f(t)=1的拉普拉斯变换 但我觉得再算一个拉普拉斯变换 但是现在 我们先算几个 但这些会成为得出 再会 变换为一个s的函数 我留着下个视频讲吧 我还有大概3分钟 整个变换表的敲门砖 时间不够了 比较基本的 注意到 我们从一个t的函数出发 等于1/s 虽然这个函数 很明显不依赖于t 这一次我们将要介绍 拉普拉斯变换的概念 这个真的是我们学到的最有用的概念之一 不仅仅是在微分方程方面 而且在数学上也是 特别地 如果你打算在工程学方向深造 你会发现拉普拉斯变换 除了帮你解微分方程以外 还可以帮你作函数和波形变换 从时间域变换到频率域 并且学习和理解一整套的现象 不过我不会涉及所有的这些 现在先教大家这是什么 拉普拉斯变换 我会教大家这是什么 让大家适应里头的数学 然后再若干个视频以后 我会真正向大家展示 它解微分方程是多么给力 我们准备解几个原先解过的方程 用之前的方法解过的 但我们会一直做各种例子 求解越来越难的问题 那么什么是拉普拉斯变换呢？ 额 拉普拉斯变换 记号为L 看起来好像 《拉芙妮和雪莉》里头的 这剧可能比你们老多了 但我是看着它长大的 我想我小时候看的 已经是重播了吧 所以 一个函数的拉普拉斯变换 在这里 我们习惯上不说 f(x) 而写成 f(t) 原因是在很多微分方程 和工程问题里 我们经常把一个时间的函数 转换为频率的函数 现在先别操心这个 如果你搞糊涂了的话 不过 一个t的函数的拉普拉斯变换 它把函数变换为 另一个s的函数 这能做到吗？ 现在吧 我先写几个数学记号 你们可能看不出它们的意义 所以它做了什么变换？ 我对此的理解是 它有点像个一族函数的函数 一个函数把一个集合映到 额 在我们处理的范围内 一个数集映到另一个数集 一个变换则把一族函数 映到另一族函数 现在让我定义这个 我们所用的拉普拉斯变换 是用反常积分定义的 我知道我现在还没有 介绍过什么反常积分 不过我现在就解释一下 作从0到无穷的反常积分 对e^(-st)f(t) 也就是 拉普拉斯变换括号中的函数 dt 这个看起来可能很吓人 也令人迷惑 不过我马上要做几个例子 所以 什么是拉普拉斯变换呢？ 我们说 f(t) = 1 函数1的拉普拉斯变换是什么？ 所以 如果 f(t) = 1 这是对时间的常值函数 这样吧 我直接把函数代入 我这里写的这个式子 从0到无穷 求反常积分 被积函数是 e^(-st)*1 我就不用再写了 不过这儿有个乘以 1dt 我知道这个无穷 现在吓到你们了 不过我们马上来解决它 就是现在 这个和极限是一样的 我们说 令A趋于无穷 考虑积分e^(-st)dt 从0到A 这只是为了你们看起来更舒服一点 大家可能已经猜到是这么回事儿了 因为很明显 我们不能代无穷进去算 但我们可以取极限 让某个东西趋于无穷 不管怎么说 我们求一下原函数 计算这个反常的定积分 或者说反常积分 那么e^(-st) 关于t的 原函数是什么 它等于 -1/s e^(-st) 对吧？ 如果你不相信的话 求个导 得到-s倍的这个东西 系数消去了 然后只剩下e^(-st) 妥了 我先擦了这个 这个等号 因为我准备征用这块地 我们要取极限 令A趋于无穷 我们不用每次写得那么详细 不过这是我们第一次 处理反常积分 所以我写出来提醒大家 我们在取极限 现在求原函数 现在要计算原函数在A处的值 减去0处的值 然后取极限 令式子里的A都趋于无穷 所以 这等于A趋于无穷时的极限 好 如果我们先把A代入 我们得到-1/s 记住 我们在对t求积分 现在对t积分 e^(-sA) 对吧？ 代入A的结果就是这样 如果我代入t=0 会怎么样呢？ 当t=0时 式子变成e^(-s*0) 整项等于1 现在我只剩下-1/s 妥了 我往下拉一点 我写得有点儿大了 无所谓 所以它等于 A趋于无穷时 -1/s e^(-sA)的极限 减-1/s 即 +1/s 那么A趋于无穷时 极限是多少呢？ 这项会怎么样？ 当A趋于无穷时 若我们假设 s大于0 现在我们作这样的假设 我还是明确写出来吧 假设 s ≥ 0 如果我们假设 s ≥ 0 当A趋于无穷时 会发生什么？ 这项会趋于0 对吧？ e 的负... 一个“狗狗”是一个很大的数 【googol = 10^100,Google的名字的源于此词】 然后e的负“狗狗”次方 是一个非常小的数 所以当e的... 负无穷次幂趋于0 所以这整项趋于 0 这一项不受影响 因为里头没有 A 所以我们只剩下1/s 解完 这是你人生中重要的一刻 你刚刚第一次经历了 拉普拉斯变换 我会用几个视频向大家展示 拉普拉斯变换有一整套的变换表 最终我们会把它们全证出来