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Wir wollen ein Dreieck zeichnen.
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Diese Seite soll die Länge 6 haben.
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Diese Seite hier soll die Länge 10 haben.
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Die Länge dieser Seite wollen wir mit x bezeichnen.
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Ich werde jetzt darüber nachdenken,
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wie groß oder klein der Wert x sein kann.
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Wie lang oder kurz kann diese Seite sein?
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Zuerst fragen wir uns, wie kurz sie werden kann.
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Wenn wir sie kürzer machen wollen,
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müssen wir uns nur
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diesen Winkel hier oben ansehen.
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Ich werde also diesen Winkel kleiner machen,
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und zwar so klein wie möglich.
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Hier haben wir die Seite der Länge 10.
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Ich werde es hier unten zeichnen.
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Also haben wir hier die Seite der Länge 10,
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und ich werde diesen Winkel sehr, sehr klein machen,
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auf Null gehend.
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Wird der Winkel Null, erhalten wir ein entartetes Dreieck.
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Es hat dann nur eine Dimension.
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Wir verlieren die Zweidimensionalität.
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Wenn wir auf Null zugehen, beginnt diese Seite
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sich der 10er Seite anzunähern und fällt mit ihr zusammen.
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Man kann sich den Fall vorstellen,
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dass sie übereinstimmen und die Entartung eintritt.
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Wenn man diesen Punkt so nah wie möglich
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an diesen Punkt hier heranbringen möchte,
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die Entfernung x also wesentlich verkleinern will,
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ist es am einfachsten, den Winkel
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gleich Null zu setzen.
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Ich werde den Verlauf zeichnen.
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Der Winkel wird kleiner.
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Diese Länge ist 6.
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X wird kleiner.
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Wir machen den Winkel kleiner und kleiner,
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bis wir ein entartetes Dreieck bekommen.
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Ich zeichne die rosafarbene Seite.
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Die Seite hat die Länge 10.
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Der Winkel, um den es geht, ist jetzt Null.
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Diese Seite hat die Länge 6.
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Wie groß ist die Entfernung zwischen diesem Punkt
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und diesem Punkt?
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Die Entfernung ist die Strecke x.
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Im entarteten Fall ist diese Strecke hier x.
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Wir wissen, dass 6 plus x 10 ergeben muss.
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Im entarteten Fall ist x also gleich 4.
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Wenn es ein reales Dreieck sein soll,
haben bei x gleich 4
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diese Punkte den kleinsten Abstand.
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Es ist dann in eine Gerade, einen Geradenabschnitt entartet.
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Soll es ein echtes Dreieck sein,
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muss x größer als 4 sein.
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Jetzt wollen wir es anders herum betrachten.
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Wie groß kann x werden?
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Um x größer und größer werden zu lassen,
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müssen wir diesen Winkel vergrößern.
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Versuchen wir es.
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Ich zeichne wieder die 10er Seite.
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Hier ist meine 10er Seite.
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Ich werde diesen Winkel größer und größer machen.
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Ich nehme nun die 6er Seite und zeichne sie so ein.
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Dadurch wird unser Winkel größer und größer.
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Er nähert sich 180° an.
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Bei 180° wird unser Dreieck
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wieder zu einem Geradensegment.
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Es wird wieder zu einem entarteten Dreieck.
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Ich zeichne jetzt die Seite der Länge x,
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und versuche, sie gerade zu zeichnen.
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Wir wollen die Entfernung zwischen
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diesem Punkt und diesem Punkt maximieren.
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Also, dies ist die Seite der Länge x,
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wir verfolgen jetzt den Weg zum entarteten Fall.
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Im entarteten Fall, bei 180°, bildet die Seite der Länge 6
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eine gerade Linie mit der Seite der Länge 10.
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So kann man diesen Punkt und diesen Punkt
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am weitesten voneinander entfernen.
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Wie groß ist in diesem Fall
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die Entfernung zwischen den beiden Punkten,
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die unserer Strecke x entspricht?
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In diesem Fall ist x gleich 6 plus 10, also 16.
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Wenn x 16 ist, haben wir ein entartetes Dreieck.
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Wenn wir kein entartetes Dreieck haben wollen,
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wenn unser Dreieck zweidimensional sein soll,
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dann muss x kleiner als 16 sein.
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Der Lehrsatz, an dem wir hier arbeiten,
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wird Satz der Dreiecksungleichung genant
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und ist eine sehr grundlegende Idee.
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Jede Seite eines Dreiecks muss kleiner sein
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als die Summe der anderen beiden Seiten,
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wenn man kein entartetes Dreieck haben will.
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Also: Die Länge einer Seite muss kleiner sein
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als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten.
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Wenn man tatsächlich entartete Dreiecke betrachtet,
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die eigentlich ein Geradensegment bilden,
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verliert man jegliche Dimensionalität,
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man kommt zu einer eindimensionalen Figur -
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nur dann kann man von kleiner oder gleich sprechen,
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aber wir bleiben bei nicht entarteten Dreiecken.
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Die Länge einer Seite muss kleiner sein
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als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten.
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Unter Benutzung dieses Satzes
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erhalten wir genau das gleiche Ergebnis.
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Wir betrachten x als eine der Seiten.
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Sie muss kleiner sein als die Summe der Längen
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der anderen beiden Seiten.
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Sie muss also kleiner sein als 6 plus 10,
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oder x ist kleiner als 16 - genau dasselbe Ergebnis,
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das wir auf dem anschaulichen Weg erhalten haben.
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Wenn man sagen möchte, wie groß x werden kann,
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kann man sagen, 10 muss kleiner sein als - oder besser:
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Wie klein kann x werden?
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Man kann sagen, dass 10 kleiner als 6 plus x sein muss,
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also kleiner als die Summe der anderen beiden Seiten.
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Wenn man 6 von beiden Seiten hier abzieht,
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erhält man: 4 kleiner als x, oder x ist größer als 4.
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Es handelt sich hier in gewisser Weise um ein Grundprinzip
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aber man wird es in der Geometrie immer wieder antreffen.
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Auch in anderen Bereichen der Mathematik
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wird man auf andere Versionen dieser
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grundlegenden Dreiecksungleichung treffen.
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