-
Rajzoljunk egy háromszöget!
-
Mondjuk ennek az oldalnak a hossza 6,
-
ez az oldal pedig legyen 10 egység hosszú.
-
Ennek az oldalnak a hosszát
pedig jelöljük x-szel.
-
Azon fogunk elgondolkodni,
milyen nagy,
-
illetve milyen kicsi lehet
az x értéke.
-
Milyen hosszú,
illetve milyen rövid lehet ez az oldal?
-
Először azt nézzük meg,
milyen rövid lehet!
-
Ha nagyon kicsire
szeretnénk lecsökkenteni,
-
akkor erre a szögre
kell koncentrálni.
-
Figyeljük ezt a szöget,
és kezdjük el csökkenteni!
-
Csökkentsük a lehető legkisebbre!
-
Ez a 10 hosszúságú oldal.
-
Várj csak, itt lent fogom csinálni.
-
Ez a 10 hosszúságú oldal,
-
és ezt a szöget nagyon-nagyon
picire fogom rajzolni,
-
majdnem 0 fokosra.
-
Ha ez a szög 0-vá válik,
elfajult háromszöget kapunk.
-
Csak egy szakasz lesz,
-
nem lesz területe,
nem lesz kétdimenziós.
-
Ahogy közelítünk a 0-hoz,
-
ez az oldal egyre közelebb kerül
a 10 hosszúságú oldalhoz.
-
El lehet képzelni azt,
-
amikor egybeesik a kettő,
és előáll az elfajult eset.
-
Ha azt akarjuk, hogy ez a pont
-
a lehető legközelebb kerüljön
ehhez a ponthoz
-
– azaz az x távolság
minimális legyen –,
-
a legközelebb akkor kerül,
-
ha a szöget egészen 0-ra csökkentjük.
-
Rajzoljuk le a folyamatot!
-
A szög kisebb lesz
-
– ez a 6 hosszúságú oldal –,
-
x is kisebb lesz.
-
Egyre tovább csökkentjük a szöget,
-
mindaddig, amíg eljutunk
az elfajult háromszöghöz.
-
Iderajzolom a rózsaszín oldalt.
-
Itt a 10 hosszúságú oldal.
-
Itt a szög már lényegében 0,
ez a szög érdekel most minket.
-
Ennek az oldalnak a hossza 6.
-
Mekkora ennek a pontnak
és ennek a pontnak a távolsága?
-
-
Ez a távolság az x.
-
Az elfajult esetben
ez a távolság az x.
-
Tudjuk, hogy 6 + x = 10.
-
Az elfajult esetben
x egyenlő 4-gyel.
-
Ha valódi háromszöget szeretnénk
– amikor x értéke 4,
-
a pontok a
lehető legközelebb vannak,
-
a háromszög elfajult
egy szakasszá –,
-
ha háromszöget szeretnénk,
-
x-nek nagyobbnak kell lennie
4-nél.
-
Most vizsgáljuk meg a másik
végletet!
-
Mennyi az x maximális értéke?
-
Ha egyre nagyobb x-et keresünk,
-
akkor ezt a szöget kell megnövelni.
-
Próbáljuk ki!
-
Megint lerajzolom a 10 hosszúságú oldalt.
-
ez a 10 hosszú oldal.
-
Egyre nagyobbra veszem
ezt a szöget.
-
Fogom a 6 hosszúságú oldalt,
és iderajzolom.
-
Egyre nagyobb lesz a szög.
-
Megközelíti a 180 fokot.
-
180 foknál a háromszög
-
ismét szakasszá válik.
-
Megint elfajult háromszög lesz.
-
Lerajzolom az x hosszúságú oldalt.
-
Megpróbálom egyenesre húzni.
-
Maximalizálni próbáljuk
-
ennek a két pontnak a távolságát.
-
Ez az x hosszúságú oldal,
-
és folytassuk az elfajult esetig.
-
Az elfajult esetben, 180 foknál,
a 6 hosszúságú oldal
-
egy egyenesbe esik
a 10 hosszúságú oldallal.
-
Így lesz ennek a pontnak
és ennek a pontnak
-
a lehető legnagyobb a távolsága.
-
Ebben az esetben
mennyi a távolság
-
a két pont között,
-
mennyi lesz az x értéke?
-
Itt x értéke 6 + 10 lesz, ami 16.
-
Ha x = 16,
akkor elfajult háromszögünk van.
-
Ha nem szeretnénk
elfajult háromszöget,
-
ha azt szeretnénk,
hogy a háromszög kétdimenziós legyen,
-
akkor x értékének
16-nál kisebbnek kell lennie.
-
Amiről itt beszéltünk,
-
azt háromszög-egyenlőtlenségnek
hívják.
-
Ez egy alapvető
tétel.
-
Azt mondja ki, hogy egy háromszög
tetszőleges oldalának a hossza kisebb
-
– ha kizárjuk
az elfajult háromszöget –,
-
mint a másik két oldal hosszának
az összege.
-
Egyik oldal hosszának
kisebbnek kell lennie,
-
mint a másik két oldal
hosszának összege.
-
Ha az elfajult háromszöget
nem szeretnénk kizárni
-
– amikor szakasz jön létre,
-
és elvész a második dimenzió,
-
mert egydimenziós alakzat
jön létre –,
-
akkor kisebb, vagy egyenlőt
mondunk,
-
de most maradjunk
a nem elfajult esetnél.
-
Egy oldal hosszúságának
kisebbnek kell lennie
-
a másik két oldal
hosszának összegénél.
-
Ennek a tételnek a felhasználásával
-
ugyanerre a következtetésre
jutottunk volna.
-
Azt mondjuk: x az egyik oldal hossza,
-
és ennek kisebbnek kell lennie
-
a másik két oldalhossz
összegénél.
-
Kisebbnek kell lennie
6 + 10-nél,
-
vagyis x kisebb, mint 16.
-
Ugyanoda jutottunk,
mint amikor lerajzoltuk.
-
Megnézzük a minimális értéket?
-
Nos, x-nek nagyobbnak kell lennie...
-
Mennyi a legkisebb értéke?
-
Azt tudjuk, hogy
10-nek kisebbnek kell lennie,
-
mint 6 + x,
vagyis a másik két oldal összege.
-
Ha mindkét oldalból kivonunk 6-ot,
-
azt kapjuk, hogy 4 kisebb, mint x,
azaz x nagyobb, mint 4.
-
Ez egy alapvető dolog,
-
és biztos találkozni fogsz vele
a geometriai tanulmányaid során.
-
És ha majd elmélyedsz a matematika
más területeiben,
-
akkor látni fogod a háromszög-egyenlőtlenség
más megfogalmazásait is.
Khan Academy
