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Laplace Transform 1

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    这一次我们将要介绍
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    拉普拉斯变换的概念
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    这个真的是我们学到的最有用的概念之一
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    不仅仅是在微分方程方面
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    而且在数学上也是
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    特别地 如果你打算在工程学方向深造
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    你会发现拉普拉斯变换
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    除了帮你解微分方程以外
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    还可以帮你作函数和波形变换
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    从时间域变换到频率域
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    并且学习和理解一整套的现象
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    不过我不会涉及所有的这些
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    现在先教大家这是什么
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    拉普拉斯变换
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    我会教大家这是什么
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    让大家适应里头的数学
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    然后再若干个视频以后
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    我会真正向大家展示
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    它解微分方程是多么给力
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    我们准备解几个原先解过的方程
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    用之前的方法解过的
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    但我们会一直做各种例子
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    求解越来越难的问题
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    那么什么是拉普拉斯变换呢？
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    额 拉普拉斯变换
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    记号为L 看起来好像
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    《拉芙妮和雪莉》里头的
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    这剧可能比你们老多了
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    但我是看着它长大的
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    我想我小时候看的 已经是重播了吧
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    所以 一个函数的拉普拉斯变换
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    在这里 我们习惯上不说 f(x)
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    而写成 f(t)
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    原因是在很多微分方程
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    和工程问题里
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    我们经常把一个时间的函数
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    转换为频率的函数
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    现在先别操心这个
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    如果你搞糊涂了的话
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    不过 一个t的函数的拉普拉斯变换
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    它把函数变换为
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    另一个s的函数
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    这能做到吗？
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    现在吧 我先写几个数学记号
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    你们可能看不出它们的意义
  • 2:01 - 2:05
    所以它做了什么变换？
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    我对此的理解是
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    它有点像个一族函数的函数
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    一个函数把一个集合映到
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    额 在我们处理的范围内
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    一个数集映到另一个数集
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    一个变换则把一族函数
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    映到另一族函数
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    现在让我定义这个
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    我们所用的拉普拉斯变换
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    是用反常积分定义的
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    我知道我现在还没有
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    介绍过什么反常积分
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    不过我现在就解释一下
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    作从0到无穷的反常积分
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    对e^(-st)f(t) 也就是
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    拉普拉斯变换括号中的函数 dt
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    这个看起来可能很吓人
  • 3:04 - 3:08
    也令人迷惑
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    不过我马上要做几个例子
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    所以 什么是拉普拉斯变换呢？
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    我们说 f(t) = 1
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    函数1的拉普拉斯变换是什么？
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    所以 如果 f(t) = 1
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    这是对时间的常值函数
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    这样吧 我直接把函数代入
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    我这里写的这个式子
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    从0到无穷 求反常积分
  • 3:41 - 3:49
    被积函数是 e^(-st)*1
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    我就不用再写了
  • 3:57 - 3:59
    不过这儿有个乘以 1dt
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    我知道这个无穷 现在吓到你们了
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    不过我们马上来解决它
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    就是现在
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    这个和极限是一样的
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    我们说 令A趋于无穷
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    考虑积分e^(-st)dt 从0到A
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    这只是为了你们看起来更舒服一点
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    大家可能已经猜到是这么回事儿了
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    因为很明显 我们不能代无穷进去算
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    但我们可以取极限
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    让某个东西趋于无穷
  • 4:32 - 4:34
    不管怎么说 我们求一下原函数
  • 4:34 - 4:36
    计算这个反常的定积分
  • 4:40 - 4:42
    或者说反常积分
  • 4:42 - 4:46
    那么e^(-st) 关于t的
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    原函数是什么
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    它等于 -1/s e^(-st) 对吧？
  • 4:53 - 4:55
    如果你不相信的话 求个导
  • 4:55 - 4:57
    得到-s倍的这个东西
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    系数消去了
  • 4:59 - 5:01
    然后只剩下e^(-st)
  • 5:01 - 5:05
    妥了
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    我先擦了这个 这个等号
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    因为我准备征用这块地
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    我们要取极限 令A趋于无穷
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    我们不用每次写得那么详细
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    不过这是我们第一次
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    处理反常积分
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    所以我写出来提醒大家
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    我们在取极限
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    现在求原函数
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    现在要计算原函数在A处的值
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    减去0处的值
  • 5:41 - 5:45
    然后取极限
  • 5:45 - 5:48
    令式子里的A都趋于无穷
  • 5:48 - 5:49
    所以 这等于A趋于无穷时的极限
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    好
  • 5:58 - 5:58
    如果我们先把A代入 我们得到-1/s
  • 5:58 - 6:01
    记住 我们在对t求积分
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    现在对t积分
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    e^(-sA) 对吧？
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    代入A的结果就是这样
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    如果我代入t=0 会怎么样呢？
  • 6:21 - 6:25
    当t=0时
  • 6:25 - 6:26
    式子变成e^(-s*0)
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    整项等于1
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    现在我只剩下-1/s
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    妥了
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    我往下拉一点
  • 6:39 - 6:42
    我写得有点儿大了
  • 6:42 - 6:45
    无所谓
  • 6:45 - 6:48
    所以它等于
  • 6:48 - 6:53
    A趋于无穷时
  • 6:53 - 6:56
    -1/s e^(-sA)的极限 减-1/s
  • 6:56 - 7:01
    即 +1/s
  • 7:01 - 7:05
    那么A趋于无穷时 极限是多少呢？
  • 7:05 - 7:06
    这项会怎么样？
  • 7:06 - 7:09
    当A趋于无穷时
  • 7:09 - 7:12
    若我们假设 s大于0
  • 7:12 - 7:13
    现在我们作这样的假设
  • 7:13 - 7:16
    我还是明确写出来吧
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    假设 s ≥ 0
  • 7:21 - 7:23
    如果我们假设 s ≥ 0
  • 7:23 - 7:25
    当A趋于无穷时 会发生什么？
  • 7:25 - 7:28
    这项会趋于0 对吧？
  • 7:28 - 7:29
    e 的负... 一个“狗狗”是一个很大的数
    【googol = 10^100,Google的名字的源于此词】
  • 7:29 - 7:30
    然后e的负“狗狗”次方 是一个非常小的数
  • 7:30 - 7:32
    所以当e的... 负无穷次幂趋于0
  • 7:32 - 7:35
    所以这整项趋于 0
  • 7:35 - 7:40
    这一项不受影响 因为里头没有 A
  • 7:40 - 7:44
    所以我们只剩下1/s
  • 7:44 - 7:46
    解完
  • 7:46 - 7:50
    这是你人生中重要的一刻
  • 7:50 - 7:54
    你刚刚第一次经历了 拉普拉斯变换
  • 7:54 - 7:56
    我会用几个视频向大家展示
  • 7:56 - 7:59
    拉普拉斯变换有一整套的变换表
  • 7:59 - 8:01
    最终我们会把它们全证出来
  • Not Synced
    f(t)=1的拉普拉斯变换
  • Not Synced
    但我觉得再算一个拉普拉斯变换
  • Not Synced
    但是现在 我们先算几个
  • Not Synced
    但这些会成为得出
  • Not Synced
    再会
  • Not Synced
    变换为一个s的函数
  • Not Synced
    我留着下个视频讲吧
  • Not Synced
    我还有大概3分钟
  • Not Synced
    整个变换表的敲门砖
  • Not Synced
    时间不够了
  • Not Synced
    比较基本的
  • Not Synced
    注意到 我们从一个t的函数出发
  • Not Synced
    等于1/s
  • Not Synced
    虽然这个函数 很明显不依赖于t
Title:
Laplace Transform 1
Description:

Introduction to the Laplace Transform
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Video Language:
English
Duration:
08:01
amyyan edited Chinese, Simplified subtitles for Laplace Transform 1
amyyan added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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