Proof - Opposite Angles of Parallelogram Congruent
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0:01 - 0:03我將在這個影片中向大家證明
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0:03 - 0:05平行四邊形的對角相等
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0:05 - 0:11如圖 我們要證明角CAB與BDC相等
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0:11 - 0:14也就是說 要證明的是這個角和那個角相等
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0:14 - 0:17並且角ABD與
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0:17 - 0:18角DCA相等
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0:18 - 0:22要證明這些等量關係 我們必須利用好平行線和截線
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0:22 - 0:24而圖中性線段既可以當成其中一條線段的平行線段
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0:24 - 0:26又可以作爲另一組平行線段的截線
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0:26 - 0:29我們把這些線段都延長一點
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0:29 - 0:33使得線段間截與被截的關係看起來更明顯
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0:33 - 0:37你可以自己把圖畫下來並且嘗試證明它
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0:37 - 0:40因爲全部的證明只利用了被截平行線與截線産生的
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0:40 - 0:43同位角以及內錯角
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0:43 - 0:47我們先標識出這個角
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0:47 - 0:50因爲黃色已經被用過了 所以我換一個新的顏色
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0:50 - 0:55讓我們從角BDC的等量關係開始
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0:55 - 0:59我把角BDC在這標記一下
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0:59 - 1:04角BDC與這邊這個角
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1:04 - 1:07互爲內錯角
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1:07 - 1:09實際上我們可以延長這邊這個端點
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1:09 - 1:14我把新的端點記做E
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1:14 - 1:22所以 由於平行線與截線構成的內錯角相等
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1:25 - 1:30角CDB與角EBD相等
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1:30 - 1:33這條是截線 這兩條是平行線
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1:33 - 1:36AB 或者說AE 與CD互相平行
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1:36 - 1:38很好
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1:38 - 1:40如果我們稍微換個角度想想
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1:40 - 1:45將BD與AC視爲當前平行線
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1:45 - 1:53並且將AB視爲當前截線 那麽我們將發現
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1:53 - 1:56角EBD與角BAC相等
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1:56 - 1:58因爲它們互爲同位角
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2:00 - 2:09由於平行線與截線構成的同位角相等
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2:11 - 2:18所以角EBD與角BAC 或者說是角CAB 相等
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2:18 - 2:20現在 如果角CDB與角EBD相等
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2:20 - 2:21角EBD又與角CAB相等
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2:21 - 2:23那麽角CDB和角CAB相等
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2:23 - 2:29綜上可知 角CDB 或者說角BDC
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2:30 - 2:35與角CAB相等
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2:36 - 2:39至此 我們已經證明了第一部分
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2:39 - 2:41接下來 我們將利用相同的思想來證明
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2:41 - 2:43剩下的一對對角相等
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2:43 - 2:48首先 我們將這條線視爲截線
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2:48 - 2:52也就是說 我們將AC視爲平行線AB與CD的截線
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2:52 - 2:57我在這再補一個點
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2:57 - 2:59記爲點F
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2:59 - 3:06所以 角ACD與角FAC相等
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3:06 - 3:17因爲它們互爲內錯角
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3:17 - 3:20現在我們將AC與BD視爲當前平行線並且
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3:20 - 3:24將AB視爲當前截線
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3:24 - 3:31那麽 角FAC與角ABD相等
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3:31 - 3:33因爲他們互爲同位角
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3:33 - 3:38由於角FAC與角ABD互爲同位角
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3:38 - 3:40所以它們相等
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3:40 - 3:44總結一下 首先我們將AC視爲截線
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3:44 - 3:48將AB與CD視爲被截平行線
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3:48 - 3:53之後將AB視爲截線 將BD與AC視爲被截平行線
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3:53 - 3:55顯然 如果角ACD和角FAC相等
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3:55 - 3:58角FAC與角ABD相等 則角ACD和角ABD相等
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3:58 - 4:02所以 若四邊形對角相等
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4:02 - 4:05與四邊形是平行四邊形
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4:05 - 4:07互爲充要條件
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David Chiu added a translation |