Multiplying in Scientific Notation

Wir sollen Folgendes multiplizieren:

(1,45 x 10^8) (9,2 x 10^-12) (3,01 x 10^-5)

1,45 x 10^8) (9,2 x 10^-12) (3,01 x 10^-5).

Das Resultat sollen wir sowohl als Dezimalzahl wie auch in der Exponentialschreibweise

ausdrücken.

Hier haben wir 1,45 mal 10^8 mal ...

Ich könnte nun nochmals die Klammer setzen.

Stattdessen werde ich aber das Malzeichen setzen.

mal 9, 2 mal 10^-12.

Und dann noch 3,01 mal 10^-5.

Die Klammern oben heissen nichts anderes,

als dass hier diese Einheiten

miteinander multipliziert werden.

Und da hier überall multipliziert wird,

spielt die Reihenfolge der Multiplikation keine Rolle.

Somit kann ich also diese auch verändern.

Dies ist das Gleiche wie 1,45 ...

mal 9,2 mal 3,01 ...

mal 10^8 ...

...

mal 10^-12 mal 10^-5.

Und das ist nun deshalb nützlich,

weil ich alles mit 10 hoch etwas hier habe.

Ich könnte es auch in Klammern setzen.

Und hier habe ich alle ohne Hochzahl.

Nun kann ich vereinfachen.

Wenn ich die gleiche Basis habe (die 10),

dann kann ich die Hochzahlen addieren.

Das ist dann 10^8 minus ^12 minus ^5.

Für das auf der linken Seite hole ich einen

Taschenrechner raus. Ich habe 1,45 ...

man könnte es auch schriftlich ausrechnen, aber so geht es schneller und

ist weniger fehleranfällig ... mal 9,2 mal 3,01,

was gleich 40,1534 ist.

Wir haben hier 40,1534.

Und dies wird dann mit 10 hoch diesem multipliziert.

Vereinfachen wir die Hochzahlen:

40,1534 mal 10^8 minus ^12 minus ^5.

8 minus 12 ist gleich -4. -4 - 5 ist -9.

Wir erhalten 10^-9.

Man könnte nun annehmen, das dies bereits in

Exponentialschreibweise steht, weil ich hier eine Zahl habe,

welche man mit einer anderen hoch etwas multipliziert.

Aber das wäre nicht offiziell Exponentialschreibweise.

Und zwar deshalb nicht, weil für die

Exponentialschreibweise diese Zahl

grösser oder gleich 1 sowie weniger als 10 sein muss.

Dies ist aber offenkundig nicht weniger als 10.

Für die Exponentialschreibweise

wollen wir eine einstellige Zahl (nicht 0) hier.

Dann die Kommastelle

und dann der Rest.

Hier gehört also eine einstellige Zahl (nicht Null) hin.

Hier haben wir aber offensichtlich eine zweistellige Zahl.

Sie ist grösser als 10.

Es benötigt aber etwas kleiner als 10,

aber gleich gross oder grösser als 1.

Am besten ist nun, dies hier

in Exoponentialschreibweise zu schreiben.

Dies ist das Gleiche wie 4,01534 mal 10.

Um von 40 auf 4 zu kommen, müssen

wir hier die Kommastelle nach links verschieben.

Wenn man von 40 auf 4 verschiebt,

dann teilt man durch 10.

Deshalb müssen wir dann hier mit 10 multiplizieren, sodass sich der Wert nicht verändert.

Wir teilen durch 10 und multiplizieren dann mit 10.

Rechnet man das aus, also 4,01534 mal 10,

dann kommt man wieder auf diese 40,1534.

Somit haben wir hier 4,01534 mal 10^1.

Das ist das Gleiche wie 10 mal ...

dieses hier, mal 10^-9.

Hier haben wir nun wieder bei beiden die Basis 10.

Somit rechnen wir 10^1 mal 10^-9,

was 10^-8 ergibt.

Gesamthaft haben wir nun 4,01534 x 10^-8.

Damit haben wir es in der Exponentialschreibweise.

Wir sollen es aber sowohl als Dezimalzahl

wie in Exponentialschreibweise ausdrücken.

Wollen wir hier eine Dezimalzahl,

so müssen wir dies ausmultiplizieren.

Wir schreiben diese Zahlen aus.

Ich habe 4, 0, 1, 5, 3, 4.

Wenn ich diese Zahl betrachte,

dann beginnen wir mit der Kommastelle hier.

Jedes Mal teilen wir nun durch 10 respektive ich multipliziere mit 10^-1.

Ich verschiebe dies 1 Position nach links.

Wenn ich mit 10^-1 multipliziere,

ist dies das Gleiche, wie wenn ich durch 10 teile.

Ich verschiebe also die Kommastelle 1 Position nach links.

Hier multiplizieren wir aber 10^-8.

Man könnte auch sagen, dass wir durch 10^8 teilen.

Wir verschieben also die Kommastelle deren 8 Mal.

Wir verschieben die Kommastelle deren 8 Mal.

Vielleicht kann man es sich so merken:

Dies hier ist eine sehr, sehr kleine Zahl.

Wenn wir dies multiplizieren, dann sollte ich eine kleinere Zahl erhalten.

Somit verschiebt sich die Kommastelle nach links.

Wenn dies hier (Plus) 8 wäre,

dann bekäme die Zahl sehr gross.

Wenn ich 10 mit einem hohen Exponenten im Plus habe,

dann verschiebt sich die Kommastelle nach rechts.

Hier aber müsste das Resultat

nun kleiner sein als 4,01534.

Denn wir verschieben hier die Kommastelle 8 Positionen nach links.

Bis hier verschiebe ich 1 Position.

Für die nächsten 7 Positionen füge ich nun Nullen hinzu.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Nullen.

Zur Klarheit setze ich noch eine 0 vor die Kommastelle.

Wenn ich diese Ziffer hier dazurechne,

habe ich ein Total von 8 Ziffern.

Ich habe 7 Nullen, und diese Ziffer gibt dann 8 Ziffern.

Nochmals: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Aber am besten merkt man es sich so:

Ich starte mit der Kommastelle hier.

Dann verschiebe ich 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Positionen.

Dies wurde durch die 10^-8 verlangt.

Wir erhalten diese Zahl hier.

Und wenn du solche Zahlen siehst,

dann weisst du, warum man so etwas

in die Exponentialschreibweise umschreibt.

Es braucht so weniger Platz.

So wie hier weiss man sofort, wie gross die Zahl ungefähr ist.

Dies hier ist schwieriger zu schreiben.

Man könnte mitunter eine 0 vergessen oder

auch eine zu viel schreiben.

Man müsste sich sozusagen hinsetzen und die Nullen zählen, um herauszufinden,

wie gross die Zahl ungefähr ist.

Es sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Nullen.

Und dann diese Ziffer hier.

Das sind diese "8".

Die Zahl sieht so aber viel komplizierter aus

als jene in Exponentialschreibweise.