Problemas de série geométrica: caminhada

[RKA22] Olá, tudo bem? Você vai assistir agora
à mais uma aula de matemática

e, nessa aula, vamos resolver um exemplo
sobre a série geométrica.

Esse exemplo diz o seguinte: “Sara realizou
uma caminhada de 4 dias.

A cada dia, ela caminhava 20% a mais do que a distância
que ela caminhou no dia anterior.

Ela caminhou 27 quilômetros (27 km) no total.

Qual é a distância que Sara andou no primeiro dia da viagem?

Arredonde a resposta final para o quilômetro mais próximo.

Como sempre, pause o vídeo e tente encontrar a resposta.

Okay. Tentou? Vamos fazer juntos agora?

Inicialmente, vamos chamar o valor
que ela caminhou no primeiro dia de a,

e, com isso, vamos montar uma expressão
para determinar o quanto ela caminhou no total.

Lembrando que, no total, ela caminhou 27 quilômetros (27 km).

Com essa expressão, vamos ver se conseguimos resolver.

Então, no primeiro dia, ela andou “a” quilômetros.

E no segundo dia? Foi dito que, a cada dia,
ela caminhou 20% a mais do que ela caminhou no dia anterior,

então, no dia seguinte, ela vai andar 20% a mais
do que ela caminhou no dia anterior, que foi “a” quilômetros.

Então, teremos aqui 1,2 vezes a. E quanto ao dia depois disso?
Ou seja, no terceiro dia?

Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no segundo dia.

Sendo assim, teremos aqui 1,2 vezes 1,2 ou,
de forma mais simples, podemos dizer 1,2 ao quadrado vezes a.

E quanto no quarto dia? Como vimos, ela realizou
uma caminhada de 4 dias, então esse é o último dia.

Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no terceiro dia.

Então isso vai ser 1,2 elevado à terceira potência vezes a.

Ótimo. Essa é uma expressão para determinar
o quanto ela caminhou nos quatro dias,

e sabemos que ela caminhou um total de 27 quilômetros (27 km).

Então isso vai ser igual a 27 quilômetros (27 km).

Agora você pode resolver isso e encontrar o “a” aqui.

Para isso, você pode faturar o a, e, com isso,
ter a vezes 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado,

mais 1,2 à terceira potência, e tudo isso sendo igual a 27.

Dessa forma, teremos aqui que a é igual a 27 sobre 1,

mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado, mais 1,2 à terceira potência.

Sem dúvida, precisaríamos de uma calculadora
para fazer o cálculo,

mas fazendo assim chegaríamos à resposta tranquilamente.

O caso é que eu vou usar aqui uma técnica diferente,
que vai funcionar mesmo quando tivermos 20 termos aqui.

Não seria muito difícil fazer o cálculo dessa forma
que fiz com 20 termos, mas imagine se tivéssemos aqui 200 termos.

Isso ficaria incrivelmente mais difícil, não é?

Com a outra forma, vai ficar bem mais simples.
Mas que maneira diferente é essa?

Podemos resolver esse problema através da fórmula
de uma série geométrica finita e o que isso faz?

Basicamente, isso realiza a soma dos primeiros n termos,
e, para fazer isso, teremos a seguinte expressão.

a, que vai ser o primeiro termo,
menos “a” vezes a nossa proporção comum, que chamamos de R,

mas em nosso caso é 1,2, já que cada termo sucessivo
é igual a 1,2 vezes o termo anterior.

Sendo assim, podemos colocar aqui o R
elevado à enésima potência.

Tudo isso sobre 1 menos a proporção comum, R.

Em outros vídeos, explicamos de onde vem isso,

mas, aqui, estamos apenas utilizando isso aqui
para resolver um problema de aplicação.

Já sabemos o que é o nosso a, e usei isso aqui
como a nossa variável.

Nossa proporção comum nessa situação vai ser igual a 1,2
e o nosso n vai ser igual a 4.

Outra forma que eu gosto de pensar sobre isso
é que temos aqui o nosso primeiro termo,

que nós vemos aqui, e aí isso menos o último termo.

Se tivéssemos um quinto termo aqui, o utilizaríamos.
Tudo isso sobre 1, menos a proporção comum.

Com isso, esse lado esquerdo da nossa equação
pode ser reescrito da seguinte forma:

a menos a vezes 1,2, elevado a quarta potência

e tudo isso sobre um menos a nossa proporção comum,
que é 1,2. E isso é igual a 27.

Repare que podemos simplificar isso aqui um pouco.

Aqui no denominador, teremos -0,2 e, no numerador,
podemos faturar o a.

Isso vai ser igual à “a” vezes 1, menos 1,2
elevado a quarta potência.

Podemos multiplicar o numerador e o denominador por -1.

Eu vou colocar aqui o a fora da fração.
Temos aqui o a vezes...

Eu vou trocar as posições para nos livrarmos do negativo.

Então teremos aqui 1,2 elevado a quarta potência
menos 1 sobre 0,2. Tudo isso é igual a 27.

Novamente, tudo que eu fiz aqui foi colocar
o “a” multiplicando a fração.

Então eu multipliquei o numerador e o denominador por -1.

O numerador multiplicado por -1 faz com que os sinais
desses termos no numerador sejam trocados,

por isso troquei-os de posição, para ficar melhor.

E, claro, multiplicando o -0,2 por -1, obtemos 0,2 positivo.

Agora, eu posso simplesmente multiplicar
os dois lados da equação pelo inverso disso aqui.

Eu vou fazer aqui. Assim, teremos 0,2 sobre 1,2
elevado a quarta potência menos 1.

E do outro lado, a mesma coisa.

Multiplicamos isso por 0,2 sobre 1,2 a quarta potência menos 1.

Isso aqui cancela com isso, e isso, cancela com isso.

Foi exatamente por isso que eu fiz isso aqui.

Ficamos com a sendo igual a 27 vezes 0,2

sobre 1,2 elevado a quarta potência menos 1.

Essa expressão vai nos fornecer exatamente o mesmo valor
que a expressão que acabamos de ver,

só que, utilizando essa expressão, teremos maior facilidade,
pois poderemos fazer isso com muito mais termos.

Enfim, vou pegar a calculadora para resolver.

Vou calcular esse denominador primeiro.

Terei 1,2 elevado a quarta potência,
aí, esse resultado aqui menos 1.

É isso que temos no denominador.

Agora, podemos pegar o inverso disso aqui
e multiplicar por 27.

Ao encontrar esse resultado, multiplicamos por 0,2.

Pronto, chegamos a aproximadamente 5,0298.

5,0298 quilômetros (5,0298 km).

Porém, a questão está pedindo que a resposta seja arredondada
para o quilômetro mais próximo.

Então isso vai ser aproximadamente igual a 5 quilômetros (5 km).

Essa foi a distância percorrida pela Sara
no primeiro dia de caminhada.

Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que vimos aqui

e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!