×(x－1)입니다

00:02:17.030 --> 00:02:21.620
이런 원기둥 모양의 부피를 어떻게 알아낼까요?

00:02:21.620 --> 00:02:28.570
만약 원기둥의 둘레를 알고 있다면

00:02:28.570 --> 00:02:31.870
둘레에 원기둥의 높이를 곱하면 됩니다

00:02:31.870 --> 00:02:33.970
둘레에 원기둥의 높이를 곱하면 됩니다

00:02:33.970 --> 00:02:36.890
원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다면

00:02:36.890 --> 00:02:38.220
원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다면

00:02:38.220 --> 00:02:40.730
원기둥의 겉넓이에 미소 깊이를 곱해주어

00:02:40.730 --> 00:02:43.660
원기둥의 겉넓이에 미소 깊이를 곱해주어

00:02:43.660 --> 00:02:45.080
원기둥의 부피를 구할 수 있습니다

00:02:45.080 --> 00:02:47.714
이제 원기둥가 아닌 껍질이라 부릅시다

00:02:47.714 --> 00:02:48.630
이제 원기둥가 아닌 껍질이라 부릅시다

00:02:48.630 --> 00:02:51.630
껍질의 둘레는 얼마입니까?

00:02:51.630 --> 00:02:55.560
껍질의 둘레는 얼마입니까?

00:02:55.560 --> 00:02:58.150
한 껍질의 둘레는 얼마나 될까요?

00:02:58.150 --> 00:03:02.950
둘레는 껍질의 반지름의 2π배 만큼의 값을 가집니다

00:03:02.950 --> 00:03:05.130
x에 대한 함수로 나타내 보죠

00:03:05.130 --> 00:03:06.810
어떤 식으로 표현될까요?

00:03:06.810 --> 00:03:08.720
처음에는 2π를 곱하고

00:03:08.720 --> 00:03:11.210
주어진 x에 대해 반지름은 어떻게 표현될까요?

00:03:11.210 --> 00:03:15.150
반지름은 각 x에 대해 y축과 떨어진 수평 거리인

00:03:15.150 --> 00:03:18.540
반지름은 각 x에 대해 y축과 떨어진 수평 거리인

00:03:18.540 --> 00:03:20.120
x입니다

00:03:20.120 --> 00:03:21.590
따라서 이 경우의 둘레는

00:03:21.590 --> 00:03:26.560
2π×x입니다

00:03:26.560 --> 00:03:33.580
이제 많은 껍질 중 어느 값이 높이가 될까요?

00:03:33.580 --> 00:03:37.100
높이는 f(x)가 됩니다

00:03:37.100 --> 00:03:38.710
바로 여기 f(x)입니다

00:03:38.710 --> 00:03:42.920
껍질 외부 겉넓이는 어떻게 될까요?

00:03:42.920 --> 00:03:47.830
"외부" 표면적 넓이로 표기합시다

00:03:47.830 --> 00:03:50.690
"외부" 표면적 넓이로 표기합시다

00:03:50.690 --> 00:03:53.007
지금은 깊이 dx에 대해 생각하지 말고

00:03:53.007 --> 00:03:55.340
상단 부분과 하단 부분에 대해서도 생각하지 맙시다

00:03:55.340 --> 00:03:58.237
그저 겉넓이에 대해서만 생각합시다

00:03:58.237 --> 00:03:59.820
즉 겉넓이는

00:03:59.820 --> 00:04:01.778
원주에 높이를 곱한 값이 됩니다

00:04:01.778 --> 00:04:07.670
즉 2π×x×f(x)입니다

00:04:07.670 --> 00:04:09.516
그리고 이 상황에서는

00:04:09.516 --> 00:04:10.890
그리고 이 상황에서는

00:04:10.890 --> 00:04:17.920
2π×x×(x－3)²×(x－1)로 표현됩니다

00:04:17.920 --> 00:04:19.630
2π×x×(x－3)²×(x－1)로 표현됩니다

00:04:19.630 --> 00:04:21.250
부피는 어떻게 될까요?

00:04:21.250 --> 00:04:26.690
껍질의 부피는

00:04:26.690 --> 00:04:31.680
이 식 전체에 dx를 곱한 값이 됩니다

00:04:31.680 --> 00:04:38.670
2π×x×f(x)×dx입니다

00:04:38.670 --> 00:04:41.850
자 이제 적분할 준비가 다 됐습니다

00:04:41.850 --> 00:04:46.190
따라서 전체 모양의 부피는

00:04:46.190 --> 00:04:48.020
정적분이 될 것입니다

00:04:48.020 --> 00:04:50.436
모든 간격의 x에 대해 적분합시다

00:04:50.436 --> 00:04:58.480
x＝1부터 x＝3까지 모두 더해봅시다

00:04:58.480 --> 00:05:00.220
2π를 적분 기호 앞으로 꺼내고

00:05:00.220 --> 00:05:02.730
2π를 적분 기호 앞으로 꺼내고

00:05:02.730 --> 00:05:05.970
적분 기호 안쪽에는

00:05:05.970 --> 00:05:09.910
x×f(x)가 있습니다

00:05:09.910 --> 00:05:17.000
즉 x×(x－3)²×(x－1)이고

00:05:17.000 --> 00:05:18.700
즉 x×(x－3)²×(x－1)이고

00:05:18.700 --> 00:05:22.715
그 뒤에 dx를 가지고 있습니다

00:05:22.715 --> 00:05:23.590
그 뒤에 dx를 가지고 있습니다

00:05:23.590 --> 00:05:26.740
원주각 방법을 이용해

00:05:26.740 --> 00:05:31.320
이상한 모양의 부피를 
정적분식으로 표현했습니다

00:05:31.320 --> 00:05:32.000
이상한 모양의 부피를 
정적분식으로 표현했습니다

00:05:32.000 --> 00:05:34.000
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