Triangle inqequality theorem

Låt oss rita en triangel

Den här sidan har längden 6

Den här sidan har längden 10

Och den här sidan har längden x

Vad jag vill veta är hur stor eller liten x kan vara

Vi börjar med hur liten den kan vara

Om vi vill göra den liten kollar vi på den här vinkeln och gör den mindre

Här har vi 10-sidan

Jag gör vinkeln jätteliten, nästan noll

Om vinkeln blir noll får vi en degenererad triangel

Den blir bara en dimension, vi förlorar tvådimensionaliteten

När vinkeln närmar sig noll kommer de här sidorna närmare varandra

Du kan tänka dig att de sammanfaller och vi får den degenererade triangeln

Om du vill att den här punkten ska komma så nära som möjligt den här punkten

så att du minimerar avståndet x

så får du göra vinkeln till noll

Jag ritar vinkeln mindre och mindre

Den här sidan har längd 6

Vi gör den ännu mindre tills vi får en degenererad triangel

Den här sidan har längd 10

Vinkeln vi vill ha är noll

Den här sidan har längden 6

Vad är avståndet mellan de här två punkterna?

Det avståndet har längden x

I det degenererade fallet är det här avståndet x

Och 6 plus x är lika med 10

Så i det degenererade fallet är x lika med 4

Om du vill att det ska vara en riktig triangel

när x är 4 är punkterna så nära som möjligt men det är en linje

Om det ska vara en triangel måste x vara större än 4

Nu tänker vi på motsatsen

Hur stor kan x vara?

För att x ska bli större måste vinkeln bli större

Vi ritar 10-sidan igen

Jag gör vinkeln större och större

Här är 6-sidan

Vinkeln blir större och större och närmar sig 180 grader

Vid 180 grader blir triangeln en linje igen, en degenererad triangel

Jag ritar sidan med längd x

Vi försöker maximera avståndet mellan de här punkterna

I det degenererade fallet, 180 grader

är sidan med längd 6 på en linje med 10-sidan

Då hamnar punkterna så långt från varandra som möjligt

Vad är avståndet x?

Här är x lika med 6 plus 10 som är 16

om vi inte vill ha en degenererad triangel

så måste x vara mindre än 16

Principen vi arbetar på här kallas för triangelolikheten

Det är en ganska grundläggande idé

En sida i en triangel måste vara mindre än summan av de andra två sidorna

Längden av en sidan < summan av längderna av de andra sidorna

Om du är ok med degenererade trianglar

blir det mindre än eller lika med

Men vi håller oss till icke-degenererade trianglar

Längden av en sidan är mindre än summan av de andra två sidorna

Vi kan använda principen för att komma fram till samma resultat

x är mindre än 6 plus 10 vilket är 16

Samma resultat som vi fick av att visualisera det

Om du vill veta hur stor x kan vara

kan du säga att 10 måste vara mindre än

(eller hur LITEN x kan vara)

10 måste vara mindre än 6 plus x

Om du subtraherar 6 från båda sidorna

får du att 4 är mindre än x, eller x är större än 4

Det här är en grundläggande idé

Men du kommer definitivt se det i geometrin

Och i andra typer av matematik kommer du att se varianter av triangelolikheten