Identifying proportional relationships visually

Μας δίνουν τρεις διαφορετικές σχέσεις
μεταξύ δύο μεταβλητών x και y.

1

και μας ζητάνε να εξετάσουμε
αν υπάρχει

κάποια σχέση αναλογίας
μεταξύ των μεταβητών x και y ή όχι.

Και μας λένε να παριστάνουμε
γραφικά κάθε μία από αυτές τις σχέσεις.

Γενικά αν έχουμε κάτι γραφικά

είναι πολύ πιο εύκολο να δούμε
οτιδήποτε θέλουμε να μελετήσουμε

όπως εδώ που θέλουμε
να δούμε αν έχουμε σχέση αναλογίας.

Και μία υπενθύμιση, σχέση
αναλογίας έχουμε πει ότι έχουμε

όταν το πηλίκο των δύο
μεταβλητών που συνδέονται μεταξύ τους είναι σταθερό.

Ας πούμε λοιπόν ότι παίρνουμε
το λόγο y προς x

ή αν θέλουμε παίρνουμε
και το λόγο x προς y, δεν έχει σημασία

ότι μας βολεύει

απλά αυτό που θέλουμε
πάντα είναι το πηλίκο που παίρνουμε

να είναι σταθερό.

Ένας άλλος τρόπος που γράφουμε
αυτή τη σχέση

είναι αν πολλαπλασιάσουμε
και τα δύο μέλη της ισότητας με το x

1

τότε έχουμε
ότι το y είναι ίσον κάτι επί x.

1

Πάμε λοιπόν να δούμε
μία μία τις σχέσεις που μας δίνουν

και να δούμε αν υπάρχει
κάποια σχέση αναλογίας ή όχι.

Στην πρώτη σχέση λοιπόν
θα κάνουμε μία στήλη ακόμα

1

1

και θα πάρουμε το λόγο
y προς x

που είναι και ο λόγος
που θα εξετάσουμε σε κάθε μία περίπτωση.

1

Στην πρώτη περίπτωση
λοιπόν όταν το x είναι 1

το y είναι μισό

άρα ο λόγος y προς x
είναι μισό προς ένα

που κάνει πάλι μισό

1

Όταν το x είναι 4
το y είναι 2

άρα ο λόγος τους
είναι 2 προς 4 που κάνει πάλι 2/4 δηλαδή μισό

και όταν το x είναι -2
το y είναι -1

που το πηλίκο αυτό
είναι -1 προς -2

που είναι ίσο πάλι
με 1/2 δηλαδή μισό.

Βλέπουμε λοιπόν
ότι σύμφωνα με τα τρία αυτά σημεία που μας δίνονται

φαίνεται να έχουμε μία σχέση αναλογίας
μεταξύ x και y

αφού το πηλίκο y προς x
είναι πάντα ίσο με 1/2.

Το κ δηλαδή εδώ είναι ίσο με 1/2

1

1

1

1

1

άρα το y είναι ίσο με 1/2 επί x.

Πάμε τώρα να παραστήσουμε
γραφικά τα δεδομένα μας.

Είπαμε ότι όταν
το x είναι 1 το y είναι 1/2,

όταν το x είναι 4
το y είναι 2

και όταν το x είναι -2
το y είναι -1.

1

Κάπου εδώ.

Επομένως αν αυτά τα τρία
σημεία

απεικονίζουν τη συνολική σχέση
που έχουμε

y = 1/2x

τότε η ευθεία
που απεικονίζει αυτή τη σχέση

ή αλλιώς τα σημεία
του επιπέδου

που ικανοποιούν αυτή τη σχέση
είναι αυτή η ευθεία γραμμή

που περνάει από την
αρχή των αξόνων.

Δείτε ότι αν το x είναι 0
τότε και το y είναι 0

άρα το σημείο (0,0)
επαληθελυει την εξίσωση της γραμμής,

Επομένως πάμε να δούμε
ξανά μερικά χαρακτηριστικά αυτής της σχέσης.

Αρχικά είδαμε ότι η γραφική
παράσταση είναι μία ευθεία

1

αφού η σχέση που συνδέει τις
μεταβλητές x και y είναι γραμμική,

είναι μία ευθεια που
όπως είδαμε περνάει από την αρχή των αξόνων

αφού η σχέση αναλογίας αυτή

επαληθεύεται από το
(0,0).

Δείτε όμως ότι ενώ
δεν ικανοποιείται ο λόγος y προς x

αφού εδώ έχουμε μία
απρσοδιόριστη μορφή 0/0

που είναι λίγο
παράξενο

δείτε όμως ότι το (0,0)
επαληθεύει την εξίσωση της y=1/2x

αφού αν το x είναι 0
0 επί οποιαδήποτε σταθερά κ

θα κάνει πάλι 0

άρα σε κάθε σχέση αναλογίας

αν το x μπορεί
να είναι ίσο με το 0

τότε και το y θα είναι
επίσης ίσο με το 0

άρα κάθε γραφική παράσταση
μίας σχέσης αναλογίας

διέρχεται από την
αρχή των αξόνων.

1

Η πρώτη σχέση λοιπόν
είναι μία αναλογική σχέση

και η γραφική της παράσταση

είναι αυτή η ευθεία που
περναέι από την αρχή των αξόνων.

Πάμε τώρα να δούμε το επόμενο.

1

Και πάμε να εξετάσουμε
αν έχουμε αναλογία.

Θα κάνουμε ότι
κάναμε και πριν

υπολογίζοντας το πηλίο
y προς x σε μία τρίτη στήλη.

1

Επομένως στην πρώτη
γραμμή ο λόγος αυτός

είναι ίσος με 3 προς 1

που κάνει 3

και μετά βλέπουμε
ότι είναι 5 προς 2

1

που δεν κάνει 3
αλλά 2,5.

Άρα εδώ σίγουρα δεν έχουμε
σχέση αναλογίας

1

και δεν χρειάζεται καν να
πάμε στο τρίτο σημείο

1

που ο λόγος εδώ είναι

-1 προς -1

που κανει 1.

Πάμε τώρα να δούμε
αν μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση

έτσι για να δούμε απλά πως μοιάζει.

Είπαμε ότι όταν το x είναι 1
το y είναι 3

άρα βρίσκουμε το σημείο
(1,3)

όταν το x είναι 2
το y είναι 5

άρα (2,5)

και όταν το x είναι -1
το y είναι επίσης -1.

(-1, -1) λοιπόν.

1

1

Αν θεωρήσουμε
λοιπόν ότι αυτά τα 3 σημεία

είναι σημεία μίας ευθείας

1

τότε αν τα ενώσουμε με μία
ευθεία γραμμή

που φαίνεται να γίνεται

θα είναι κάπως έτσι

που δείτε αν και είναι
μία γραμμική σχέση

1

1

επειδή δεν διέρχεται από
την αρχή των αξόνων

δεν είναι σχέση αναλογίας.

Επομένως αν και κάθε γραμμική
σχέση παριστάνεται από μία ευθεία

για να είναι και ανλογική
σχέση πρέπει να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Εδώ λοιπόν αν και αυτά τα τρία
σημεία μπορούν να συνδεθούν γραφικά