До скольких можно посчитать на пальцах? (Спойлер: гораздо больше, чем до 10) — Джеймс Тентон

Смотреть полный урок: https://ed.ted.com/lessons/how-high-can-you-count-on-your-fingers-spoiler-much-higher-than-10-james-tanton

До скольких можно посчитать на пальцах? Кажется, что ответ на этот вопрос очевиден. В конце концов, у большинства из нас десять пальцев — два больших и ещё восемь. В общей сумме десять цифр на двух руках, с помощью которых мы считаем до десяти. Но является ли это пределом? Джеймс Тентон решил разобраться в этом вопросе.

Урок Джеймса Тентона, анимация — TED-Ed.

До скольких можно посчитать на пальцах?

Кажется, что ответ
на этот вопрос очевиден.

В конце концов, у большинства из нас
десять пальцев,

или ещё точнее,

два больших и ещё восемь.

В общей сумме десять цифр на двух руках,

с помощью которых мы считаем до десяти.

Это не совпадение, что те десять символов,
что мы используем в системе исчисления,

также называются цифрами.

Но это не единственный способ считать.

В некоторых местах по традиции считают
до двенадцати только на одной руке.

Как?

Каждый палец, кроме большого,
разделён на три фаланги,

а большим пальцем можно указывать на них.

Так можно просто считать до двенадцати
на одной руке.

И если мы хотим считать дальше,

то можно загибать пальцы на другой руке
каждый раз, как сосчитали до двенадцати,

в общей сумме пять групп
по двенадцать, или 60.

Ещё лучше, давайте использовать
фаланги на второй руке,

чтобы считать двенадцать групп
по двенадцать, до 144.

Это значительное улучшение,

но можно достичь большего,
если внимательнее приглядеться к рукам.

К примеру, на каждом пальце
есть три фаланги и три складки,

что позволяет посчитать до шести.

Теперь мы дошли до 24 на каждой руке,

и, считая второй рукой группы по 24,

мы доходим аж до 576.

Можно ли пойти ещё дальше?

Похоже, что больше не осталось
частей на руках,

которые мы могли бы точно посчитать.

Давайте придумаем что-то другое.

Одно и наших величайших
математических изобретений —

это позиционная система счисления,

где от положения знака
зависит его значение,

как в числе 999.

Хоть одна и та же цифра
используется три раза,

положение каждой даёт им разные значения.

Теперь мы с помощью позиционного значения
наших пальцев сможем побить наш рекорд.

Давайте ненадолго забудем
про фаланги пальцев

и рассмотрим самый простой вариант
из всего лишь двух положений пальцев:

быть поднятыми или опущенными.

Так мы не сможем показать
степени от десяти,

но это идеальная система исчисления,
которая использует степени двойки, —

так называемая двоичная
система исчисления.

В двоичной системе каждое число
значит в два раза больше предыдущего,

поэтому мы можем назначить нашим
пальцам значения один,

два,

четыре,

восемь

и так до 512.

И любое положительное целое число
до какого-то предела

может быть выражено суммой этих чисел.

К примеру, число семь это 4+2+1.

Поэтому мы можем показать его
подняв всего три пальца.

В то же время 250 — это 128+64+32+16+8+2.

Как далеко мы теперь можем дойти?

Это будет число, которое получится,
если поднять все 10 пальцев, или же 1 023.

Можно ли зайти ещё дальше?

Это зависит от того, насколько вы гибки.

Если вы можете согнуть каждый палец
наполовину, у нас выходят три состояния —

согнутый,

полусогнутый

и вытянутый.

Теперь мы можем считать с помощью
троичной системы исчисления

до 59 048.

И если вы можете сгибать свои пальцы,
чтобы вышло четыре состояния или больше,

вы сможете считать и дальше.

Предел зависит от вас,
от вашей гибкости и изобретательности.

Даже с пальцами всего в двух состояниях

мы уже работаем довольно-таки эффективно.

На самом деле, наши компьютеры работают
по тому же принципу.

Каждая микросхема состоит из крохотных
электрических выключателей,

которые могут быть либо включены,
либл выключены,

это значит что они по умолчанию
представляют числа в двоичной системе.

Так же, как мы считаем дальше тысячи
только на пальцах рук,

компьютеры могут выполнять
миллиарды операций,

просто считая единицы и ноли.