Sine Taylor Series at 0 (Maclaurin)

No último vídeo tomamos a Série de
Maclaurin para cosseno de x

que aproximamos usando este polinômio

e vimos este padrão interessante.

Vamos tentar encontrar um padrão
semelhante

ao aproximar seno de x usando
uma série de Maclaurin.

E novamente, uma série de Maclaurin é o
mesmo

que uma série de Taylor onde centramos
nossa aproximação

ao redor de x igual a zero. É apenas um
caso especial de uma série de Taylor.

Tomemos f de x nesta situação como
seno de x.

f de x é agora igual a seno de x.

E façamos o mesmo que fizemos com
cosseno de x.

Tomemos as diferentes derivadas de
seno de x rapidamente.

A primeira derivada de seno de x é apenas
cosseno de x.

A segunda derivada de seno de x, é a
derivada de cosseno de x,

que é menos seno de x.

A terceira derivada será a derivada disso

-- escreverei apenas três em parênteses ao
invés de fazer linhas --

A terceira derivada é a derivada
disso que é menos cosseno de x.

A quarta derivada é a derivada disso
que é mais seno de x, de novo.

Veja que assim como cos de x

ela cicla se você derivar vezes
o suficiente.

E para as Séries de Maclaurin,
nos importamos em

avaliar a função e cada uma dessas
derivadas em x igual a zero.

[...]

Então f de zero nesta situação é zero.

E a primeira derivada calculada no zero,

é um, cosseno de zero é um.

Menos seno de zero, será zero.

Então f linha, linha, a segunda derivada,
calculada em zero é zero.

A terceira derivada calculada
em zero é menos um,

cosseno de zero é um, temos o negativo
fora, é menos um.

E a quarta derivada calculada em
zero, será zero de novo.

Poderíamos continuar, e
parece haver um padrão

zero, um, zero, menos um, zero,
e voltaria para um

e assim por diante.

Vamos descobrir sua notação polinomial

utilizando as Séries de Maclaurin.

Para lembrar, esta em cima, era
aproximadamente cosseno de x, e você

se aproximará mais de cosseno de x,

não estou te mostrando o quão
próximo, rigorosamente,

e isto é exatamente o mesmo
que cosseno de x,

mas você se aproximará
de cosseno de x cada vez mais

a medida que adicione termos

e se você for ao infinito,
estará em cosseno de x.

Façamos o mesmo para seno de x.

[...]

Este é nosso novo p de x,

que será aproximadamente seno de x

a medida que adicionamos mais termos.

O primeiro termo, f de zero, será
apenas zero

então não precisamos inclui-lo.

O próximo termo será

f linha de zero, que é um
vezes x, que é x.

O próximo termo é a segunda
derivada em zero

que vemos aqui, é zero, então não
teremos o segundo termo.

Este terceiro termo, é a terceira
derivada de seno de x

calculada em zero, é menos um.

Agora teremos menos um, neste caso,

vezes x ao cubo sobre três fatorial,
então menos x ao cubo sobre três fatorial

e o próximo termo será zero, porque
esta é a quarta derivada.

A quarta derivada calculada em
zero é o próximo coeficiente.

Vimos que isto será zero,
então não há este termo.

E o que verá aqui

-- talvez não tenha feito termos o
suficiente, farei mais um para ficar claro

-- a quinta derivada de x será
cosseno de x novamente,

A quinta derivada calculada
em zero será um.

A quarta derivada calculada
em zero é zero,

então vamos para a quinta
derivada calculada em zero

será um.

Se eu continuasse isso seria um,

-- teria que escrever um
como coeficiente --

vezes x elevado a quinta
sobre cinco fatorial.

Há uma coisa interessante acontecendo aqui

Para cosseno de x, tinhamos
essencialmente, um vezes x a zero

então não tinha a primeira potência,

e não há x elevado a
potências ímpares

então temos x elevado
a todas as potências pares

e qualquer que seja a potência
estou dividindo por aquele fatorial

e o sinal fica alternando.

[...]

Isto é essencialmente zero, dois,
quatro, seis e assim por diante.

Isto é interessante, especialmente
quando comparamos com isso.

Isso são todas as potências ímpares.

Isto é x a primeira sobre um fatorial,

aqui x ao cubo sobre três fatorial

mais x a quinta sobre cinco fatorial.

[...]

E se continuássemos este processo,

continue trocando sinais,

x a sétima sobre sete fatorial

mais x a nona sobre nove fatorial.

Há algo ocorrendo aqui

novamente você pode ver essa natureza
complementar entre seno e cosseno.

Eles estão preenchendo
os espaços um do outro,

cosseno de x são todas as
potências pares de x

dividido pelo fatorial daquela potência,

seno de x, quando você toma a
representação polinomial,

são todas as potências
ímpares de x

sobre seu fatorial e você
troca os sinais.

No próximo vídeo
farei e elevado a x.

E o que é fascinante é que
e elevado a x

começa a parecer um pouco
uma combinação daqui,

mas não exatamente.

E você de fato tem a combinação

quando envolve números imaginários.

E é quando começa a ficar muito,
muito impressionante.

[traduzido por: Khallil Fernandes]
[revisão por: Fabiana Gouveia]