Triangle inqequality theorem

Lad os tegne en trekant.

Lad os sige, at den blå side har længden 6, den lyserøde side har længden 10, og den grønne side har længden x.

Vi skal finde ud af, hvor stor eller lille x kan være.

Hvor stor eller hvor lille kan den her grønne side være?

Det første spørgsmål er: Hvor lille kan x være?

Hvis den grønne side skal være lille, skal den her grønne vinkel være mindre.

Lad os prøve at lave den så lille som muligt.

Vi har altså længden 10 her, og den her vinkel bliver meget, meget lille. Den går mod 0.

Hvis vinklen er 0, bliver trekanten degeneret.

Det vil side, at den bliver endimensional.

Når vi går mod 0, vil den her side næste falde sammen med den her side, der er 10.

Hvis de 2 sider ender med at være oven på hinanden, har vi netop en degenereret trekant.

Vi skal altså have det her punkt til at være så tæt som muligt på det her punkt.

Vi skal minimere x.

Det sker, når vinklen er tæt på 0.

Lad os tegne udviklingen. Nu er vinklen mindre. Den her blå side har længden 6,

og x bliver også mindre.

Vi laver vinklen mindre og mindre, indtil vi når en degenereret trekant.

Vi har altså den her lyserøde side med længden 10. Nu er vinklen her nærmest 0.

Den her blå side er 6.

Hvad er afstanden mellem det her punkt og det her punkt? Afstanden er 0.

I tilfældet med den degenererede trekant er længden her x.

Vi ved altså, at 6 plus x er lig med 10.

I det her tilfælde med den degenererede trekant er x lig med 4.

Hvis x er lig med 4, er det her altså en degenereret trekant,

der er blevet til et linjestykke.

Hvis det skal være en trekant, skal x være større end 4.

Lad os nu se på det omvendt.

Hvad er det største x kan være?

Når vi ser på det på den måde, skal vinklen her være større.

Lad os prøve at gøre det.

Lad os tegne siden med 10 igen.

Vi laver vinklen større og større.

Vi tegner siden, der er 6, her.

Nu bliver vinklen større og større, og den går mod 180 grader.

Når vinklen er 180 grader, vil vi igen have et linjestykke og dermed en degenereret trekant.

Lad os tegne siden, der er x nu.

Vi maksimerer altså afstanden mellem det her punkt og det her punkt.

Det her er siden med lænden x.

Lad os gå hele vejen til tilfældet med den degenererede trekant.

I det tilfælde er vinklen 180 grader,

og siden med længden 6 laver en lige linje sammen med siden, der er 10.

Det er sådan, vi får de 2 punkter til at være længst fra hinanden.

Hvad er afstanden mellem de 2 punkter i den her situation?

Det vil også være længden af x.

I den her situation er x lig med 6 plus 10. Det er 16.

Hvis x er 16, har vi altså en degenereret trekant.

Hvis vi ikke vil have en degenereret trekant, skal x altså være mindre end 16.

Det her vi har arbejdet med kaldes trekantsuligheden.

Det er ret grundlæggende.

Enhver side kan ikke være længere end summen af de 2 andre sider i trekanten.

Længden af 1 given side skal altså være mindre end summen af de 2 andre sider.

Hvis vi ikke har noget imod at få en degenereret trekant,

som i virkeligheden er et linjestykker, fordi den kun er i 1 dimension,

kan vi også sige mindre end eller lig med.

Her arbejder vi dog kun med ikke-degenererede trekanter.

Længden af 1 side skal altså være mindre end summen af de 2 andre sider.

Hvis vi brugte den viden, ville vi få samme resultat.

Vi ville sige, at x skal være mindre end 6 plus 10, altså mindre end 16.

Det er det samme, som vi fik, da vi gik igennem opgaven.

Vi kan også spørge os selv: Hvor lille x kan være?

Vi kan se, at 10 skal være mindre end 6 plus x. Det er summen af længden af de 2 andre sider.

Hvis vi trækker 6 fra på begge sider her, får vi 4 er mindre end x, eller x er større end 4.

Det her er altså på et eller andet plan en grundlæggende ting.

Det her er noget, der er helt centralt i geometrien,

og det er faktisk også noget, man kan se andre versioner af i andre grene af matematikken.

Det er trekanstuligheden.