Triangle inqequality theorem

삼각형을 그려봅시다

각 변의 길이를 파란색 변은 6, 분홍색 변이 10,
초록이 X 라고 해봅시다

그리고 X가 얼마나 커지거나 작아질 수 있는지 생각해봅시다

초록색 변의 길이가 얼마나 클지 작을지를요

첫 번째로 던질 질문은 "어디까지 작아질 수 있을까?"입니다

변의 길이가 작아지게 하려면 이 각에 주목하고,
크기를 줄이면 됩니다

그럼 이제 이 각의 크기를 최대한 줄여봅시다

여기 길이가 10인 변이 있고요,
각의 크기는 0에 아주 가까울 정도로 줄여보겠습니다

이 각의 크기가 0이 된다면 이 도형은 삼각형이 아니게 됩니다

근본적으로 1차원의 도형이 되니까
2차원적인 특성을 잃게 되죠

그러나 0에 가까워진다면 이 변은
길이가 10인 변에 점점 근접하게 됩니다

이렇게 가까이 가다가 실제로 변과 만나
세 점이 일직선에 놓이는 것을 한번 상상해 보세요

왼쪽 점이 오른쪽 점과 최대한 가까워지게 하는 것은

변의 길이 x를 줄이는 것과 같고

각의 크기를 0에 가까운 수로 만드는 것이 가장 쉽습니다

이렇게 각의 크기는 작아졌고요, 변의 길이는 변하지 않고 6입니다

x가 점점 작아지고 있네요

삼각형이 아니게 될 때까지 각의 크기를 계속 줄여 봅시다

크기가 10인 분홍색 변을 그려볼게요
각의 크기는 0이 되었습니다

파란 변의 길이는 6이고요

왼쪽 점과 오른쪽 점 사이의 거리는 어떻게 바뀌었나요?
x라고 부르기로 했죠

아래 그림처럼 된 상태에서는, 초록색 변의 길이는 x이고

6+x=10이므로

x는 4일 것입니다

x=4일때 이 점들 사이의 거리를 최대한 줄이게 되면

삼각형이 선분으로 바뀌게 되죠

이 도형이 삼각형이 되려면 x는 4보다 커야 합니다

다르게 생각해 봅시다

x는 얼마나 커질 수 있을까요?

x를 크게 하기 위해서는
이 초록색 각을 더 크게 만들어야 합니다

한번 해 봅시다

길이가 10인 변을 또 한번 그려볼게요

이 각을 점점 크게 만들 것입니다

길이가 6인 변을 이렇게 그리고요

각의 크기는 점점 커져 180도에 가까워지고 있습니다

180도가 된다면 삼각형은 아까처럼 선분이 될 거에요

길이가 x인 변을 그려볼게요

오른쪽 점과 왼쪽 점 사이의 거리를
최대한 늘려야 하는 것이죠

이게 길이가 x인 변이고요

삼각형이 선분이 될 떄까지 늘려 봅시다

각의 크기가 180도가 될 때 삼각형이 아니게 되는데

그때 길이가 6인 변과 10인 변은 선분을 형성합니다

이것이 이 두 점 사이의 거리를
최대한 크게 하는 법입니다

이렇게 되었을 때, 양 끝 점 사이의 거리는 몇이 될까요?

끝 점 사이의 거리는 x라고 할게요

이런 경우에서 x는 6+10=16에서 16이 되죠

x가 16일때 삼각형은 선분이 됩니다

그러므로 도형이 삼각형이 되려면,
x는 16보다 작아야겠죠

우리가 한 활동은 삼각형의 결정 조건에 관한 것입니다

사실 매우 기본적인 개념이죠

삼각형의 어떤 한 변의 길이는
다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다는 것입니다

한 변의 길이가
다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 하므로

이 조건을 만족하지 못하는 삼각형은 선분이 되어

2차원의 특성을 잃고 1차원의 도형이 됩니다

그렇다면 작거나 같다고 해도 될 거에요

그러나 우리는 선분이 아닌 삼각형을 다룰 것이므로

한 변의 길이가 다른 두 변의
길이의 합보다 작아야 하지요

이 법칙을 응용해서 같은 결론을 내릴 수도 있어요

여러분께서 'x가 한 변의 길이이니
6+10또는 16보다 작겠구나'라고 하신다면

이런 방법을 통해 똑같은 결과를 얻을 수도 있죠

x가 어디까지 작아질 수 있을까?라고 묻는다면

10은 6+x즉, 다른 두 변의 길이의 합보다
작다고 말할 수 있겠죠

양변에서 6을 뺀다면
44 라는 부등식을 얻게 되죠

이것은 어떻게 본다면 기본적인 개념이지만,

기하학을 배울 때는 꼭 보게 될 것이고

수학에서 더 많은 것들을 배우게 된다면

삼각형 결정조건이 정확히 무엇인지 아실 수 있을겁니다