Introduktion til potenser med en rationel eksponent

Hvad betyder det, når et tal er opløftet til en potens, der er en stambrøk, som 3 opløftet til 1/2?

Vi har allerede lært om heltals potenser – først positive og senere også negative. I Algebra 2 udvider vi dette begreb til at omfatte rationelle eksponenter. Vi skal definere, hvad de betyder og bruge dem til at omskrive eksponentielle udtryk på forskellige måder.

Algebra 2, som ofte bliver undervist i gymnasiet, dækker polynomier; komplekse tal; brøk eksponenter; eksponentielle og logaritmiske funktioner; trigonometriske funktioner; transformation af funktioner; brøk funktioner; og fortsætter med ligninger og modellering. Khan Academy's Algebra 2 kursus er bygget til at levere en omfattende, oplysende, engagerende oplevelse!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Vi ved allerede en del om potenser.

Hvis vi tager tallet 4 og
opløfter det til tredje potens,

så svarer det til at tage
tre 4-taller og gange dem.

Men du kan også starte med et 1-tal

og gange 1 med 4, eller
gange det med 4 tre gange.

Uanset så bliver resultatet

4 gange 4 er 16 gange 4 er 64.

Vi ved også lidt om negative eksponenter.

Hvis vi har 4⁻³, så fortæller dette minus,

at vi skal tage det
reciprokke i tredje (1/4³).

Da vi allerede ved at 4³ er lig 64,

så bliver det 1/64

Lad os nu gå videre med
brøker som eksponenter.

Hvad er 4 opløftet i 1/2?

Jeg opfordrer dig til at sætte videoen
på pause og tænk over det.

Den konvention, som alle bruger, er

at 4 opløftet i 1/2 er præcis det
samme som kvadratroden af 4.

Vi vil snakke om hvorfor det er
sådan i en anden video,

men det resulterer i alle mulige smarte
regneregler du kan bruge,

når du omskriver eksponenter.

Hvad er kvadratroden af 4?

Det er det tal som ganget med sig selv,

eller hvis jeg har to af dem og ganger
dem sammen og det giver 4.

Hvad gange sig selv er 4?

Det er naturligvis 2.

Blot for at få en ide om,
hvorfor dette er så smart,

så husk vi kan skrive 4 er lig 2².

Du kan begynde, at se noget interessant.

4 opløftet i 1/2 er lig 2,
2 opløftet i 2 er lig 4.

Lad os lave et par eksempler mere

for at være sikker på du ser,
hvad der sker.

Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på
pause og selv prøve.

Ud fra hvad jeg lige har fortalt dig,

hvad tro du så 9 opløftet til 1/2 er?

Det er jo blot kvadratroden af 9.

Kvadratroden af 9 er 3.

Vi kan også skrive,
at 9 er lig 3 opløftet til 2.

Begge disse udsagn er sande.

Lad os lave en mere.

Hvad er 25 opløftet i 1/2?

Det er jo blot 5.

5 gange 5 er 25.

Og du kan sige 25 er lig 5 opløftet i 2.

Lad os nu overveje, hvad der sker,
når noget er opløftet i 1/3.

Lad os sige 8 opløftet i 1/3.

Definitionen er at noget opløftet i 1/3

er det samme som kubikroden af det tal.

Kubikroden betyder, hvilket tal ganget
med sig selv tre gange giver 8?

Noget gange noget gange noget er 8.

Vi ved allerede,
at 8 er lig 2 opløftet i 3.

Derfor er kubikroden af 8 eller
8 opløftet i 1/3 er lig med 2.

Det betyder tallet gange tallet
gange tallet som giver 8.

Det tal er 2, da 2 opløftet i 3 er 8.

Lad os lave et par eksempler mere.

Hvad er 64 opløftet i 1/3?

Vi ved allerede,
at 4 gange 4 gange 4 er 64.

Så det bliver 4.

Vi har allerede skrevet, at 64 er
det samme som 4 opløftet i 3.

Jeg tror, du begynder at se et
mønster med en smule symmetri.

Vi kan udvide dette til vilkårlige
rationelle eksponenter.

Hvad sker der, hvis vi opløfter

-- lad mig finde på et godt tal --

lad os sige 32 og opløfter det i 1/5?

Jeg skal finde det tal, der ganget
med sig 5 gange giver 32.

32 er det samme som 2 gange 2
gange 2 gange 2 gange 2.

2 er det tal, som ganget med
sig selv 5 gange bliver 32.

Vi kan skrive 2 her.

Dette er en anden måde at skrive
32 er lig 2 opløftet i 5.