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Derivative of natural logarithm

  • 0:01 - 0:06
    我們知道e^x的關於x的導數還是e^x
  • 0:06 - 0:11
    我覺得這是數學裡面最奇妙的東西
  • 0:11 - 0:14
    讓我對e肅然起敬
  • 0:14 - 0:18
    但是我們在這裡不是來讚美e的
  • 0:18 - 0:19
    而是來想一下
  • 0:19 - 0:21
    它的反函數的導數是什麼
  • 0:21 - 0:28
    ln x關於x的導數是什麼
  • 0:28 - 0:30
    我們做過這個幾次了，當我們知道一個函數
  • 0:30 - 0:34
    的導數時，怎麼求出它反函數的導數
  • 0:34 - 0:40
    我們能做什麼呢？我們可以設一個，比如y=ln x
  • 0:40 - 0:45
    這是e^y=x的另一種表達
  • 0:45 - 0:52
    這就等效於e的y次方等於x
  • 0:52 - 0:58
    現在就可以兩邊對x求導了
  • 0:58 - 1:00
    開始吧
  • 1:00 - 1:03
    兩邊對x求導
  • 1:03 - 1:05
    要做一點隱函數求導
  • 1:05 - 1:08
    其實就是鏈式法則的應用
  • 1:08 - 1:12
    這樣的話，左邊的就是
  • 1:12 - 1:15
    e^y關於y的導數
  • 1:15 - 1:18
    就是e^y
  • 1:18 - 1:22
    再乘以y對x的導數
  • 1:22 - 1:25
    右邊就是x對x的對數，就是1
  • 1:25 - 1:32
    現在來求出導數，兩邊同時除以e^y
  • 1:32 - 1:40
    所以就得到，y對x的導數
  • 1:40 - 1:47
    等於1/(e^y)
  • 1:47 - 1:50
    現在，y等於什麼？
  • 1:50 - 1:55
    我們知道y=ln x
  • 1:55 - 1:56
    把這寫下來
  • 1:56 - 2:01
    這就等於
  • 2:01 - 2:06
    1/(e^(ln x))
  • 2:07 - 2:11
    現在e^(ln x)是什麼？
  • 2:12 - 2:17
    e^(ln x)就是x嘛
  • 2:17 - 2:21
    e的這個東西次方，就是x
  • 2:21 - 2:29
    所以這個就是等於1/x
  • 2:29 - 2:32
    這個東西可以簡化成x
  • 2:32 - 2:34
    搞定了
  • 2:34 - 2:36
    我們求出了y=ln x
  • 2:36 - 2:39
    關於x的導數，就是1/x
  • 2:39 - 2:43
    或者ln x
  • 2:43 - 2:46
    對x的導數等於1/x
  • 2:46 - 2:55
    這就等於1/x
  • 2:56 - 3:00
    也是很好看的一個結果
  • 3:00 - 3:06
    雖然沒有e^x那麼完全一樣，但還是挺簡單的
Title:
Derivative of natural logarithm
Description:
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Video Language:
English
Duration:
03:08

Chinese, Traditional subtitles

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