-
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือพูดถึงสิ่งที่เรียกว่ากระจายผลคูณสามชั้น
-
หรือสูตรของลากรานจ์
-
มันคือการลดรูปครอสโปรดัคของเวกเตอร์สามตัว
-
หากผมหาครอสโปรดัคของ A แล้วก็ B ครอส C
-
สิ่งที่เราจะทำคืออย่างนี้
-
เราสามารถเขียนนี่เป็นผลบวกและผลต่างของดอทโปรดัค
-
ไม่ใช่แค่ดอทโปรดค แต่เป็นดอทโปรดัคไปขยายเวกเตอร์ต่าง ๆ
-
คุณจะเห็นเองว่าผมหมายถึงอะไร
-
แต่มันจะลดรูปพจน์นี้หน่อย เพราะครอสโปรดัคมันหายาก
-
มันคำนวณยากและ, อย่างน้อยในความเห็นผม, มันชวนงง
-
ทีนี้, นี่คือไม่ใช่สิ่งที่คุณต้องรู้ หากคุณต้องยุ่งกับเวกเตอร์
-
แต่มันมีประโยชน์ทีเดียว
-
แรงบันดาลใจให้ผมทำวิดีโอนี้คือ ผมเห็นโจทย์ของข้อสอบเข้า Indian Institute of Technology
-
เหมือนเขาคาดไว้ว่า คุณต้องรู้สูตรของลากรานจ์ หรือการกระจายโปรดัคสามชั้น
-
งั้นลองดูว่าเราจะลดรูปนี่ได้อย่างไร
-
ในการทำยอ่างนั้น, ลองหาครอสโปรดัค
-
ครอสโปรดัคของ B กับ C ก่อน
-
ในกรณนีพวกนี้, ผมจะสมมุติว่าเรามีเวกเตอร์ A
-
ผมจะเรียก A นั่น, องค์ประกอบ x ของเวกเตอร์ A คูณเวกเตอร์หน่วย i,
-
บวกองค์ประกอบ y ของเวกเตอร์ A คูณเวกเตอร์หน่วย j,
-
บวกองค์ประกอบ z ของเวกเตอร์ A คูณเวกเตอร์หน่วย k
-
ผมทำแบบเดียวกันกับ B และ C ได้
-
งั้นหากผมบอกว่า B ห้อย y, ผมกำลังพูดถึงตัวที่ขยายองค์ประกอบ j ของเวกเตอร์ B
-
งั้นลองหาครอสโปรดัคตรงนี้ก่อน
-
แบบที่คุณเห็นผมตอนหาครอสโปรดัค
-
คุณก็รู้ว่าผมชอบทำแบบดีเทอร์มีแนนต์
-
แล้วก็, ขอผมเอามาไว้ตรงนี้นะ
-
B ครอส C, B ครอส C, จะเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์
-
ผมใส่ i,j, k บนนี้
-
i j k
-
นี่ก็คือนิยามของครอสโปรดัค
-
ไม่ต้องพิสูจน์อะไร
-
ขอผมทำให้ดูว่าทำไมถึงเป็นจริง
-
นี่เป็นแค่วิธีจำดอทโปรดัคเท่านั้น
-
หากคุณจำวิธีการหาดีเทอร์มีแนนต์ของ 3 คูณ 3 ได้
-
เราจะได้เทอม x ของ B, สัมประสิทธิ์ y ของ B, และองค์ประกอบ z ของ B [เทอม สัมประสิทธิ์ และองค์ประกอบใช้แทนกันได้]
-
แล้วคุณก็ทำแบบเดียวกับ C
-
Cx, Cy, Cz
-
แล้วนี่จะเท่ากับ
-
อย่างแรกที่คุณทำคือ องค์ประกอบ i,
-
มันจะเท่ากับองค์ประกอบ i คูณ B, คุณก็ลืมคอลัมน์นี่กับแถวนี้ไป
-
แล้ว [คูณ] Cz, By Cz
-
ลบ Bz [คูณ] Cy, ลบ -
-
ผมไม่สนใจพวกนี้, ผมแค่ดูที่ 2 คูณ 2 ตรงนี้
-
ลบ Bz Cy, ลบ Bz Cy
-
แล้วเราก็ลบองค์ประกอบ j
-
จำไว้ว่าเราเปลี่ยนเครื่องหมายตอนเราหาดีเทอร์มีแนนต์
-
ลบนั่น, แล้วเราก็เอาคอลัมน์นั่นกับแถวนั่นมา มันก็จะ
-
มันจะเป็น Bx [คูณ] Cz, Bx Cz
-
มันดูน่าเบื่อไปหน่อย แต่มันจะให้ผลที่น่าประทับใจนะ
-
Bx Cz ลบ Bz [คูณ] Cx, ลบ Bz, คูณ Bz Cx
-
และสุดท้าย บวกองค์ประกอบ k
-
k, เราจะได้ Bx คูณ Cy, Bx Cy ลบ By Cx, ลบ By Cx
-
นี่ก็, นี่ เราได้หาดอทโปรดัคแล้ว
-
ทีนี้เราอยากหา -- โทษทีเราหาครอสโปรดัคไป
-
ผมไม่อยากให้คุณงง เราเพิ่งหาครอสโปรดัคของ B กับ C ไป
-
ทีนี้เราจะหาครอสโปรดัคของมันกับ A
-
หรือครอสโปรดัคของ A กับสิ่งนี่ตรงนี้
-
ลองทำดู -
-
แทนที่จะเขียนเวกเตอร์นี้ใหม่, ผมจะตั้งเมทริกซ์ใหม่ตรงนี้
-
ขอผมเขียน i,j,k บนนี้ -
-
แล้วขอผมเขียนองค์ประกอบของ A แล้วเราได้ -
-
A ห้อย x, A ห้อย y, A ห้อย z
-
แล้วก็ลบนี่ออกหน่อย
-
ลืมนี่ไปซะ, เราจะดูแค่ --
-
ไม่ ผมอยากใช้สีดำมากกว่า
-
ลองทำด้วยสีดำดีกว่า จะได้ลบนั่นได้
-
นี่คือ a, นี่คือ a ลบ j คูณนั่น, สิ่งที่ผมจะทำ
-
ก็คือผมเอาเครื่องหมายลบกับ j ออกไป
-
แต่ผมจะเขียนนี่ใหม่ให้เครื่องหมายสลับ
-
นี่ก็จะเป็น ---
-
นี่ก็จะได้ สลับเครื่องหมาย
-
Bz Cx ลบ Bx, ลบ Bx Cz
-
ขอผมลบอย่างอื่นนะ
-
ผมแค่เอาเครื่องลบมาแล้วคูณกับนี่เข้าไป
-
ผมไม่ได้ทำอะไรพลาดนะ แล้วผมก็ ผมก็ทำ --
-
เลือกขนาดแปรงให้ใหญ่หน่อย ผมจะได้ลบดี ๆ
-
ได้แล้ว แล้วเราก็อยากเอาเจ้านั่นตรงนั้นออกไป -
-
ขอผมเอาแปรงกลับมาเป็นธรรมดาหน่อย ได้แล้ว!
-
ทีนี้ลองหาครอสโปรดัคนี่กัน
-
เหมือนเดิมม, ตั้งมันขึ้น, ตั้งดีเทอร์มีแนนต์ขึ้นมา
-
สิ่งที่ผมจะสนใจ -
-
เพราะมันใช้วิดีโอ, มันใช้เวลานานมากถ้าผมทำอย่างนั้น, หากผมทำองค์ประกอบ i,j และ k,
-
ผมจะสนใจองค์ประกอบ i ก่อน, แค่องค์ประกอบ x ของครอสโปรดัคนี่
-
แล้วเราจะเห็นว่าเราได้ผลเหมือนกันสำหรับ j และ k
-
แล้วเราก็หวังว่ามันจะลดรูปได้
-
แล้วหากเราสนใจแค่องค์ประกอบ i ตรงนี้
-
นี่จะเป็น
-
นี่จะเป็น i,
-
i คูณ, เราก็แค่ดูเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 2 ตรงนี้
-
เราไม่สนคอลัมน์ i แถว i
-
แล้วเราได้
-
Ay คูณทั้งหมดนี่
-
ขอผมคูณมันออกมานะ มัน
-
ได้ Ay คูณ Bx Cy ลบ, ลบ Ay คูณ By, คูณ By Cx, By Cx
-
แล้วก็, เราอยากลบ
-
เราอยากลบมันด้วย Az คูณนี่
-
ลองทำดู
-
มันคือ ลบ, ลบ Az Bz Cx,
-
แล้วเราได้ลบ Az คูณนี่, มันก็
-
คือบวก Az Bx Cz
-
ทีนี้ผมจะทำอย่างนี้ -
-
นี่เป็นกลเม็ดในการพิสูจน์ตรงนี้
-
แค่ให้เราได้ผลอย่างที่ผมต้องการ
-
ผมจะบวกและลบพจน์เดียวกัน
-
ผมจะบวก Ax Bx Cx
-
แล้วผมก็ลบ Ax Bx Cx
-
แน่นอนผมไม่ได้เปลี่ยนพจน์นี้ไป
-
ผมแค่บวกแล้วลบของอย่างเดียวกัน
-
ลองดูว่าเราจะจัดรูปมันได้อะไร
-
จำไว้, นี่แค่องค์ประกอบ x ของผลคูณสามชั้น
-
แต่องค์ประกอบ x
-
เมื่อทำแบบนี้, ขอผมดึงตัวร่วมนะ -
-
ผมจะดึงเอา B ห้อย x, ขอผมอย่างนี้นะ
-
เราได้ B ห้อย x
-
หากเราดึงมันออกมา
-
ผมก็แค่ดู
-
ผมก็แค่ดึงออกมาจากเทอมนี้ มี B ห้อย x
-
และผมจะดึงมันออกมาจากเทอมนี้
-
แล้วผมก็ดึงออกมาจากเทอมนี้ด้วย
-
งั้นหากผมถึง B ห้อย x, ออกมา
-
ผมจะได้ Ay Cy
-
ที่จริง ขอผมเขียนมันอีกแบบดีกว่า
-
ขอผมดึงมัน, ขอผมดึงจากอันนี้ก่อน
-
นั่นคือ A, มันจะเป็น Ax Cx
-
A ห้อย x, C ห้อย x
-
ผมใช้อันนี้ไปแล้ว
-
แล้วผมจะได้ ผมจะทำอันนี้แล้ว
-
บวก, หากผมดึง B ห้อย x ออกมา, ผมจะได้ A ห้อย y, C ห้อย y
-
ผมใช้อันนั้นแล้ว, แล้วตอนนี้ผมจะใช้อันนี้
-
ผมจะดึง B ห้อย x ออกมา,
-
ผมก็เหลือ บวก A ห้อย z, C ห้อย z
-
นั่นหมดแล้ว, เราดึงมันหมดแล้ว
-
แล้วจากพวกนี้ -
-
จากพวกนี้ตรงนี้, ผมจะดึงเอา ลบ C ห้อย x ออกมา
-
ลบ C ห้อย x
-
ถ้าผมทำอย่างนั้น, ขอผมไปถึงเทอมนี่ตรงนี้ก่อน
-
ผมจะได้ Ax Bx
-
กาออกไป
-
แล้วก็ตรงนี้ ผมมี Ay By
-
จำไว้ ผมกำลังดึง ลบ C ห้อย x ออกมา
-
แล้วผมจะได้ บวก A ห้อย y, B ห้อย y
-
แล้วสุดท้ายผมจะได้ บวก A ห้อย z,
-
A ห้อย z, B ห้อย z
-
แล้วนี่คืออะไร!
-
นี่ตรงนี้สีเขียว
-
นี่มันคือดอทโปรดัคของ A กับ C
-
นี่คือดอทโปรดัคของเวกเตอร์ A กับ C
-
มันคือดอทโปรดัค
-
ของเวกเตอร์นี้กับเวกเตอร์นั้น
-
มันก็คือ
-
ดอทโปรดัคของ A กับ C คูณองค์ประกอบ x ของ B
-
คูณองค์ประกอบ x, องค์ประกอบ x ของ B
-
ลบ, ผมจะทำแบบเดียวกันนี้
-
ลบ, เหมือนเดิมนี่คือดอทโปรดัคของ A กับ B ตรงนี้
-
ลบ A ดอท B, A ดอท B
-
คูณองค์ประกอบ x ของ C
-
เรายังไม่ลืมว่าทั้งหมดนี่
-
คูณด้วยเวกเตอร์หน่วย i
-
เราดูที่องค์ประกอบ x, หรือองค์ประกอบ i
-
ของโปรดัคสามชั้นทั้งหมดนั่น
-
นั่นก็จะเป็นทั้งหมดนี่
-
มันคือทั้งหมดนี้, คูณเวกเตอร์หน่วย i
-
ทีนี้, หากเราทำแบบเดียวกันนี้
-
ผมจะไม่ทำนะ, เพราะมัน, มันต้องคำนวณเยอะ
-
แต่ผมว่ามัน, มันไม่ใช่ความเชื่ออะไรที่เลื่อนลอยเลย
-
นี่สำหรับองค์ประกอบ x
-
หากผมทำแบบเดียวกันสำหรับองค์ประกอบ y, สำหรับองค์ประกอบ j
-
มันจะเป็น บวก
-
หากผมแบบเดียวกันกับองค์ประกอบ j
-
เราจะเห็นว่ารูปแบบตรงกัน
-
เราะจะได้, เราได้ B ห้อย x, C ห้อย x
-
นั่นคือองค์ประกอบ x
-
แล้วเราจะได้ B ห้อย y, และ C ห้อย y สำหรับองค์ประกอบ j
-
แล้วนี่มันไม่ได้เฉพาะกับองค์ประกอบใด
-
มันเลยเป็น A ดอท, A ดอท C ตรงนี้,
-
ลบ A ดอท B ตรงนี้
-
คุณตรวจสอบได้ด้วยตัวเอง หากคุณไม่เชื่อผม
-
แต่มันคือวิธีเดียวกับที่เราเพิ่งทำไป
-
แล้วสุดท้ายสำหรับองค์ประกอบ z, หรือองค์ประกอบ k
-
ขอผมใส่วงเล็บตรงนี้นะ
-
เหมือนกันเลย!
-
B ห้อย z, C ห้อย z
-
แล้วคุณจะได้ A ดอท B ตรงนี้
-
และ A ดอท C ตรงนี้!
-
ทีนี้, อะไร, นี่จะกลายเป็นอะไร?
-
เราจะจัดรูปนี่ยังไง?
-
ทีนี้นี่ตรงนี้ -
-
เราขยายนี่ออกได้
-
เราดึง A ดอท C จากทุกเทอมตรงนี้ได้
-
จำไว้ว่านี่จะเป็นจำนวนคูณ i
-
ผมจะไม่ข้ามขั้นมากไปนะ
-
เพราะผมอยากให้คุณเชื่อสิ่งที่ผมทำจริง ๆ
-
งั้นนี่, หากเราขยาย i ตรงนี้
-
แทนที่จะเขียนมันใหม่, ขอผมทำแบบนี้นะ
-
เลอะหน่อย, แต่ผมแค่, ผมเขียน i นี่กับ i นี่ได้
-
ผมแค่กวน x,
-
เวกเตอร์หน่วย x, หรือเวกเตอร์หน่วย i
-
ขอผมทำแบบเดียวกับ j
-
ผมก็ใส่ j ตรงนี้ และใส่ j ตรงนั้นได้
-
แล้วก็ทำแบบเดียวกันกับ k
-
ใส่ k ตรงนี้แล้วก็ k ตรงนั้น
-
แล้วพวกนี้คืออะไร!
-
ส่วนนี่ตรงนี้
-
ส่วนนี่ตรงนี้เหมือนกับ A ดอท C
-
A ดอท C คูณ Bx
-
B ห้อย x คูณ i, บวก B ห้อย y คูณ j
-
บวก B ห้อย y คูณ j
-
บวก B ห้อย z คูณ k!
-
แล้วจากนั้น เราจะลบทั้งหมดนี่
-
A ดอท B, เราจะลบ A ดอท B
-
คูณเหมือนกันหมด!
-
คุณจะสังเกตได้ว่านี่เหมือนกับเวกเตอร์ B เลย!
-
นั่นคือเวกเตอร์ B, และตอนคุณทำมันตรงนี้ คุณจะได้เวกเตอร์ C
-
ผมจะเขียนมันตรงนี้นะ
-
คุณจะได้เวกเตอร์ C
-
แบบนั้น, เราได้,
-
เราได้รูปที่ง่ายขึ้นของโปรดัคสามชั้นแล้ว!
-
ผมรู้ว่ามันใช้เวลานานกว่าจะได้, แต่มันคือรูปที่ง่ายขึ้นแล้ว!
-
มันอาจดูไม่ใช่เท่าไหร่,
-
แต่ในการคำนวณมันง่ายกว่า คิดง่ายกว่า!
-
หากผมมี, ผมจะลองใช้สีดู, หากผมมี A ครอส
-
A ครอส B ครอส, ขอผมใช้สีต่าง ๆ กัน, C
-
เราเพิ่งเห็นว่านี่จะเท่ากับ
-
วิธีคิดอย่างนึงคือว่า
-
คุณเอาเวกเตอร์แรกคูณดอทโปรดัคของ
-
เวกเตอร์แรกในครอสโปรดัคอันที่สอง
-
อันที่เรามีวงเล็บล้อมรอบ, อันที่เราต้องทำก่อน
-
คุณก็เอาเวกเตอร์แรกนี้, งั้นเวกเตอร์ B
-
คุณก็คูณนั่นด้วยดอทโปรดัคของเวกเตอร์อีกสองตัว
-
คือ A ดอท C, A ดอท C
-
และจากนั้น คุณลบ
-
คุณลบเวกเตอร์ที่สอง [ในวงเล็บ]
-
คุณลบเวกเตอร์ที่สองคูณด้วยดอทโปรดัคระหว่างเวกเตอร์อีกสองตัว
-
A ดอท B
-
เราก็เสร็จแล้ว!
-
นี่คือโปรดัคสามชั้นของเรา
-
นี่คือการกระจายโปรดัคสามชั้นของเรา!
-
เหมือนเดิม, นี่ไม่ใช่
-
นี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณต้องรู้
-
คุณจะคูณ
-
คุณจะทำแบบนี้จริง ๆ, คุณก็รู้
-
คุณไม่ต้อง, คุณทำเองกับมือก็ได้,
-
คุณไม่ต้องรู้นี่ก็ได้
-
แต่หากคุณมีเวกเตอร์ยุ่งเหยิง
-
หรือหากนี่มาจากการแข่งขันเลข
-
บางครั้งมันลดรูปได้เยอะมากตอนคุณเปลี่ยนมันเป็นดอทโปรดัค
-
นี่คือสิ่งที่มีประโยชน์ที่จะรู้ไว้
-
สูตรของลากรานจ์, หรือการกระจายโปรดัคสามชั้น
Khan Academy
