Намиране на обратна матрица на матрица 3 х 3: Детерминанта и адюнгирано количество на матрицата

Финализиране на намирането на обратната матрица на матрица 3x3

Упражнявай се в Кан Академия:
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/inverting_matrices/e/matrix_inverse_3x3?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/inverting_matrices/v/inverting-matrices-part-2?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Пропусна предишния урок?
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/inverting_matrices/v/inverting-3x3-part-1-calculating-matrix-of-minors-and-cofactor-matrix?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.

Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnything

Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Много близо сме до финала
на нашето приключение

да намерим обратната матрица
на тази матрица с размер 3 х 3.

Следващото нещо,
което трябва да направим,

е да намерим детерминантата,
за което вече

имаме доста опит.

Значи детерминантата
на матрицата С –

ще използвам същия цвят –

има няколко начина
да направим това.

Можем да вземем...
можем да използваме идеята...

Можем да вземем горния
ред на матрицата

и да вземем стойността на
всеки от тези елементи,

да го умножим по адюнгираното количество –
по съответната адюнгирана матрица –

и после да ги съберем.

Това е единият начин.

Можем да използваме
другия начин, при който

преработваме тези
първите два стълба

и после умножаваме елементите
на диагоналите от горе вляво до долу вдясно,

сумираме ги и после
изваждаме от това

диагоналите от горе вдясно
до долу вляво.

Ще използвам втория
метод, защото искам

да видиш, че ще получим
същия резултат.

Да видим.

Детерминантата
ще е равна на...

ще препиша всичко това –

[–1; –2; 2;2;1;1;3;4;5].

Сега искам малко да го опростя,

ще препиша тези
първите два стълба.

Значи –1, –2, 2, 1, 3, 4.

Детерминантата ще бъде
равна на...

ще запиша това.

Имаме –1 по 1 по 5.

Това е равно на –5,

когато ги умножим.

После имаме –2 по 1, по 3.

Това е равно на –6.

Значи получаваме –6.

Можем да кажем
плюс –6.

После имаме 2 по 2 по 4.

Това е 4 по 4, което е 16.

Значи плюс 16.

После умножаваме диагонала
от горе вдясно до долу вляво.

Имаме –2 по 2 по 5.

Това е –4 по 5.

Това е –20.

Значи ще извадим –20.

Това е –4 по 5, –20,

ще извадим –20.

Очевидно това е същото
като да добавим плюс 20.

После имаме –1 по 1, по 4,
което дава –4.

Трябва да извадим
това произведение.

Значи ще извадим –4.

После имаме 2 по 1 по 3,
което е 6.

Трябва да го извадим.

Значи вадим 6.

Това се опростява до –5 минус 6,

което е –11, плюс 16,
това дава плюс 5.

Всичко се опрости до плюс 5.

После имаме плюс 20 плюс 4.

Всъщност ще използвам
зелен цвят,

за да не се объркваме.

Имаме плюс 20, плюс 4,
минус 6.

Колко дава това?

5 плюс 20 е 25, плюс 4 е 29,
минус 6 е 23.

Значи тази детерминанта
ето тук е равна на 23.

Сега наистина сме
почти на финала.

Обратната матрица
на тази матрица е

1 върху детерминантата,
по транспонираната матрица

на тази адюнгирана матрица.

Транспонираната матрица
на адюнгираната матрица

се нарича адюнгирано
количество.

Да го направим.

Ще напиша тук адюнгираното
количество.

Заслужаваме аплодисменти.

Вече наистина сме
почти на финала.

С обратна е равна на
1 върху детерминантата,

така че е равна на 1/23,
по адюнгираното количество на С.

Значи това е равно на
1/23 по транспонираната матрица

на нашата адюнгирана матрица.

Значи това тук е нашата
адюнгирана матрица.

При транспонирането
всеки ред става стълб.

Този ред става стълб.

Става 1, –7, 5;
става първи стълб.

Вторият ред става втори стълб –

18, –11, –2.

Накрая третият ред става
трети стълб.

Имаме –4, 5 и 3.

Сега само трябва да умножим,

или може би трябва да кажа да разделим
всяко от тези на 23 и сме готови.

Значи това е обратната матрица
на оригиналната матрица С,

на финала сме.

1 делено на 23 е 1/23.

После имаме 18/23.

Всъщност, ще си направя
малко повече място за работа.

Готово.

Значи 1 делено на 23 е 1/23,
18/23, минус 4/23,

минус 7/23, минус 11/23,
5/23, 5/23, минус 2/23.

Накрая, ако приемем, че
не сме допуснали

никакви грешки,
което ще ме шокира,

ако не съм грешил,
но получаваме 3/23.

И сме готови.

Успешно намерихме обратната
матрица на матрица 3 х 3.

Пак повтарям, че съм
твърдо убеден, че това

е по-добре да се прави
от компютър и вероятно

не е нужно да е част от
материала по алгебра,

защото обикновено това
се поднася без контекст.