함수 y＝(x－3)²×(x－1)이 있습니다
구하고 싶은 것은
이 함수의 x＝1부터 x＝3부분까지의 부분을
회전시킨 것입니다
이 식에서 x＝3이고 x＝1일 때는
함수를 0으로 만드는 값들입니다
이렇게 생긴 영역을
y축에 대해 회전시켜 봅시다
회전시키면
이런 모양을 얻을 수 있습니다
이 모양의 부피를 구해봅시다
여기서 사용할 방법은
원주각 방법이라는 새로운 방법입니다
원주각 방법을 사용하는 이유는
예전에 배울 때는
수직선에 대해 회전시켰고
디스크 방법을 사용했습니다
모든 식을 y에 대한 함수로 표현했죠
모두 디스크 형태로 표현했습니다
그리고 각 디스크에 대해 부피를 구했고요
하지만 여기서 문제는
함수를 y에 대해 표현하기 어렵다는 것입니다
이 식을 어떻게 y만으로 표현할 수 있나요?
따라서 그 대신에 식을 x에 대한 항으로 남기고
다른 기하학적 시각화 방법으로
부피를 구해보자 합니다
디스크를 만드는 과정 대신에
껍질을 만드는 과정을 상상해 봅시다
껍질은 무엇을 뜻할까요?
적분 구간의 각 x 구간을 잘라
사각형을 만들 수 있습니다
이 사각형을 회전시키면 어떻게 될까요?
여기 이 직사각형입니다
이 모든 사각형을 y축을 따라서 회전시킨다면 어떻게 될까요?
최대한 그려보겠습니다
이런 식으로 보이겠죠
왼쪽 그림과는 전혀 다른 모양입니다
마치 속이 빈 원기둥처럼 보입니다
그게 바로 이를 껍질이라고 부르는 이유일 겁니다
껍질은 약간의 깊이를 가질 것이고
그 깊이는 dx 정도가 됩니다
그리고 이 높이는 함숫값이 될 것입니다
높이는 f(x)입니다
이 경우에서 f(x)＝(x－3)²×(x－1)입니다
이런 원기둥 모양의 부피를 어떻게 알아낼까요?
만약 원기둥의 둘레를 알고 있다면
둘레에 원기둥의 높이를 곱하면 됩니다
원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다면
원기둥의 겉넓이에 미소 깊이를 곱해주어
원기둥의 부피를 구할 수 있습니다
이제 원기둥가 아닌 껍질이라 부릅시다
껍질의 둘레는 얼마입니까?
한 껍질의 둘레는 얼마나 될까요?
둘레는 껍질의 반지름의 2π배 만큼의 값을 가집니다
x에 대한 함수로 나타내 보죠
어떤 식으로 표현될까요?
처음에는 2π를 곱하고
주어진 x에 대해 반지름은 어떻게 표현될까요?
반지름은 각 x에 대해 y축과 떨어진 수평 거리인
x입니다
따라서 이 경우의 둘레는
2π×x입니다
이제 많은 껍질 중 어느 값이 높이가 될까요?
높이는 f(x)가 됩니다
바로 여기 f(x)입니다
껍질 외부 겉넓이는 어떻게 될까요?
"외부" 표면적 넓이로 표기합시다
지금은 깊이 dx에 대해 생각하지 말고
상단 부분과 하단 부분에 대해서도 생각하지 맙시다
그저 겉넓이에 대해서만 생각합시다
즉 겉넓이는
원주에 높이를 곱한 값이 됩니다
즉 2π×x×f(x)입니다
그리고 이 상황에서는
2π×x×(x－3)²×(x－1)로 표현됩니다
부피는 어떻게 될까요?
껍질의 부피는
이 식 전체에 dx를 곱한 값이 됩니다
2π×x×f(x)×dx입니다
자 이제 적분할 준비가 다 됐습니다
따라서 전체 모양의 부피는
정적분이 될 것입니다
모든 간격의 x에 대해 적분합시다
x＝1부터 x＝3까지 모두 더해봅시다
2π를 적분 기호 앞으로 꺼내고
적분 기호 안쪽에는
x×f(x)가 있습니다
즉 x×(x－3)²×(x－1)이고
그 뒤에 dx를 가지고 있습니다
원주각 방법을 이용해
이상한 모양의 부피를 정적분식으로 표현했습니다
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