การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง

การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง

-

ในวิดีโอนี้ผมอยากทำตัวอย่างการแยกตัวประกอบ

ของพหุนามดีกรีสอง, ซึ่งมัก

เรียกกันว่า พหุนามกำลังสอง (quadratic)

บางครั้งก็เรียกว่า quadratic polynomial หรือแค่

quadratic เฉยๆ, หรือพจน์ quadratic, แต่ทั้งหมด

นี่ก็คือพหุนามดีกรีสองนั่นเอง

มันคือมีตัวแปรยกกำลัง

สองนั่นเอง

ในกรณีนี้, ในตัวอย่างที่เราทำ, ตัวแปรนั้นคือ x

สมมุติว่าผมมีพจน์กำลังสอง, x

กำลังสองบวก 10x, บวก 9

และผมอยากแยกมันเป็นผลคูณของทวินามสองตัว

เราจะทำยังไง?

ลองคิดดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเรา

เอา x บวก a มาคูณกับ x บวก b

ถ้าเราคูณสองตัวนี้เข้าด้วยกัน, จะเกิดอะไรขึ้น?

ทีนี้, เราเคยทำของแบบนี้มานิดหน่อยแล้ว

นี่ก็คือ x คูณ x, เท่ากับ x กำลังสอง, บวก x คูณ b,

ก็คือ bx, บวก a คูณ x, บวก a คูณ b -- บวก ab

หรือถ้าเราอยากรวมสองเทอมตรงกลางนี้,

เพราะมันเป็นสัมประสิทธิ์ของ x ทั้งคู่

เราก็เขียนนี่เป็น x กำลังสองบวก -- ผมเขียนมันว่า

b บวก a, หรือ a บวก b, x บวก ab

โดยทั่วไปแล้ว, ถ้าเราถือว่านี่คือผลคูณ

ของทวินามสองตัว, เราจะเห็นว่าเทอมตรงกลาง

เทอม x, หรือคุณอยากบอกว่าสัมประสิทธิ์ดีกรีหนึ่ง

ตรงนี้, มันคือผลรวมของ a กับ b

แล้วเทอมค่าคงที่ จะเป้นผลคูณ

ของ a กับ b

สังเกตว่า, นี่โยงหาอันนี้, และอันนี้

ตรงกับอันนี้

และ, แน่นอนว่านี่เท่ากับอันนี้

แล้วเราจะจับคู่รูปแบบเจ้านี่กับเจ้านั่นได้ไหม?

มันมี a กับ b ที่ a บวก b เท่ากับ 10?

แล้ว a คูณ b เท่ากับ 9 ไหม?

ทีนี้, ลองคิดกันสักหน่อย

ตัวประกอบของ 9 มีอะไรบ้าง?

a กับ b เท่ากับอะไรได้บ้าง?

เราสมมุติว่าทุกอย่างเป็นจำนวนเต็ม

โดยทั่วไปแล้ว, ตอนเราแยกตัวประกอบ, ยิ่งตอนเรา

เริ่มแยก, เรามักจะใช้

จำนวนเต็ม

แล้วตัวประกอบของ 9 มีอะไรบ้าง?

มันได้แก่ 1,3 และ 9

แล้วนี่ก็อาจเป็น 3 กับ 3, หรือมันอาจเป็น 1 กับ 9

ทีนี้, ถ้ามันเป็น 3 กับ 3, แล้วคุณมี 3 บวก 3 -- นั่น

ไม่เท่ากับ 10

แต่ถ้ามันเป็น 1 กับ 9, 1 คูณ 9 ได้ 9

1 บวก 9 ได้ 10

มันใช้ได้เลย

ดังนั้น a เป็น 1, และ b เป็น 9

เราก็แยกตัวประกอบนี่ได้เป็น x บวก 1,

คูณ x บวก 9

และถ้าคุณคูณสองตัวนี้ออกมา, ใช้หลักที่

เราทำไปในวิดีโอก่อนๆ, คุณจะเห็นว่ามัน

คือ x กำลังสองบวก 10x, บวก 9 จริงๆ

ดังนั้นเวลาคุณเห็นอะไรแบบนี้, เมื่อสัมประสิทธิ์

ของเทอม x กำลังสอง, หรือสัมประสิทธิ์ตัวนำพหุนาม

กำลังสองเกป็น 1, คุณก็บอกว่า, เอาล่ะ, เลข

สองตัวไหนบวกกันเท่ากับสัมประสิทธิ์นี่ตรงนี้?

-

แล้วเลขสองตัวเดิม, ตอนคุณเอามาคูณกัน,

ต้องเท่ากับ 9

และแน่นอน, นี่ต้องอยู่ในรูปมาตรฐาน

หรือถ้ามันไม่อยู่ในรูปมาตรฐาน, คุณก็ควรทำให้

อยู่ในรูปนั้น, แล้วคุณก็บอกได้ว่า, โอเค, ไม่ว่า

สัมประสิทธิ์ดีกรีหนึ่งจะเป็นอะไร, a กับ b

ต้องรวมกันได้เท่านั้น

และไม่ว่าเทอมค่าคงที่จะเป็นอะไร, a กับ b, ผลคูณ

ต้องเท่ากับค่านั้น

ลองทำตัวอย่างอีกดีกว่า

ผมว่ายิ่งเราทำตัวอย่างมากเท่าไหร่ เรายิ่ง

เข้าใจมันมากขึ้นเท่านั้น

สมมุติว่าเรามี x กำลังสองบวก 10x, บวก -- เอาล่ะ, ผมทำ

10x ไปแล้ว, ลองเลขอื่นบ้างดีกว่า -- x กำลังสอง

บวก 15x, บวก 50

และเราต้องแยกตัวประกอบเจ้านี่

ทำเหมือนเดิมเลย

เรามีเทอม x กำลังสอง

เรามีเทอมดีกรีหนึ่ง

นี่ตรงนี้ควรเท่ากับผลรวมของเลขสองตัว

แล้วเทอมนี้, เทอมค่าคงที่ตรงนี้,

ควรเท่ากับผลคูณของเลขสองตัว

เราเลยต้องหาเลขสองตัวที่, ถ้าผมคูณ

มันด้วยกันผมจะได้ 50, และถ้าผมบวกมันเข้าด้วยกัน, ผมได้ 15

และนี่เป็นเหมือนศิลปะที่คุณต้อง

ฝึกฝน, แต่ยิ่งคุณฝึกมากเท่าไหร่, คุณจะเห็น

ว่ามันเริ่มเป็นไปเองโดยธรรมชาติ

แล้ว a กับ b เป็นอะไรบ้าง?

ลองคิดถึงตัวประกอบของ 50 กัน

มันอาจเป็น 1 คูณ 50

2 คูณ 25

ลองดู 4 หาร 50 ไม่ลงตัว

มันเป็น 5 กับ 10 ก็ได้

ผมว่ามีแค่นั้นแหละ

ลองเลขพวกนี้ดู, แล้วดูว่าคู่ไหน

รวมกันได้ 15

ทีนี้ 1 บวก 50 รวมกันไม่เท่ากับ 15

2 บวก 25 ก็ไม่เท่ากับ 15

แต่ 5 บวก 10 รวมกันได้ 15 พอดี

นี่ก็เป็น 5 บวก 10, และนี่ก็เป็น 5 คูณ 10

แล้วถ้าเราแยกตัวนี้ออกมา, นี่จะเท่ากับ x บวก

5, คูณ x บวก 10

แล้วลองคูณออกมา

ผมแนะนำให้คุณลองคูณนี่ออกมา, แล้วดูว่านี่

เท่ากับ x กำลังสองบวก 15x, บวก 10 จริงไหม

ที่จริง, ลองทำดูดีกว่า x คูณ x, x กำลังสอง x

คูณ 10, บวก 10x

5 คูณ x, บวก 5x

5 คูณ 10, บวก 50

สังเกตว่า 5 คูณ 10 ให้ 50 เรามา

แล้ว 5x บวก 10x จะให้ 15x ตรงกล่าง

มันก็คือ x กำลังสองบวก 15x, บวก 50

ลองดเพิ่มระดับขึ้นอีกหน่อย, ลองดู

เทอมลบตรงนี้บ้าง

สมมุติผมมี x กำลังสองลบ 11x, บวก 24

ตรงนี้, หลักการเหมือนเดิมเป๊ะ

ผมต้องคิดเลขขึ้นมาสองตัว, เวลาผมบวกพวกมัน

ต้องได้เท่ากับลบ 11

a บวก b ต้องเท่ากับลบ 11

และ a คูณ b ต้องเท่ากับ 24

ทีนี้, มีสิ่งที่คุณต้องคิดอยู่

เวลาผมคูณเลขสองตัวเข้า, ผมจะได้

จำนวนบวก

ผมจะได้ 24

นั่นหมายความว่าทั้งคู่ต้องเป็นบวก, หรือทั้งคู่

ต้องเป็นลบ

นั่นคือวิธีเดียวที่ผมจะได้เลขบวกตรงนี้

ทีนี้, ถ้าผมบวกมันเข้า, ผมจะได้ค่าลบ, ถ้า

สองตัวเป็นบวก, มันไม่มีทางที่ผมจะบวกจำนวบวกสองตัว

แล้วได้จำนวนลบ, ดังนั้น จากความจริงที่ว่าผลบวกเป็นลบ

และความจริงที่ว่าผลคูณเป็นบวก,

ทำให้ผมรู้ว่า a กับ b เป็นลบ

a กับ b ต้องเป็นลบ

จำไว้, ตัวหนึ่งเป็นลบและอีกตัว

เป็นบวกไม่ได้, เพราะผลคูณจะกลายเป็นลบแทน

พวกมันเป็นบวกพร้อมกันไม่ได้, เพราะเมื่อคุณรวม

มันเข้าคุณจะได้ค่าบวกแทน

ลองคิดกันว่า a เป็น b เป็นอะไรได้

จำนวนลบ 2 ตัว

ลองคิดถึงตัวประกอบของ 24 ก่อน

แล้วเราค่อยคิดถึงตัวร่วมที่เป็นลบ

ลองดูกัน, มันอาจเป็น 1 คูณ 24, 2 คูณ 11, 3 คูณ

8, หรือ 4 คูณ 6

ทีนี้, เวลาผมพูดเจ้าพวกนี้ -- เอาล่ะ,

แน่นอนเวลาผมคูณ 1 กับ 24, ผมได้ 24

เมื่อผมคูณ 2 กับ 11 -- โทษที, นี่คือ 2 คูณ 12

ผมได้ 24

ผมก้รู้ว่าพวกนี้คูณกันได้ 24 ทั้งหมด

แต่คู่ไหนในนี้, เมื่อผมรวมมันเข้า,

จะได้ 11?

แล้วเราก็บอกว่า, ลองใส่

เครื่องหมายให้ทั้งคู่

ทีนี้เมื่อคุณดูเลขพวกนี้, 3 กับ 8 กระโดดออกมา

3 คูณ 8 เท่ากับ 24

3 บวก 8 เท่ากับ 11

แต่มันยังใช้ไม่ได้, จริงไหม?

เพราะเรามีลบ 11 ตรงนี้

แต่ถ้าเกิดเราใช้ลบ 3 กับ ลบ 8 ล่ะ?

ลบ 3 คูณลบ 8 เท่ากับ บวก 24

ลบ 3 บวก ลบ 8 เท่ากับลบ 11

ดังนั้ันลบ 3 กับ ลบ 8 ใช้ได้

แล้วถ้าเราแยกตัวประกอบเจ้านี่, x กำลังสองลบ 11x, บวก 24

จะเท่ากับ x ลบ 3, คูณ x ลบ 8

ลองทำแบบนั้นอีกข้อดู

ที่จริง, ขอผมผสมหน่อย

สมมุติว่าผมมี x กำลังสองบวก 5x, ลบ 14

ตรงนี้มีผมมีสถานการณ์ต่างออกไป

ผลคูณของเลขสองตัวผมเป็นลบ, จริงไหม? a คูณ b

เท่ากับลบ 14

ผลคูณผมเป็นลบ

นั่นบอกผมว่าตัวหนึ่งเป็นบวก, ส่วนอีกตัว

เป็นลบ

และเมื่อผมบวกสองตัวเข้าด้วยกัน, a บวก b, มันจะเท่ากับ 5

ลองคิดถึงตัวประกอบของ 14 ดู

คู่ไหนที่เวลาผมบวกมันเข้า, ถ้าตัวหนึ่ง

เป็นบวกและอีกตัวเป็นลบ, มันก็เหมือนผม

หาผลต่างของเลขสองตัว, แล้วได้ 5?

งั้นถ้าผมเอา 1 กับ 14 มา -- ผมแค่ลองไปเรื่อย --

1 กับ 14, ลบ 1 บวก 14 ได้ลบ 13

ลบ 1 บวก 14 ได้ 13

ขอผมเขียนรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดนะ

แล้วสุดท้ายสมองคุณจะเข้าหามันได้

ทีนี้คุณได้ลบ 1 บวก 14 เท่ากับ 13

กับ 1 บวก ลบ 14 เท่ากับลบ 13

พวกนี้ใช้ไม่ได้

มันไม่เท่ากับ 5

แล้ว 2 กับ 7 ล่ะ?

ถ้าผมใช้ลบ 2 -- ขอผมใช้อีกสีนะ -- ถ้า

ผมทำลบ 2 บวก 7, นี่จะเท่ากับ 5

เสร็จแล้ว!

มันใช้ได้!

ผมหมารยความว่า, เราลอง 2 บวกลบ 7 ก็ได้, แต่มันจะ

เท่ากับลบ 5, มันเลยใช้ไม่ได้

แต่ลบ 2 บวก 7 นั้นใช้ได้

และลบ 2 คูณ 7 เท่ากับลบ 14

เราเลยได้คำตอบมา

เรารู้ว่ามันคือ x ลบ 2, คูณ x บวก 7

มันเจ๋งดี

ลบ 2 คูณ 7 ได้ลบ 14

ลบ 2 บวก 7 ได้ลบ 5

-

ลองทำตัวอย่างอีก, จะได้ฝึก

ทักษะให้เฉียบคม

สมมุติว่าเรามี x กำลังสองลบ x, ลบ 56

ผลคูณของเลขทั้งสองต้องเป็นลบ 56,

ต้องเท่ากับลบ 56

และผลต่าง, เนื่องจากตัวหนึ่งต้องเป็นบวก,

และตัวหนึ่งต้องเป็นลบ, จริงไหม?

ผลต่างของมันต้องเป็นลบ 1

แล้วตัวเลขที่โผล่ขึ้นมาในหัวผม

-- ผมไม่รู้ว่ามันโผล่ขึ้นมาให้หัวคุณหรือเปล่า,

แต่เราเพิ่งเรียนไปในสูตรคูณ --

ว่า 56 คือ 8 คูณ 7

ที่จริง, มันมีเลขคู่อื่นด้วย

มันยังเท่ากับ 28 คูณ 2

ทั้งหลายทั้งปวง

แต่ 8 คูณ 7 โผล่มาในหัวผมเลย, เพราะเลขสองตัว

มีค่าใกล้เคียงกัน

และเราอยากได้เลขที่ใกล้เคียงกัน

ตัวหนึ่งต้องเป็นบวก, และตัวหนึ่งต้อง

เป็นลบ

ทีนี้, ความจริงที่ว่าผลบวกเป็นลบ, บอกเราว่า

เลขที่โตกว่าควรเป็นลบ

ดังนั้นถ้าเราเอา ลบ 8 คูณ 7, มัน

จะเท่ากับลบ 56

แล้วถ้าเราเอาลบ 8 บวก 7 มา, มันจะเท่ากับ

ลบ 1, ซึ่งเท่ากับสัมประสิทธิ์ตรงนี้เป๊ะ

แล้วเมื่อผมแยกตัวประกอบเจ้านี่, นี่จะเป็น x ลบ 8,

คูณ x บวก 7

นี่มักเป็นหลักที่ยากที่สุดอย่างหนึ่งเวลาคน

เรียนพีชคณิต, เพราะมันใช้ศิลปะนิดหน่อย

คุณต้องดูตัวประกอบทั้งหมดนี้, เล่นกับ

เครื่องหมายบวกลบ, ดูว่าตัวประกอบคู่ไหน

ตัวหนึ่งเป็นบวก, ตัวหนึ่งเป็นลบ, แล้วรวม

กันเป็นสัมประสิทธิ์หน้าเทอม x

แต่เมื่อคุณทำแบบฝึกหัดมากขึ้นเรื่อยๆ, คุณจะเห็น

ว่ามันกลายเป็นสัญชาตญาณไป

ทีนี้ลองทำโจทย์ยากขึ้นอีก

สมมุติเรามีลบ x กำลังสอง -- ทุกอย่างที่

เราทำไปสัมประสิทธิ์เป็นบวก, บวก 1

ตรงเทอม x กำลังสอง

แต่สมมุติว่าเรามี ลบ x กำลังสอง

ลบ 5x, บวก 24

เราจะทำยังไง?

ทีนี้, วิธีคิดที่ผมว่าง่ายที่สุดคือแยก

ลบ 1 ออกมา, แล้วมันก็จะกลายเป็นโจทย์

ที่เราเคยทำมา

แล้วนี่ก็เหมือนกับลบ 1 คูณ บวก x

กำลังสอง, บวก 5x, ลบ 24

จริงไหม?

ผมแค่ดึงลบ 1 ออกมา

คุณคูณลบ 1 เข้าไปให้ทั้งหมดนี้, แล้วคุณ

จะได้เห็นนี่ออกมา

หรือคุณอาจแยกลบ 1 ออกมาแล้วหาร

ตลอดด้วยลบ 1 ก็ได้

แล้วก็คุณได้ตรงนี้มา

เหมือนกับที่เคยเล่นกันมา

ผมอยากได้เลขสองตัว, โดยที่ผมหาผลคูณแล้ว

จะได้ ลบ 24

ตัวหนึ่งจึงเป็นบวก, อีกตัวจะเป็นลบ

-

เมื่อผมหาผลรวม, มันจะเท่ากับ 5

ลองคิดถึง 24 กัน มันคือ 1 คูณ 24

ลองดู, ถ้านี่คือลบ 1 กับ 24, มันจะได้บวก 23,

ถ้ากลับกัน, มันจะเป็นลบ 23

ใช้ไม่ได้

แล้ว 2 กับ 12 ล่ะ?

ทีนี้, ถ้านี่เป็นลบ -- จำไว้, ตัวหนึ่งต้อง

เป็นลบ

ถ้า 2 เป็นลบ, ผลรวมจะเป็น 10

ถ้า 12 เป็นลบ, ผมรวมจะเป็นลบ 10

ยังใช้ไม่ได้

3 กับ 8

ถ้า 3 เป็นลบ, ผลคูณจะป็น 5

แล้วมันใช้ได้!

ดังนั้นถ้าเราเลือกลบ 3 กับ 8, ลบ 3 กับ 8 ใช้ได้

เพราะลบ 3 บวก 8 เป็น 5

ลบ 3 คูณ 8 เท่ากับลบ 24

นี่ก็จะเท่ากับ -- อย่าลืม

ลบ 1 ข้างหน้าด้วย, แล้วเราก็แยกตัวประกอบข้างใน

ลบ 1 คูณ x ลบ 3, คูณ x บวก 8

แล้วถ้าคุณอยากทำ, คุณก็คูณ

ลบ 1 กับเจ้านี่, แล้วคุณจะได้ 3

ลบ x ถ้าทำดู

หรือคุณไม่ต้องทำก็ได้

-

ลองทำอีก

ยิ่งทำยิ่งดีนะผมว่า

เอาล่ะ, สมมุติว่าผมมี ลบ x กำลังสอง

บวก 18x, ลบ 72

เหมือนเดิม, ผมอยากดึงลบ 1 ออกมาก่อน

นี่ก็จะเท่ากับลบ 1 คูณ x กำลังสอง,

ลบ 18x, บวก 72

ทีนี้เราต้องคิดเลขสองตัว, เมื่อผม

คูณพวกมัน, ผมจะได้บวก 72

พวกมันเลยต้องมีเครื่องหมายเหมือนกัน

และมันทำให้คิดในใจได้ง่าย, อย่างน้อยก็ในใจผม

เมื่อผมคูณพวกมัน, ผมจะได้บวก 72

และถ้านำมารวมกัน, ผมจะได้ลบ 18

ดังนั้นมันมีเครื่องหมายเหมือนกัน, และผลรวมเป็น

จำนวนลบ, พวกมันต้องเป็นลบทั้งคู่

-

และเราก็ลองหาตัวประกอบของ 72

แต่อันที่โผล่ขึ้นมาก่อนใคร, บางทีคุณอาจคิดถึง 8 คูณ 9,

แต่ 8 คูณ 9, หรือลบ 8 ลบ 9, หรือลบ 8 บวก

ลบ 9, ใช้ไม่ได้

มันกลายเป็น 17

เกือบแล้ว

ขอผมทำให้ดูนะ

ลบ 9 บวกลบ 8, นั่นเท่ากับลบ 17

ใกล้, แต่ยังไม่ใช่

แล้วมีอีกไหม?

เรามี 6 กับ 12

นั่นดูใช้ได้อยู่นะ

ถ้าเรามีลบ 6 บวกลบ 12, นั่นะจ

เท่ากับลบ 18

เห็นไหม, มันเป็นศิลปะนิดหน่อย

คุณต้องลองตัวประกอบหลายๆ แบบ

แล้วนี่ก็กลายเป็นลบ 1 -- ผมต้องไม่ลืม

มันด้วย -- คูณ x ลบ 6, คูณ x ลบ 12

-