-
Vamos desenhar um triângulo.
-
O comprimento
deste lado é 6,
-
este lado aqui mede 10
-
e este lado mede x.
-
E quero saber qual é o maior valor
e o menor valor possível de x.
-
Então a primeira pergunta
é qual pode ser seu menor valor?
-
Se queremos
um valor pequeno,
-
basta pegarmos
este ângulo aqui
-
e reduzi-lo.
-
Vamos tentar reduzi-lo
o máximo possível.
-
Temos o lado 10...
-
Vou desenhar aqui embaixo.
-
Temos o lado
com 10 de comprimento...
-
E vou tentar aproximar
o ângulo de zero.
-
Se o ângulo se torna zero,
ele vira um triângulo degenerado.
-
Ele se torna unidimensional.
Perde a bidimensionalidade.
-
Mas conforme
nos aproximamos de 0,
-
este lado fica cada vez
mais próximo do lado 10.
-
E dá para imaginar
o caso de ele coincidir
-
e chegarmos ao triângulo
degenerado.
-
Se quisermos que este ponto
chegue o mais próximo possível
-
deste ponto aqui,
minimizando a distância x,
-
se o ângulo for igual a zero...
-
Aliás, vou desenhar
uma progressão.
-
O ângulo está diminuindo,
-
este é o comprimento 6,
o x está diminuindo.
-
E continuamos reduzindo
este ângulo
-
até chegarmos
a um triângulo degenerado.
-
Vou desenhar o lado rosa.
-
Este é o lado 10
e o nosso ângulo virou zero.
-
Este é o lado 6,
-
e qual é a distância
entre este ponto e este?
-
É a distância x.
-
No caso de um degenerado,
esta distância aqui é x,
-
e sabemos que 6 mais x
vai ser igual a 10.
-
Então, no caso deste
degenerado, x é igual a 4.
-
Se você quer que este seja
um triângulo real,
-
em x é igual a 4, o triângulo
se degenera e vira uma reta,
-
um segmento de reta.
Se quer que seja um triângulo,
-
x tem que ser maior que 4.
-
Agora vamos pensar
ao contrário.
-
Qual é o maior comprimento
a que x pode chegar?
-
Para aumentar o valor de x,
temos que aumentar este ângulo.
-
Vamos tentar fazer isso.
-
Desenho o lado 10 novamente...
-
Este é meu lado 10.
-
E agora quero
um ângulo bem grande,
-
então pego o lado 6
e desenho assim.
-
O ângulo está
cada vez maior,
-
se aproximando de 180 graus.
-
A 180 graus, o triângulo
novamente vira um segmento de reta,
-
um triângulo degenerado.
-
Vou desenhar o lado x.
-
Queremos maximizar a distância
entre este ponto e este.
-
Este é o lado x,
-
e vamos chegar até
o caso degenerado.
-
A 180 graus, o lado 6
forma uma linha reta
-
com o lado de comprimento 10.
-
Assim chegamos à distância
máxima entre estes dois pontos.
-
Nesta situação,
qual é a distância entre os pontos,
-
que vai ser a distância de x?
Nesta situação,
-
x é igual a 6 mais 10, a 16.
-
Se x é 16,
temos um triângulo degenerado.
-
Se não queremos
um triângulo degenerado,
-
se queremos as duas dimensões
do triângulo,
-
x tem que ser menor que 16.
-
O princípio que estamos
discutindo aqui
-
chama-se teorema
da desigualdade triangular.
-
E é uma ideia bem básica:
-
qualquer lado de um triângulo
tem de ser menor
-
do que a soma
dos outros dois lados.
-
Então comprimento
de um lado
-
tem de ser menor que
a soma dos comprimentos
-
dos outros dois lados.
-
Se quiser lidar
com triângulos degenerados,
-
nos quais se forma
um segmento de reta
-
e se perde
a bidimensionalidade,
-
podemos dizer
menor ou igual,
-
mas só queremos
triângulos não degenerados.
-
O comprimento de um lado
tem que ser menor que a soma
-
dos comprimentos
dos outros dois lados.
-
Usando este princípio, poderíamos
ter chegado à mesma conclusão.
-
Se x é um dos lados,
ele tem que ser menor
-
que a soma
dos outros dois lados.
-
Tem que ser menor
que 6 mais 10
-
ou x tem que ser menor
que 16.
-
Chegamos ao mesmo resultado
quando visualizamos assim.
-
Se quiser saber
o comprimento mínimo de x,
-
dizemos que 10 tem de ser
menor que
-
6 mais x: a soma do comprimento
dos outros dois lados.
-
Se subtraímos 6 dos dois lados,
ficamos com
-
4 é menor que x,
ou x é maior que 4.
-
Então esta é, de certa forma,
uma ideia básica,
-
e é algo que você verá
em geometria
-
e em outros tipos de matemática
verá outras versões
-
deste teorema da desigualdade
triangular.
Khan Academy
