複素数 (その 2)

これまでに何が複素数であるか、および

それをグラフ化する方法を学びました。

また、その追加、減算、および乗算方法を学びました。

この最後のビデオで、

2 つの複素数の割り算を習います。

では、ある複素数が存在するとします。

a ＋ b iに等しいです。

a ＋ b iに等しいです。

２ によって分割したいです。

それは、c＋ d i.です。

では、ここで、

先のビデオに触れたことですが、

色を変えて書きます。

(a+b)(a-b) は

a ＾２ーb＾２です。

それを掛けあわせることができます。

覚えてますか？(a+b)(a-b) は、

このように解けます。

とにかくこれを行う方法を知っていますね。

復習です。

では、c ＋ d は何ですか？

これに似たことを

複素数で行うとどうなるでしょう。

(c+di)(c-di)です。

さて、この場合、a は、c です。

b は　dです。いいですか？

これは、c ＾２ーdi＾２です。

これは、c ＾２ーdi＾２です。

diの2乗です。

cの2乗ーdiの2乗です。

これは、cの2乗ーdの2乗＊iの2乗です。

iの2乗は−１です。いいですか？

だから−１で乗算します。

それはこの負をキャンセルします。

cの2乗＋dの2乗です。

それは興味深いです。

複素数を他の数で乗算すると、

これは非常に似てますが、

虚数の符号が反対に変わっています。

この２つの複素数を乗算すると、

すべての i が消え、完全な実数になります。

一般的に、これを

たとえば、Z２、ここの式では、c+diで、

cーdiは、その複素共役と呼ばれます。

知っていると良い用語です。

複素共役の記号は、上部の線です。

Z２の複素共役は、 c ーdiです。

または、c ーd iの複素共役は

c ＋d iです。

または、反対にそれを言うことができます。

c＋ d i の複素共役は c ーd iに等しいです。

虚数の符号を

置き換えているのに気をつけてください。

それが複素共役です。

わかりましたか？

では元の問題に戻ります。

共役を使用して

この分割問題を解きます。

虚数をその複素共役で乗算すると、

実際の数を取得します。

また、何かを１で乗算すると、

同じ数を取得します。

それでは、分子と分母のこれを

分母の複素共役で掛けましょう。

これをやります。

分母の複素共役は

c−d iです。

従って c ーd i／c−d i

これは c ＋d i だったので、これは複素共役です。

何が得られますか？

これは分子は、

ac - adi ＋ bci - cdi^2です。

ac - adi ＋ bci - bdi^2です。

ac - adi ＋ bci - bdi^2です。

最後の項は、

ーbdi^2です。

ーbdi^2です。

いいですか？

これは(a+b)(a-b)です。

a＾２-b＾２です。

だから、これは、

掛け合わせて、

掛け合わせて、

c＾２＋d＾２です。

自分でやってみてください。

実際には、代数で、この乗算をし、

実数の部分同士、および

虚数部分同士を加算します。

簡素化しましょう。

実数の部分を見てみましょう。

acは実数です。

b d i＾２は

i＾２が−１なので、

＋bdになります。

iを取り除くことができます。

だから、実数の部分は、ac＋ b d です。

これとこれです。

そして、虚数部分は、

（b ciーad） i

そして分母はc＾２＋d＾２です。

まだ、複素数のように見えません。

これらの数字を分けて、

これは、(ac+bd)/(c^2+d^2)

実数の部分です。

（bc ーad）／（ c＾２＋d＾２）に

iを掛けた部分が、虚数です。

虚数と実数は、一緒に

加算、除算することはできません。

しかし、虚数を

実数で、乗算することができます。

いいですか？

１／（c＾２＋d＾２）で

これを乗算しました。

すべての変数を書くと

少し複雑に見えます。

実際の例をしてみると、

それほど、難しくないでしょう。

実際の例を見てみましょう。

1+2iを

これを、何かの複素数で

ランダムな数

２+３iで割ってみましょう。

どうすればいいですか？

分母の複素共役で乗算します。

２−３iです。いいですか？

数を変更していません。

これは 1 です。

分母を掛け合わせると、

いいですか？

４＋９はなんですか？

これは、a＾２＋b＾２の部分です。

いいですか？

a＾２ーb＾２の部分は

iの2乗で、それは負の数−１になります。

自分でやってみてください。

分子は、１＊２＝２で

１＊−３i,　これは、d-3iです。

２i ＊２は、４ i です。

２i ＊ー３i は

−６i ＾２です。

−６i ＾２です。

i の２乗は何に等しいですか？

−１です。

−１＊ー６です。

i の2乗を取り除き、これに肯定的になります。

実数の部分は何でしょうか。

実数の部分は、2、6 です。

だから 2 ＋ 6 は 8 です。

虚数部分は何ですか？

ー３i プ＋４i です。

だから＋１i です。いいですか？

ー3 ＋ 4 は＋１です。

だから、＋１i です。

分母は 13です。

書き換えると

8/13 ＋ 1/13＊i です。

ある複素数を他の複素数で割ると、

別の複素数が得られました。

興味深い練習は

ランダムな複素数を取り、

それらを複素平面のプロットし、何が起こるか見てみましょう。

それらを加算、除算、乗算、

減算してみて

何が起こるか見てみましょう。

または、複素共役を取ってみましょう。

これらの数を、直感的に

扱えるようになるでしょう。

次のビデオで会いましょう。