Pythagoras' Læresætning

Video, der gennemgår Pythagoras' læresætning.

.

Lad os nu snakke lidt om en af de mest berømte

læresætninger i matematikken.

Det er Pythagoras' læresætning.

Pythagoras' læresætning.

Den har med retvinklede trekanter at gøre.

En retvinklet trekant er en trekant,

der har en vinkel på 90 grader.

Her er det her vores vinkel

på 90 grader.

En 90 graders vinkel

bliver dannet, når den her side går lige fra venstre til højre,

og den her går lige op og ned.

De 2 sider står vinkelret på hinanden,

og vinklen mellem dem er 90 grader. Det er en ret vinkel.

Pythagoras' læresætning kan vi kun bruge,

når vi arbejder med retvinklede trekanter.

Den kan ikke bruges på andre typer trekanter.

Det læresætningen gør

er at fortælle os noget om

trekantens sidelængder.

Den her side er a, den her side er b, og den her side er c.

Læg mærke til, at c er

siden modsat vinklen på 90 grader.

Det er vigtigt at holde styr på, hvilken side der er hvad.

Pythagoras' læresætning fortæller os,

at a i anden plus b i anden

er lig med c i anden.

Den viden kan vi bruge.

Hvis vi kender 2 af sidelængderne i en retvinklet trekant,

kan vi bruge formlen til at finde den tredje.

Vi skal lige lære et nyt ord mere.

Den længste side i vores retvinklede trekant

er siden modsat den rette vinkel.

Det er den side, vi kalder c her.

Den side hedder også hypotenusen.

Hypotenusen.

Det er et svært ord for noget ret simpelt.

Vi kalder altså den længste side i en retvinklet trekant,

nemlig siden modsat den rette vinkel, kalder vi altså hypotenusen.

Nu, hvor vi har styr på Pythagoras' læresætning,

kan vi begynde at bruge den.

Det er en ting at kende sådan en formel,

men det bliver først rigtig sjovt, når man bruger den.

Lad os sige, at vi har en retvinklet trekant.

Vi tegner den lige lidt bedre.

Sådan.

Det her er en retvinklet trekant.

Den her side har længden 9.

Den her side har længden 7.

Vi skal finde længden af den her side.

Vi kalder den for c.

c er i det her tilfælde også hypotenusen.

Det er den længste side.

Vi ved altså, at summen af de andre sider i anden

er lig med c i anden.

Vi ved altså, at 9 i anden plus 7 i anden

er lig med c i anden.

9 i anden er 81 plus 7 i anden, som er 49.

80 plus 40 er 120.

Derudover har vi 1 plus 9, som er 10.

Det er altså lig med 130.

Lad os skrive det sådan.

Den venstre side er lig med 130,

og det er lig med c i anden.

Hvad vil c være lig med?

Lad os skrive det igen her.

c i anden er lig med 130,

eller c er lig med kvadratroden af 130.

Læg mærke til, at vi kun tager den positive kvadratrod,

fordi c skal være positiv.

Vi har med en afstand at gøre,

så vi skal ikke have negative værdier.

Derfor tager vi kun

den positive kvadratrod.

Det kan vi reducere yderligere.

Vi har tidligere reduceret rodtegn.

130 er 2 gange 65, som er 5 gange 13.

Alle de her er primtal, så vi kan ikke reducere mere.

c er altså lig med

kvadratoden af 130.

Lad os lave endnu en øvelse.

Vi beholder Pythagoras' læresætning her,

så man kan se,

hvad vi snakker om.

Lad os sige, at vi har en

retvinklet trekant her.

Den ser sådan her ud.

Sådan.

Det her er den rette vinkel.

Lad os sige, at den her side er a.

Den her side er 21,

og den her side er 35.

Måske tænker man instinktivt, at a vil være lig med

21 i anden plus 35 i anden.

Vi skal dog lægge mærke til, at vi kender hypotenusens længde her. Den er 35.

35 er vores c.

c er den længste side i trekanten.

Pythagoras' læresætning fortæller altså,

at a i anden plus den anden korte side i anden,

altså a i anden plus 21 i anden,

er lig med 35 i anden.

Vi skal altid huske,

at c i formlen er den længste side i vores retvinklede trekant.

Det er hypotenusen,

som er siden modsat den rette vinkel.

.

a i anden plus 21 i anden er altså lig med 35 i anden.

Hvad har vi her?

Det er fristende at bruge en lommeregner, men det gør vi ikke.

Vi har altså 21 gange 21. 1 gange 21 er 21, og 2 gange 21 er 42.

Svaret er 441.

Vi har nu 35 i anden.

Det er igen fristende at bruge en lommeregner, men det gør vi ikke.

35 gange 35. 5 gange 5 er 25,

vi lægger 2 i mente.

5 gange 3 er 15, plus 2, er 17.

Vi skriver 0 her.

3 gange 5 er 15.

3 gange 3 er 9, plus 1 er 10.

5 plus 0 er 5.

7 plus 5 er 12. 1 plus 1 er 2. Vi trækker 1 ned.

1225.

Det her fortæller os, at a i anden plus 441

er lig med 35 i anden, som er 1225.

Nu kan vi trække 441 fra på begge sider af den her ligning.

Lad os gøre det.

441.

Den venstre side vil blive til a i anden.

Hvad får vi på højre side?

5 minus 1 er 4.

Lad os skrive det her lidt bedre.

Minus 441.

Sådan.

På venstre side af ligningen går de her ud med hinanden. Vi står tilbage med a i anden.

Hvad skal vi gøre på højre side

af ligningen?

5 er større end 1. 2 er dog ikke større end 4,

så vi skal låne nu.

Det her bliver 12,

og det her bliver 1.

1 er ikke større end 4.

Vi skal altså låne igen.

.

Væk med det her,

og så bliver det her 11.

5 minus 1 er 4.

12 minus 4 er 8.

11 minus 4 er 7.

a i anden er altså lig med 784.

Vi kan også skrive,

at a er lig med kvadratroden af 784.

Uha, nu er det fristende at bruge en lommeregner,

men vi gør det ikke.

Lad os lade være.

Det her er 2 gange hvad?

392.

392 gange 2 er 784.

Hvad ganget med 2 giver 392?

Det er 196 gange 2.

Jeps.

192 gange 2 er klart 392.

Vi skal passe på, vi ikke laver fejl her.

Hvad ganget med 2 giver 196?

Det gør 98.

Lad os fortsætte.

98 er det samme som 2 gange 49.

.

Vi har altså 2 gange 2 gange 2 gange 2.

Det er altså 2 i 4.

Det er altså 16 gange 49.

a er altså lig med kvadratroden af 16 gange 49.

Vi har altså nu 2 kvadrattal.

Kvadratroden af 16 er 4,

og det skal ganges med kvadratroden af 49, som er 7.

Det er altså lig med 28.

Vi får altså ved brug af Pythagoras' læresætning,

at den her side er 28.

Lad os lave en til.

Man kan aldrig få for meget øvelse.

Lad os sige, vi har en trekant her.

Vi tegner den stor.

Sådan.

Det her er vores trekant.

Det er en retvinklet trekant.

Den her side er 24,

og den her side er 12.

Vi kalder den her side b.

Først skal vi finde hypotenusen.

Det er den længste side,

og siden modsat vinklen på 90 grader.

Måske tænker man:

Hvordan vi kan vide, hvilken side der er størst, når vi ikke kender b?

Hvordan ved vi det?

Vi ved dog,

at det er siden modsat vinklen på 90 grader.

Det her er altså hypotenusen,

så den her i anden plus den her i anden er lig med 24 i anden.

Vi har altså b i anden plus 12 i anden

er lig med 24 i anden.

Vi kan altså trække 12 i anden fra på begge sider.

b i anden er altså lig med 24 i anden minus 12 i anden,

som vi ved er 144.

b er altså lig med kvadratroden af 24 i anden minus 12 i anden.

Nu er det igen fristende at bruge en lommeregner,

og lad os gøre det!

Sidste regnestykke var så ondskabsfuldt,

at vi stadig lige skal komme os.

24 i anden minus 12 i anden er lig med 24,78.

Lad os prøve at gøre det på en anden måde også.

.

24 i anden minus 12 i anden er lig med 432.

b er altså altså lig med kvadratroden af 432.

Lad os faktorisere det igen.

Vi har fundet svaret,

men måske kan vi skrive det med et rodtegn.

Det her er 2 gange 216.

216 er vist ikke et kvadrattal.

Nej, det er ikke et kvadrattal,

så vi kan ikke tage kvadratroden af det.

Vi fortsætter altså.

.

216 er 2 gange 108.

108 er 4 gange hvad?

Det er 4 gange 27, som er 3 gange 9.

Hvad har vi?

Vi har 2 gange 2 gange 4, så det er 16.

16 gange 9 gange 3.

Er det rigtigt?

Vi bruger en anden lommeregner.

16 gange 9 gange 3 er lig med 432.

Vi har altså b er lig med

kvadratroden af 16 gange 9 gange 3,

hvilket er lig med kvadratroden af 16, som er 4, gange kvadratoden af 9, som er 3,

gange kvadratroden af 3.

Det er lig med 12 kvadratrødder af 3.

b er 12 kvadratrødder af 3.

Forhåbentlig var det her brugbart.