2015 AP Calculus AB 5 a

На горния чертеж е показана
графиката на f',

производната на двойно
диференцируемата функция f,

в затворения интервал
от –3 до 4.

Графиката на f' има
хоризонтални допирателни

х = –1; х = 1 и х = 3.

Значи тук имаме хоризонтална
допирателна,

хоризонтална допирателна
ето тук.

Ще го начертая малко
по-старателно ето тук,

хоризонтална допирателна тук
и хоризонтална допирателна ето тук.

Добре.

Площите на областите между

оста х и графиката на f'

в интервалите от –2 до 1,

затворения интервал от –2 до 1,

значи тази област ето тук,

и областта от 1 до 4,
тази област ето тук,

казват ни, че площите са
съответно 9 и 12.

Значи тази площ е 9
и тази площ е 12.

Подточка а:

Намерете х координатите на всяка
точка, където f има локален максимум.

Обосновете отговора си.

Всички х-координати, където
функцията f има локален максимум.

Може да кажеш:

"Чакай, това изглежда
като локален максимум тук,

но това не е f. Това е
графиката на f'."

Да помислим какво правим,
когато нямаме графика на f.

Да видим какво е вярно

за f, когато имаме локален
максимум в дадена точка.

Вероятно знаеш как изглежда
локален максимум.

Изглежда като хълмче,
ето така.

Може да изглежда и така, но понеже
функцията е диференцируема

в този интервал, вероятно

нямаме максимум, който
изглежда по този начин.

Какво знаем за точката
на локален максимум?

Нека това да е локален
максимум.

Когато приближаваме
относителния максимум

от стойности на х, които се
приближават до

стойността на х в нашия
локален максимум,

когато се приближаваме
от стойности, по-малки от х,

виждаме, че имаме
положителен наклон.

Функцията трябва да е нарастваща.

Ето тук.

Тук виждаме, че f е нарастваща,

стигаме до точката на
локален макисмум,

f нараства,

което означава, че
производната на f

трябва да е по-голяма от нула.

След като преминем тази
максимална точка,

виждаме, че функцията
започва да намалява.

Ще използвам различен цвят.

Виждаме, че функцията
намалява ето тук,

значи f намалява,

намалява, което означава, че

f' трябва да е по-малка от нула.

Значи точката на
локален максимум

съвпада с някаква стойност на х,

в която първата производна

преминава от стойност
по-голяма от нула,

в стойност по-малка от нула.

За коя стойност на х...

ще го кажа по този начин:

f има локален...
ще го запиша по-кратко –

има локален максимум
при тези стойности на х, за които

f' преминава от положителна
стойност

към отрицателна... ще го
напиша по-старателно –

f' преминава към
отрицателна стойност.

Къде виждаме f' да преминава
от положителна стойност към отрицателна?

Тук виждаме това
да се случва само веднъж.

Тук f' е положителна,
положителна, положителна,

после става отрицателна,
отрицателна, отрицателна.

Значи тук f' е положителна,

а после тук, когато х е
равно на –2,

f' става отрицателна.

Значи самата функция, а не f',

функцията f нараства там,
защото f' е положителна,

а после функцията f намалява,
защото f' е отрицателна.

Значи преходът се случва,
когато х е равно на 2.

Ще го запиша.

Това става за х = 2.

И сме готови.