< Return to Video

Identifying proportional relationships visually

  • 0:00 - 0:04
    Μας δίνουν τρεις διαφορετικές σχέσεις
    μεταξύ δύο μεταβλητών x και y.
  • 0:04 - 0:05
    και μας ζητάνε να εξετάσουμε
    αν υπάρχει
  • 0:05 - 0:08
    κάποια σχέση αναλογίας
    μεταξύ των μεταβλητών x και y ή όχι.
  • 0:08 - 0:10
    Και θέλουμε να παραστήσουμε
    και γραφικά
  • 0:10 - 0:12
    κάθε μία από αυτές τις σχέσεις
  • 0:12 - 0:14
    για να δούμε πιο εύκολα
    αν έχουμε σχέση αναλογίας ή όχι.
  • 0:14 - 0:17
    Και μία υπενθύμιση, σχέση
    αναλογίας έχουμε πει ότι έχουμε
  • 0:17 - 0:18
    όταν το πηλίκο
  • 0:18 - 0:20
    των δύο μεταβλητών ποσών
    που έχουμε είναι σταθερό.
  • 0:20 - 0:22
    Ας πούμε λοιπόν ότι παίρνουμε
    το λόγο y προς x
  • 0:22 - 0:23
    ή αν θέλουμε παίρνουμε
    και το λόγο x προς y, δεν έχει σημασία
  • 0:23 - 0:25
    ότι μας βολεύει
  • 0:25 - 0:27
    απλά αυτό που θέλουμε
    πάντα είναι το πηλίκο που παίρνουμε
  • 0:27 - 0:28
    να είναι σταθερό.
  • 0:28 - 0:30
    Ένας άλλος τρόπος που γράφουμε
    αυτή τη σχέση
  • 0:30 - 0:33
    είναι αν πολλαπλασιάσουμε
    και τα δύο μέλη της ισότητας με το x
  • 0:33 - 0:38
    τότε έχουμε
    ότι το y είναι ίσον κάτι επί x.
  • 0:38 - 0:41
    Πάμε λοιπόν να δούμε
    μία μία τις σχέσεις που μας δίνουν
  • 0:41 - 0:44
    και να δούμε αν υπάρχει
    κάποια σχέση αναλογίας ή όχι.
  • 0:44 - 0:49
    Στην πρώτη σχέση λοιπόν
    θα κάνουμε μία στήλη ακόμα
  • 0:50 - 0:53
    και θα πάρουμε το λόγο
    y προς x
  • 0:53 - 0:56
    που είναι και ο λόγος
    που θα εξετάσουμε σε κάθε μία περίπτωση.
  • 0:56 - 0:59
    Στην πρώτη περίπτωση
    λοιπόν όταν το x είναι 1
  • 0:59 - 1:00
    το y είναι μισό
  • 1:00 - 1:02
    άρα ο λόγος y προς x
    είναι μισό προς ένα
  • 1:02 - 1:05
    που κάνει πάλι μισό
  • 1:05 - 1:08
    Όταν το x είναι 4
    το y είναι 2
  • 1:08 - 1:09
    άρα ο λόγος τους
  • 1:09 - 1:12
    είναι 2 προς 4 που κάνει
    πάλι 2/4 δηλαδή μισό
  • 1:13 - 1:16
    και όταν το x είναι -2
    το y είναι -1
  • 1:16 - 1:18
    που το πηλίκο αυτό
    είναι -1 προς -2
  • 1:18 - 1:20
    που είναι ίσο πάλι
    με 1/2 δηλαδή μισό.
  • 1:20 - 1:21
    Βλέπουμε λοιπόν
  • 1:21 - 1:23
    ότι σύμφωνα με αυτά τα τρία
    σημεία που μας δίνονται
  • 1:23 - 1:26
    φαίνεται να έχουμε μία σχέση αναλογίας
    μεταξύ x και y
  • 1:26 - 1:29
    αφού το πηλίκο y προς x
    είναι πάντα ίσο με 1/2.
  • 1:29 - 1:32
    Το κ δηλαδή εδώ είναι ίσο με 1/2
  • 1:41 - 1:47
    άρα το y είναι ίσο με 1/2 επί x.
  • 1:47 - 1:49
    Πάμε τώρα να παραστήσουμε
    γραφικά τα δεδομένα μας.
  • 1:49 - 1:51
    Είπαμε ότι όταν
    το x είναι 1 το y είναι 1/2,
  • 1:51 - 1:55
    όταν το x είναι 4
    το y είναι 2
  • 1:55 - 2:00
    και όταν το x είναι -2
    το y είναι -1.
  • 2:00 - 2:03
    Κάπου εδώ.
  • 2:03 - 2:05
    Επομένως αν αυτά τα τρία
    σημεία
  • 2:05 - 2:07
    απεικονίζουν τη συνολική σχέση
    που έχουμε
  • 2:07 - 2:10
    y = 1/2x
  • 2:10 - 2:12
    τότε η ευθεία
    που απεικονίζει αυτή τη σχέση
  • 2:12 - 2:15
    ή αλλιώς τα σημεία
    του επιπέδου
  • 2:15 - 2:21
    που ικανοποιούν αυτή τη σχέση
    είναι αυτή η ευθεία γραμμή
  • 2:21 - 2:24
    που περνάει από την
    αρχή των αξόνων.
  • 2:24 - 2:28
    Δείτε ότι αν το x είναι 0
    τότε και το y είναι 0
  • 2:28 - 2:31
    άρα το σημείο (0,0)
    επαληθεύει την εξίσωση της γραμμής,
  • 2:31 - 2:32
    Επομένως πάμε να δούμε
    ξανά
  • 2:32 - 2:34
    μερικά χαρακτηριστικά αυτής της σχέσης.
  • 2:34 - 2:36
    Αρχικά είδαμε ότι η γραφική
    παράσταση είναι μία ευθεία
  • 2:36 - 2:40
    αφού η σχέση που συνδέει τις
    μεταβλητές x και y είναι γραμμική,
  • 2:40 - 2:41
    είναι μία ευθεία
  • 2:41 - 2:43
    που όπως είδαμε
    περνάει από την αρχή των αξόνων
  • 2:43 - 2:44
    αφού η σχέση αναλογίας αυτή
  • 2:44 - 2:46
    επαληθεύεται από το
    (0,0).
  • 2:46 - 2:49
    Δείτε όμως ότι ενώ
    δεν ικανοποιείται ο λόγος y προς x
  • 2:49 - 2:51
    αφού εδώ έχουμε μία
    απροσδιόριστη μορφή 0/0
  • 2:51 - 2:52
    που είναι λίγο
    παράξενο
  • 2:52 - 2:55
    δείτε όμως ότι το (0,0)
    επαληθεύει την εξίσωση της y=1/2x
  • 2:55 - 2:57
    αφού αν το x είναι 0
    0 επί οποιαδήποτε σταθερά κ
  • 2:57 - 2:58
    θα κάνει πάλι 0
  • 2:58 - 2:59
    άρα σε κάθε σχέση αναλογίας
  • 2:59 - 3:02
    αν το x μπορεί
    να είναι ίσο με το 0
  • 3:02 - 3:04
    τότε και το y θα είναι
    επίσης ίσο με το 0
  • 3:04 - 3:06
    άρα κάθε γραφική παράσταση
    μίας σχέσης αναλογίας
  • 3:06 - 3:13
    διέρχεται από την
    αρχή των αξόνων.
  • 3:13 - 3:15
    Η πρώτη σχέση λοιπόν
    είναι μία αναλογική σχέση
  • 3:15 - 3:17
    και η γραφική της παράσταση
  • 3:17 - 3:20
    είναι αυτή η ευθεία που
    περνάει από την αρχή των αξόνων.
  • 3:20 - 3:21
    Πάμε τώρα να δούμε το επόμενο.
  • 3:21 - 3:23
    Και πάμε να εξετάσουμε
    αν έχουμε αναλογία.
  • 3:23 - 3:25
    Θα κάνουμε ότι
    κάναμε και πριν
  • 3:25 - 3:29
    υπολογίζοντας το πηλίκο
    y προς x σε μία τρίτη στήλη.
  • 3:31 - 3:33
    Επομένως στην πρώτη
    γραμμή ο λόγος αυτός
  • 3:33 - 3:34
    είναι ίσος με 3 προς 1
  • 3:34 - 3:36
    που κάνει 3
  • 3:36 - 3:38
    και μετά βλέπουμε
    ότι είναι 5 προς 2
  • 3:38 - 3:43
    που δεν κάνει 3
    αλλά 2,5.
  • 3:43 - 3:50
    Άρα εδώ σίγουρα δεν έχουμε
    σχέση αναλογίας
  • 3:50 - 3:55
    και δεν χρειάζεται καν να
    πάμε στο τρίτο σημείο
  • 3:55 - 3:57
    που ο λόγος εδώ είναι
  • 3:57 - 3:58
    -1 προς -1
  • 3:58 - 4:00
    που κάνει 1.
  • 4:00 - 4:01
    Πάμε τώρα να δούμε
  • 4:01 - 4:03
    αν μπορούμε να κάνουμε
    τη γραφική παράσταση
  • 4:03 - 4:04
    έτσι για να δούμε απλά πως μοιάζει.
  • 4:04 - 4:06
    Είπαμε ότι όταν το x είναι 1
    το y είναι 3
  • 4:06 - 4:07
    άρα βρίσκουμε το σημείο
    (1,3)
  • 4:07 - 4:09
    όταν το x είναι 2
    το y είναι 5
  • 4:09 - 4:14
    άρα (2,5)
  • 4:14 - 4:20
    και όταν το x είναι -1
    το y είναι επίσης -1.
  • 4:20 - 4:24
    (-1, -1) λοιπόν.
  • 4:25 - 4:27
    Αν θεωρήσουμε
    λοιπόν ότι αυτά τα 3 σημεία
  • 4:27 - 4:29
    είναι σημεία μίας ευθείας
  • 4:29 - 4:31
    τότε αν τα ενώσουμε με μία
    ευθεία γραμμή
  • 4:31 - 4:33
    που φαίνεται να γίνεται
  • 4:33 - 4:43
    θα είναι κάπως έτσι
  • 4:43 - 4:49
    που δείτε ότι αν και μάλλον πρόκειται
    για μία γραμμική σχέση
  • 4:49 - 4:51
    επειδή δεν διέρχεται από
    την αρχή των αξόνων
  • 4:51 - 4:53
    δεν είναι σχέση αναλογίας.
  • 4:53 - 4:56
    Επομένως αν και κάθε γραμμική
    σχέση παριστάνεται από μία ευθεία
  • 4:56 - 4:58
    για να είναι και αναλογική
    σχέση
  • 4:58 - 5:00
    πρέπει να διέρχεται
    και από την αρχή των αξόνων.
  • 5:00 - 5:05
    Εδώ λοιπόν αν και αυτά τα τρία
    σημεία μπορούν να συνδεθούν
  • 5:05 - 5:06
    με μία γραμμική σχέση
  • 5:06 - 5:08
    δηλαδή είναι σημεία
    μίας ευθείας
  • 5:08 - 5:09
    επειδή η ευθεία αυτή
  • 5:09 - 5:11
    δεν διέρχεται από την
    αρχή των αξόνων
  • 5:11 - 5:13
    η γραμμική σχέση αυτή
    δεν μπορεί να είναι και αναλογική.
  • 5:13 - 5:15
    Ο λόγος των μεταβλητών
    y και x δεν είναι σταθερός
  • 5:15 - 5:16
    άρα δεν έχουμε σχέση
    αναλογίας.
  • 5:16 - 5:18
    Πάμε τώρα να δούμε την
    τρίτη περίπτωση.
  • 5:18 - 5:21
    Ας δούμε τι έχουμε
  • 5:22 - 5:24
    και θα εξετάσουμε
    πάλι τους λόγους y προς x
  • 5:27 - 5:30
    που στο πρώτο ζευγάρι
    είναι 1 προς 1 που κάνει 1
  • 5:30 - 5:32
    στο δεύτερο
    είναι 4 προς 2, που κάνει 2
  • 5:32 - 5:35
    και βλέπουμε αμέσως
    ότι δεν μπορεί να έχουμε ανάλογα ποσά.
  • 5:35 - 5:37
    Στο τρίτο έχουμε 9 προς
    3 που κάνει 3
  • 5:37 - 5:40
    άρα είναι ξεκάθαρο
    ότι το πηλίκο y προς x δεν είναι σταθερό
  • 5:40 - 5:42
    άρα δεν έχουμε ποσά ανάλογα.
  • 5:42 - 5:47
    Όχι αναλογική σχέση λοιπόν
  • 5:47 - 5:49
    και πάμε να το δούμε γραφικά.
  • 5:49 - 5:51
    Όταν το x είναι 1
    το y είναι 1,
  • 5:51 - 5:54
    για x = 2 το y είναι 4
  • 5:54 - 5:59
    και εδώ παρατηρούμε ότι
    κάθε φορά το y είναι το x στο τετράγωνο.
  • 5:59 - 6:03
    Όταν το x είναι 3
    το y είναι 9.
  • 6:03 - 6:06
    τουλάχιστον για αυτά τα τρία
    σημεία που έχουμε
  • 6:11 - 6:14
    που αν μας πουν ότι αυτή η σχέση
    διατηρείται για κάθε x
  • 6:14 - 6:16
    δηλαδή για κάθε x
    y είναι x τετράγωνο
  • 6:16 - 6:18
    τότε αν το x είναι 0
    τότε και το y είναι 0
  • 6:18 - 6:20
    άρα εδώ έχουμε μία γραμμή
  • 6:20 - 6:21
    που περνάει από την αρχή των αξόνων
  • 6:21 - 6:24
    αλλά δεν μπορεί να είναι ευθεία
  • 6:24 - 6:26
    αφού δεν έχουμε μία γραμμική σχέση
  • 6:26 - 6:28
    αφού όπως είπαμε το
    y είναι ίσο με το x στο τετράγωνο.
  • 6:28 - 6:32
    Επομένως σίγουρα και αυτή σχέση
    εδώ δεν είναι μία αναλογική σχέση.
  • 6:32 - 6:34
    Συνοψίζοντας λοιπόν
  • 6:34 - 6:36
    εδώ το y είναι ισο με 1/2 x
  • 6:36 - 6:39
    στο δεύτερο που αν και είπαμε
    ότι έχουμε ευθεία
  • 6:39 - 6:44
    με εξίσωση μάλλον
  • 6:44 - 6:45
    y = 2x+1
  • 6:45 - 6:49
    που είναι γραμμική σχέση
  • 6:49 - 6:51
    δεν περνάει από την αρχή
    των αξόνων
  • 6:51 - 6:53
    άρα δεν είναι και αναλογική σχέση
  • 6:53 - 6:54
    και στο τελευταίο δείγμα
  • 6:54 - 6:57
    είδαμε ότι το y είναι
    ίσο με x τετράγωνο
  • 6:57 - 6:59
    που περνάει από την αρχή
    των αξόνων
  • 6:59 - 7:01
    αφού το (0,0) επαληθεύει
  • 7:01 - 7:03
    αλλά δεν είναι καν
    γραμμική σχέση
  • 7:03 - 7:04
    άρα δεν μπορεί να είναι
    και αναλογική.
  • 7:04 - 7:06
    Όπως και να το δούμε
  • 7:06 - 7:07
    κάθε σχέση αναλογίας
  • 7:07 - 7:09
    παριστάνεται από μία ευθεία
    γραμμή
  • 7:09 - 7:12
    που διέρχεται από την αρχή των αξόνων
  • 7:12 - 7:14
    και το πηλίκο των μεταβλητών ποσών
    x και y
  • 7:14 - 7:15
    παραμένει σταθερό
  • 7:15 - 7:18
    κάτι που είδαμε
    μόνο στην πρώτη περίπτωση.
Title:
Identifying proportional relationships visually
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:19

Greek subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.