Is matrix multiplication commutative

Bilirik ki, skalyar kəmiyyətlərin

hasili komutativdir.

Məsələn, 5 vur 7
7 vur 5-ə bərabərdir.

Bu, sadə bir misaldır.

Biz daha çox nümunə
göstərə bilərik.

3 vur mənfi 11
mənfi 11 vur 3-ə bərabərdir.

Beləliklə, komutativliyin

əsas məğzi odur ki,

vurma əməli zamanı
ardıcıllıq

elə də əhəmiyyətli deyil.

Bu, mənfi 11 vur 3-lə eynidir.

Ümumi ifadə etsək,

a vur b hasili

yenə bərabər olacaq

b vur a hasilinə.

İndi isə bu videoda biz

skalyar hasillərin

komutativlik xassəsi kimi

matrislərin vurulmasında da

komutativlik və ya buna bənzər

bir xassə var ya yox,
ona baxacağıq.

İki matrisin vurulmasına baxaq.

Fərz edək ki, A və B matrisləri verilib.

Gəlin görək,

A vur B matrislərinin hasili

B vur A matrislərinin hasilinə
bərabərdir?

Sadəcə olaraq sıranı dəyişdik.

Sizcə bu, həmişə doğrudur?

Bəzən doğru ola bilər.

Lakin matrislərin vurulmasının

komutativ olmağı, matrisləri vurarkən

ardıcıllıq əhəmiyyətli deyil deməkdir.

Biz isə bunun həmişə doğru
olub olmadığını tapacağıq.

Əvvəlcə videonu dayandırın və

özünüz tapmağa çalışın.

Gəlin indi birlikdə düşünək.

İlk olaraq, müxtəlif ölçülü

matrislərə baxaq.

Fərz edək ki, burada matrisimiz var.

Fərz edək ki, A matrisi

5x2 ölçülü matrisdir.

5x2 ölçülü matris

B matrisi isə 2x3 ölçülü matrisdir.

Bu zaman AB hasilinin ölçüləri necə
olacaq?

Bu ikisini vurduqda biz üçüncü
matris alacağıq.

Üçüncü matrisi C matrisi
adlandıraq.

Beləliklə, üçüncü matrisimiz
C-dir.

C matrisinin ölçüləri necə
olacaq?

Əvvəla, bilirik ki, bu iki

matrisi bir-birinə vura bilərik.

Çünki A matrisinin sütunlarının sayı

B matrisinin sətirlərinin sayı ilə
eynidir.

Bu zaman C matrisinin sətirlərinin
sayı

A matrisi ilə, sütunlarının sayı isə
B matrisi ilə eyni olacaq.

Yəni, C matrisi 5x3 ölçülü matris olacaq.

5x3 ölçülü matris.

Bəs digər hasildə necə?

B vur A hasilində necə olacaq?

Yenə videonu dayandırıb özünüz
düşünün.

Gəlin B matrisini

buraya köçürək

və A matrisi ilə vuraq.

Burada sadəcə olaraq vurmada matrislərin

yerini dəyişirik.

B vur A hasili

nəyə bərabər olacaq?

Bu hasil nəyə bərabər olacaq?

Gəlin bu hasili birlikdə tapaq.

Əvvəlcə gəlin görək, bu iki

matrisi bir-birinə vurmaq olar?

Burada B matrisinin sütunlarının sayına və

A matrisinin sətirlərinin sayına baxaq.

Bu vurma təyin olunmayıb.

Çünki B matrisinin sütunlarının sayı

A matrisinin sətirlərinin sayı ilə
eyni deyil.

Deməli, burada vurma təyin olunmayıb.

Təyin olmayıb.

Bu isə o deməkdir ki,

bu, həmişə doğru olmayacaq.

Burada AB hasili təyin olunub və

hasildə 5x3 ölçülü matris alacağıq.

Lakin BA hasili təyin olunmayıb.

Beləliklə...

Beləliklə, bu, həmişə doğru olmayacaq.

Matrisləri vurarkən hansı

ardıcıllıqla vurduğumuz vacibdir.

Daha dəqiq nəticə üçün gəlin

başqa bir nümunəyə baxaq.

Düşünə bilrəsiniz ki, bu,

təyin olunmayıb.

Lakin bəlkə də matrislərimiz

kvadrat matrislər olduqda və ya

matrislərin hasilləri təyin olunduqda

komutativlik xassəsi də təyin olunub.

Gəlin baxaq.

2x2 ölçülü matris götürək və
görək ardıcıllıq vacibdir?

Fərz edək ki,

elementləri 1, 2, mənfi 3, mənfi 4
olan matrisimiz var.

Bu matrisi isə elementləri

mənfi 2, 0, 0, mənfi 3 olan matrisə vuraq.

Hasil nəyə bərabər olacaq?

Bir daha videonu dayandırın

və özünüz tapmağa çalışın.

Gəlin indi yenə birlikdə düşünək.

Burada birinci elementi tapaq.

Bunun üçün bu sətiri bu sütuna vururuq.

1 vur mənfi 2, mənfi 2-yə bərabərdir,

üstəgəl 2 vur 0.

Deməli, birinci element mənfi 2-yə
bərabər olacaq.

İndi isə

ikinci elementə baxaq.

Bu sətiri bu sütuna vuracağıq.

1 vur 0, 0-a bərabərdir, üstəgəl
2 vur mənfi 6 isə

bizə mənfi verəcək.

Bu elementi almaq üçün isə
bu sətirlə

bu sütunu vururuq.

Mənfi 3 vur mənfi 2
müsbət 6-ya bərabərdir.

Üstəgəl mənfi 4 vur 0 isə
müsbət 6-dır.

Beləliklə, bu element müsbət 6-dır.

Son olaraq isə bu elementi
tapmaq üçün

ikinci sətiri ikinci sütuna vuracağıq.

Mənfi 3 vur 0, 0-a bərabərdir.

Mənfi 4 vur mənfi 3 isə müsbət
12 edir.

Məntiqlidir.

Bəs sıranı dəyişsə idik necə?

Mənfi 2, 0, 0, mənfi 3
elementli matrisi

1, 2, mənfi 3, mənfi 4 elementli
matrisə vururuq.

Bu zaman hasil nəyə bərabər olacaq?

Həmişəki kimi videonu dayandırın

və özünüz tapmağa çalışın.

İndi isə birlikdə həll edək.

Mənfi 2 vur 1 mənfi 2-yə bərabərdir,
üstəgəl 0 vur mənfi 3.

Bu isə mənfi 2-yə bərabər olacaq.

Hələ ki doğru görünür.

Daha sonra mənfi 2 vur 2 mənfi 4-ə
bərabərdir,

üstəgəl 0 vur mənfi 4 isə yenə mənfi 4
olacaq.

Artıq görünür ki, bu iki

matris bərabər deyil. Lakin yenə də

gəlin matrisimizi tamamlayaq.

Buradakı elementi tapmaq üçün

ikinci sətiri birinci sütuna vururuq.

0 vur 1 üstəgəl mənfi 3 vur mənfi 3
müsbət 9-a bərabərdir.

Bir daha görürük ki,
eyni matris deyil.

Son olaraq isə, 0 vur 2 0-a
bərabərdir,

üstəgəl mənfi 3 vur mənfi 4 isə
müsbət 12 olacaq.

Bu element uyğun gəldi, lakin

yenə də bu hasillər eyni deyil.

Fərqi yoxdur,

sarı matrisi

bənövşəyi matrisə vururuq,

ya bənövşəyi matrisi sarı matrisə
vururuq,

hər iki halda da hasillər təyin olunub.

Lakin bu iki hasil bərabər deyil.

Beləliklə aldıq ki,

matrislərin vurulması komutativ deyil.