これまでに何が複素数であるか、および
それをグラフ化する方法を学びました。
また、その追加、減算、および乗算方法を学びました。
この最後のビデオで、
2 つの複素数の割り算を習います。
では、ある複素数が存在するとします。
a ＋ b iに等しいです。
２ によって分割したいです。
それは、c＋ d i.です。
では、ここで、
先のビデオに触れたことですが、
色を変えて書きます。
(a+b)(a-b) は
a ＾２ーb＾２です。
それを掛けあわせることができます。
覚えてますか？(a+b)(a-b) は、
このように解けます。
とにかくこれを行う方法を知っていますね。
復習です。
では、c ＋ d は何ですか？
これに似たことを
複素数で行うとどうなるでしょう。
(c+di)(c-di)です。
さて、この場合、a は、c です。
b は dです。いいですか？
これは、c ＾２ーdi＾２です。
diの2乗です。
cの2乗ーdiの2乗です。
これは、cの2乗ーdの2乗＊iの2乗です。
iの2乗は−１です。いいですか？
だから−１で乗算します。
それはこの負をキャンセルします。
cの2乗＋dの2乗です。
それは興味深いです。
複素数を他の数で乗算すると、
これは非常に似てますが、
虚数の符号が反対に変わっています。
この２つの複素数を乗算すると、
すべての i が消え、完全な実数になります。
一般的に、これを
たとえば、Z２、ここの式では、c+diで、
cーdiは、その複素共役と呼ばれます。
知っていると良い用語です。
複素共役の記号は、上部の線です。
Z２の複素共役は、 c ーdiです。
または、c ーd iの複素共役は
c ＋d iです。
または、反対にそれを言うことができます。
c＋ d i の複素共役は c ーd iに等しいです。
虚数の符号を
置き換えているのに気をつけてください。
それが複素共役です。
わかりましたか？
では元の問題に戻ります。
共役を使用して
この分割問題を解きます。
虚数をその複素共役で乗算すると、
実際の数を取得します。
また、何かを１で乗算すると、
同じ数を取得します。
それでは、分子と分母のこれを
分母の複素共役で掛けましょう。
これをやります。
分母の複素共役は
c−d iです。
従って c ーd i／c−d i
これは c ＋d i だったので、これは複素共役です。
何が得られますか？
これは分子は、
ac - adi ＋ bci - cdi^2です。
ac - adi ＋ bci - bdi^2です。
最後の項は、
ーbdi^2です。
いいですか？
これは(a+b)(a-b)です。
a＾２-b＾２です。
だから、これは、
掛け合わせて、
c＾２＋d＾２です。
自分でやってみてください。
実際には、代数で、この乗算をし、
実数の部分同士、および
虚数部分同士を加算します。
簡素化しましょう。
実数の部分を見てみましょう。
acは実数です。
b d i＾２は
i＾２が−１なので、
＋bdになります。
iを取り除くことができます。
だから、実数の部分は、ac＋ b d です。
これとこれです。
そして、虚数部分は、
（b ciーad） i
そして分母はc＾２＋d＾２です。
まだ、複素数のように見えません。
これらの数字を分けて、
これは、(ac+bd)/(c^2+d^2)
実数の部分です。
（bc ーad）／（ c＾２＋d＾２）に
iを掛けた部分が、虚数です。
虚数と実数は、一緒に
加算、除算することはできません。
しかし、虚数を
実数で、乗算することができます。
いいですか？
１／（c＾２＋d＾２）で
これを乗算しました。
すべての変数を書くと
少し複雑に見えます。
実際の例をしてみると、
それほど、難しくないでしょう。
実際の例を見てみましょう。
1+2iを
これを、何かの複素数で
ランダムな数
２+３iで割ってみましょう。
どうすればいいですか？
分母の複素共役で乗算します。
２−３iです。いいですか？
数を変更していません。
これは 1 です。
分母を掛け合わせると、
いいですか？
４＋９はなんですか？
これは、a＾２＋b＾２の部分です。
いいですか？
a＾２ーb＾２の部分は
iの2乗で、それは負の数−１になります。
自分でやってみてください。
分子は、１＊２＝２で
１＊−３i, これは、d-3iです。
２i ＊２は、４ i です。
２i ＊ー３i は
−６i ＾２です。
i の２乗は何に等しいですか？
−１です。
−１＊ー６です。
i の2乗を取り除き、これに肯定的になります。
実数の部分は何でしょうか。
実数の部分は、2、6 です。
だから 2 ＋ 6 は 8 です。
虚数部分は何ですか？
ー３i プ＋４i です。
だから＋１i です。いいですか？
ー3 ＋ 4 は＋１です。
だから、＋１i です。
分母は 13です。
書き換えると
8/13 ＋ 1/13＊i です。
ある複素数を他の複素数で割ると、
別の複素数が得られました。
興味深い練習は
ランダムな複素数を取り、
それらを複素平面のプロットし、何が起こるか見てみましょう。
それらを加算、除算、乗算、
減算してみて
何が起こるか見てみましょう。
または、複素共役を取ってみましょう。
これらの数を、直感的に
扱えるようになるでしょう。
次のビデオで会いましょう。