Computing a Jacobian matrix

저번 시간에 배운 내용을
다시 생각해보자면

이 굉장히 비선형인 변환을 가져와

변환이 일어나고 있는 특정점에 대해

확대를 하면

선형성이 있어 보이는
것을 증명하였고

여기서 주어진 함수의

편도함수를 취함으로써

선형변환이 어떻게 생겼는지

구하고

그것을 행렬로 바꾸는 것이
가능하다는 것을 도출해내었죠

이번에는 단순히

이 편도함수들을 계산하는

방법에 대해서 애기할 것 입니다

일단 여기에 이 함수를 다시 써봅시다

이 함수를

편하게 볼 수 있는 장소로 말이죠

첫번째 성분은 x+sin(y)입니다

그리고 두번째 부분은

y+sin(x)이였죠

이제부터 단순히

저 모든 편도함수들을 계산하여

어떻게 생겼는지 보일 것입니다

계속해서 행렬을
여기 다시 그립시다

그래서 저 위의 왼쪽 성분에 대해

첫번째 부분의 x에 대한

편도함수를 구합니다

이제 첫번째 부분을 보면

x에 대한 편도함수는 1입니다

이 성분에는 x의 1배와 x와
전혀 상관이 없는 무언가가

더해져있기 때문이죠
그리고 이제 밑에

이 두번째 성분을 x에 대한

편도함수를 구합시다

그리고 이 y는 상수처럼 보이는군요

따라서 아무것도 일어나지 않고

sin(x)의 미분값은 cos(x)가 되죠

그리고 이 위에서 첫번째 성분의

y에 대한 편도함수를 구합니다

이에 대해서

x의 y에 대한 편도함수는 0입니다

sin(y)의 y에 대한 편도함수는

cos(y)입니다.

그리고 여기서 마지막으로

두번째 성분의 y에 대한 편도함수는
1처럼 보이는군요

왜냐하면 이것은 그저 y의 1배에
어떤 상수값이 더해진 것이기 때문이죠

그리고 이것이 x와 y의 함수인
전형적인 야코비안입니다.

하지만 이 특정 점 (-2,1)주변에서

일어나는 일들을 이해하기 위해서는

(-2,1)을 대입할겁니다

특정 점으로 대입하는 것을

것을 기억하기 위해서 다시 쓰고

저 함수 역할을 하는

행렬 값 함수로 보면

1로 되고 다음으로
이제 cos인데 cos을 보면

우리는 여기에 -2를 넣고

-2의 cos 값은

이 값으로 근사할 수 있습니다

-0.42요

만약 숫자로 생각하고 싶다면 말이죠

그 다음 위의 오른쪽에 대해
다시 cos값이 나오죠

하지만 이제 우리는 y에
값을 넣게 때문에

1을 넣고 cos(1)은 근사해서

0.54입니다
그리고 밑쪽의 오른쪽에서는

다시 1이라는 상수입니다

그러니, 저건 단순히
숫자만 있는 행렬입니다

그리고 잠시 우리가

이 선형변환이 어떵게
생겼어야 하는지

그리고 이 첫번째 기저 벡터가

(1, -0.42)로 보이는 원소로

바뀌게 되었는지

검산을 할 수 있게 해주었습니다

이것은 이 오른쪽 위의 성분을

자신이 시작한 벡터의 길이만큼 가졌고

그리고 이 밑쪽의 성분은

제가 생각하기에 -0.42로

생각할 수 있습니다

그리고 비슷하게 두 번째 열은

두번째 기저벡터에 어떤 일이 일어났는지

보여줍니다

그리고 다시, 이것의 y성분은

자신이 시작한 만큼의 길이인
1입니다

그리고 오른쪽의 성분은 대략
그의 절반정도입니다

여기 이 그림에서 실제로 확인할 수
있죠

이건 꽤나 간단합니다

단순히 모든 가능한 편도함수를 가지고

그들을 이런 격자로 정리합니다

그럼 이만
다음 동영상에서 뵙도록 하죠