Addition Rule for Probability

สมมุติว่าผมมีถุงใบหนึ่ง และในถุงนั้น ผมใส่ลูกบาศก์สีเขียวลงไป

และผมใส่ลูกบาศก์สีเขียว 8 ลูกลงไป

ผมยังใช้ทรงกลมลงไปในถุงด้วย

สมมุติว่าผมใส่ทรงกลม 9 ลูกลงไป และมันมีสีเขียว

แล้วผมก็ใส่ลูกบาศก์สีเหลืองลงในถุงนั้น

มีลูกบาศก์สีเหลือง ผมใส่ลงไป 5 ลูก

และผมก็ใส่ทรงกลมสีเหลืองลงในถุงเดียวกันนั้น

ทรงกลมสีเหลือง สมมุติว่าผมใส่ลงไป 7 ลูก

ผมต้องใส่ทุกอย่างลงในถุงนั้น แล้วผมก็เขย่าถุงนี้

แล้วผมก็เทมันออกมา ผมดู

วัตถุอันแรกที่ออกมาจากถุงนั้น

สิ่งที่ผมอยากคิดในวิดีโอนี้คือว่า

ความน่าจะเป็นที่จะได้วัตถุแบบต่างๆ เป็นเท่าไหร่?

ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบาศก์เป็นเท่าไหร่?

ลูกบาศก์, สีอะไรก็ได้

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบาศก์เป็นเท่าไหร่?

ทีนี้เวลาคิด, เราควรคิดว่า --

หรือนี่คือวิธีคิดอย่างหนึ่ง คือว่า --

มันมีความเป็นไปได้ที่มีโอกาสเท่าๆ กันออกมาจากถุงอยู่กี่แบบ?

ทีนี้เรามี 8 บวก 9 เท่ากับ 17, 17 บวก 5 ได้ 22.

22 + 7 ได้ 29, เราจึงได้วัตถุ 29 อัน มันมีวัตถุ 29 อันอยู่ในถุง

ผมบวกถูกไหม? นี่คือ 14, ใช่, 29 อัน

ลองวาดรูปวัตถุที่เป็นไปได้ทั้งหมดสักหน่อย

ผมจะทำอย่างนี้, ผมจะแสดงนี้ในพื้นที่ใหญ่นี่

ผมจะแสดงมันด้วยพื้นที่อันใหญ่นี่ตรงนี้

พวกนี้คือวัตถุที่เป็นไปได้ทั้งหมด

มันมีวัตถุที่เป็นไปได้ 29 อัน

มันมีความเป็นไปได้ที่มีโอกาสเท่ากัน 29 อัน, เป็นผลลัพธ์

ของการทดลอง โดยดูว่าอะไรออกมาจากถุงก่อน

ถ้าถือว่าลูกบาศ์ก์หรือทรงกลมต่างก็มีโอกาสออกมาก่อนเท่าๆ กัน

แล้วมีกี่อันที่ตรงตามเงื่อนไขว่า มันเป็นลูกบาศก์?

ผมมีลูกบาศก์สีเขียว 8 ลูก และผมมีลูกบาศก์สีเหลือง 5 ลูก

มันรวมกันเป็น 13 ลูก

ขอผมเขียนเซตของลูกบาศก์นะ

มันมี 13 ลูก

ลองวาดมันแบบนี้

มันมีลูกบาศก์ 13, 13 ลูก

เจ้านี่ตรงนี้คือเซตของลูกบาศก์

ผมไม่ได้วาดถูกต้องเป๊ะ, ผมวาดคร่าวๆ เฉยๆ

นี่แทนเซตของลูกบาศก์ทั้งหมด

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบาศก์,

คือจำนวนเหตุการณ์ที่ตรงตามเงื่อนไข,

มันจึงมีลูกบาศก์อยู่ 13 อันที่มีโอกาสออกมาเท่าๆ กัน

ส่วนจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ และมีโอกาสพอกันทั้งหมด, ซึ่งก็คือ 29

นั่นรวมถึงลูกบาศก์และทรงกลมด้วย

ทีนี้ลองถามคำถามอีกอย่างนึง

ความน่าจะเป็นที่ได้สีเหลืองเป็นเท่าไหร่?

วัตถุสีเหลือง เป็นลูกบาศก์หรือทรงกลมก็ได้

เหมือนเดิม, มีของกี่อย่างที่ตรงตามเงื่อนไขตรงนี้?

เรามี 5 บวก 7, มันมีวัตถุสีเหลือง 12 อันในถุงของเรา

เราจึงความเป็นไปได้เท่าๆ กันอยู่ 29 อย่าง

ผมจะทำด้วยสีเดิมนะ

เรามีความเป็นไปได้เท่าๆ กัน 29 อย่างและในบรรดาพวกนั้น,

มีอยู่ 12 ที่ตรงตามเงื่อนไข งั้นสมมุติ, ขอผมเขียน 12 ตรงนี้นะ

ผมจะพยายามทำให้ดีที่สุดแล้วกัน มันดูออกมาเป็น...

เซตของวัตถุสีเหลือง, มันคือ 12

มันมีวัตถุ 12 อันเป็นสีเหลือง

แล้ว 12 อันตรงกับเงื่อนไขของเรา ได้ 12 ส่วนความเป็นไปได้ทั้งหมด คือ 29

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้ลูกบาศก์เท่ากับ 13 ส่วน 29

และความน่าจะเป็นที่ได้สีเหลืองเท่ากับ 12 ส่วน 29

ทีนี้ลองคิดสิ่งที่น่าสนใจกว่านี้กัน

ความน่าจะเป็น...

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบาศก์สีเหลืองเป็นเท่าไหร่?

ผมจะใช้สีเหลืองนะ ตอนนี้เราสนใจเรื่องสีด้วย

เจ้านี่มีสีเหลือง

ความน่าจะเป็นที่จะได้สีเหลือง, ที่ลูกชายผมเรียกว่า เลลโล้,

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบาศก์สีเหลืองเป็นเท่าไหร่?

ทีนี้, มันมีความเป็นได้พอๆ กันอยู่ 29 อย่าง

มันมีความเป็นไปได้ที่มีโอกาสเท่ากันอยู่ 29 อย่าง

และจากความเป็นไปได้ 29 อย่างที่มีโอกาสพอๆ กันนั้น, 5 อย่างนั้นคือลูกบาศก์สีเหลือง

หรือลูกบาศก์เลลโล้

มี 5 อัน ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 5 ส่วน 29

แล้วเราจะเห็นมันอยู่ตรงไหนของแผนภาพเวนน์ที่ผมวาดไว้?

และแผนภาพเวนน์, นี่ก็แค่วิธีวาดภาพความน่าจะเป็นต่างๆ

และมันจะน่าสนใจขึ้นตอนที่คุณคิดเรื่องเซตซ้อนทับกัน

หรือแม้แต่ตอนที่มันไม่ซ้อนกัน

ตรงนี้เราจะคิดถึงสิ่งที่เป็นสมาชิก

แล้วในเซตนี้, มันคือลูกบาศก์

ดังนั้นเซตนี่ตรงนี้, มันคือส่วนทับกันระหว่างเซตทั้งสอง

พื้นที่ตรงนี้

นี่แทนสิ่งที่เป็นทั้งสีเหลืองและลูกบาศก์

เพราะมันอยู่ข้างในวงกลมทั้งสอง

แล้วเจ้านี่ตรงนี้ ขอผมวาดมันตรงนี้นะ

มันมีวัตถุ 5 ชิ้นที่อยู่ทั้งสีเหลืองและ

สีเหลือง และลูกบาศก์

ทีนี้ลองถาม, และนี่คือคำถามที่น่าสนใจที่สุดคือว่า

ความน่าจะเป็น,

ความน่าจะเป็นที่จะได้ของที่เป็นสีเหลือง...

เป็นสีเหลืองหรือลูกบาศก์เป็นเท่าไหร่?

ลูกบาศก์สีอะไรก็ได้

ลูกบาศก์สีอะไรก็ได้

ความน่าจะเป็นที่ได้ของที่มีสีเหลือง หรือเป็นลูกบาศก์สีอะไรก็ได้ เป็นเท่าไหร่

ทีนี้เรายังรู้ว่าตัวส่วนเท่ากับ 29 เหมือนเดิม

มันคือความเป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งมีโอกาสพอๆ กันเวลาออกมาจากถุง

แล้วความเป็นไปได้ที่ตรงกับเงื่อนไขเราล่ะ?

วิธีคิดอย่างนั้นคือว่า

วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า อย่างนี้;

บางที, มันมีของ 12 อย่างที่ตรงตามเงื่อนไขสีเหลือง

มันก็คือวงกลมทั้งหมดนี่ตรงนี้,

ของ 12 อย่างตรงนีตรงตามเงื่อนไขสีเหลือง

เจ้านี่ตรงนี้จึงเป็น 12

นี่คือจำนวนของสีเหลือง นั่นคือ 12

แล้วจากนั้น, เราบวกจำนวนของลูกบาศก์เข้าไปไม่ได้

เพราะถ้าบวกจำนวนลูกบาศก์เข้าไป,

เรานับ 5 ตัวนี้ไปแล้ว

แล้ว 5 ตัวนี้ถูกนับเป็นส่วนหนึ่งของ 12 ตัวนี้แล้ว

วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า

มันมีวัตถุสีเหลือง 7 อันที่ไม่ใช่ลูกบาศก์,

พวกนี้คือทรงกลม

มันมีวัตถุสีเหลือง 5 อันที่เป็นลูกบาศก์

แล้วก็, มีลูกบาศก์ 8 ลูกที่ไม่ใช่สีเหลือง

นั่นคือวิธีคิดอย่างหนึ่ง

แล้วเมื่อเรานับ 12 ตัวนี้, จำนวนของสีเหลือง,

เราได้นับพวกนี้ทั้งหมดแล้ว

เราจึงบวกจำนวนลูกบาศก์เฉยๆ ไม่ได้,

เพราะเราจะนับตรงกลางซ้ำอีกที

ดังนั้นเราต้องนับจำนวนลูกบาศก์,

จำนวนลูกบาศก์, เท่ากับ 13,

13, จำนวนลูกบาศก์. จำนวนลูกบาศก์

จำนวนลูกบาศก์

ผมต้องลบมันออก, ส่วนตรงกลางนี่ตรงนี้

ขอผมทำแบบนี้นะ

แล้ว, ลบส่วนตรงกลางนี่ตรงนี้ออก

ได้ ลบ 5

นี่ก็คือจำนวน, จำนวนลูกบาศก์สีเหลือง

มันดูแปลกนะเวลาเขียนคำว่าสีเหลืองด้วยสีเขียว

จำนวนของลูกบาศก์สีเหลือง

หรือวิธีคิดอีกอย่างคอื

หรือเราจะใช้เลขนี่ตรงนี้ก็ได้

12 บวก 13 ลบ 5 ได้อะไร? มันก็คือ... มันคือ 20

ผมทำถูกไหม? 12 ลบ... ใช่ มันคือ 20

นั่นคือวิธีหนึ่ง, คุณจะได้ นี่เท่ากับ 20 ส่วน 29

แต่สิ่งที่น่าสนใจกว่านั้น, มากกว่าคำตอบว่าความน่าจะเป็นได้เท่าไหร่,

คือการแสดงเจ้านี่ในรูปของความน่าจะเป็นอื่น

ซึ่งเราหาไปแล้วในวิดีโอก่อน

ลองคิดกันสักหน่อย

เราสามารถเขียนเศษส่วนนี่ใหม่ตรงนี้ได้,

เราเขียนเจ้านี่ใหม่ได้ว่า: 12/29, บวก 13/29, ลบ 5/29

และนี่คือจำนวนสีเหลือง ส่วนความเป็นไปได้ทั้งหมด

แล้วนี่ตรงนี้ คือความน่าจะเป็นที่จะได้สีเหลือง

และเจ้านี่ตรงนี้ คือจำนวนลูกบาศก์ส่วนความเป็นไปได้ทั้งหมด

แล้วนี่คือบวกความน่าจะเป็นที่จะได้, ที่จะได้ลูกบาศก์

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบาศก์

และเจ้านี่ตรงนี้ คือจำนวนลูกบาศก์สีเหลือง ส่วนความเป็นไปได้ทั้งหมด

เจ้านี่ตรงนี้คือ ลบ

ความน่าจะเป็นของสีเหลือง และลูกบาศก์

และเราเขียนมันแบบนั้นได้

ความน่าจะเป็นของสีเหลือง, เอาล่ะ, สีเหลืองในสีเหลือง,

สีเหลืองและ, สีเหลืองและเป็นลูกบาศก์

สีเหลืองและเป็นลูกบาศก์

แล้ว, สิ่งที่เรามีตรงนี้,

คุณลองเล่นกับตัวเลขได้,

ตัวเลขที่ผมเพิ่งใช้เป็นตัวอย่างตรงนี้

เพื่อให้ทุกอย่างชัดเจนขึ้น

แต่คุณคงเห็นว่านี่เป็นผลโดยทั่วไป

ถ้าเรามีความน่าจะเป็นของเงื่อนไขหนึ่ง หรือเงื่อนไขหลายอย่าง

ขอผมเขียนมันใหม่นะ

ความน่าจะเป็น, ผมจะเขียนให้มันทั่วไปกว่านี้หน่อยนะ

นี่ทำให้เราได้ความคิดที่น่าสนใจ

ความน่าจะเป็นที่เป็นไปตามเงื่อนไขหนึ่ง

ที่วัตถุเป็นสมาชิกของเซต A, หรือสมาชิกของเซต B,

เท่ากับความน่าเจป็นที่มันเป็นสมาชิกของเซต A,

บวกความน่าจะเป็นที่มันเป็นสมาชิกของเซต B,

ลบความน่าจะเป็นที่มันเป็นสมาชิกของทั้งคู่

ลบความน่าจะเป็นที่มันเป็นสมาชิกของทั้งคู่

นี่คือผลที่มีประโยชน์มาก

และผมว่าบางครั้งมันเรียกว่ากฎผลบวกของความน่าจะเป็น

แต่ผมอยากแสดงให้คุณเห็นว่ามันเป็นเรื่องธรรมดามาก

สาเหตุที่คุณไม่สามารถบวกความน่าจะเป็นสองอันนี้ได้

เพราะพวกมันมีส่วนทับกันอยู่

มันมีความน่าจะเป็นที่ได้สองอย่างพร้อมกัน

และถ้าคุณบวกมันเข้าด้วยกัน

คุณก็จะนับส่วนทับเกินไป

ซึ่งเราเห็นไปแล้วก่อนหน้านี้ในวิดีโอนี้

คุณจึงต้องลบส่วนที่ทับกันออก

คุณจะได้ไม่คิดซ้ำ

และผมจะบอกคุณอีกเรื่องหนึ่ง

บางครั้งคุณมีความเป็นไปได้ที่ไม่ทับกัน

สมมุติว่านี่คือเซตของความเป็นไปได้ทั้งหมด

นี่คือเซตของความเป็นไปได้ทั้งหมด

และสมมุติว่านี่คือเซตที่ตรงตามเงื่อนไข A

และสมมุติว่านี่คือเซตที่ตรงตามเงื่อนไข A

และสมมุติ, นี่คือ, ขอผมใช้อีกสีนึงนะ

และสมมุติว่านี่คือเซตที่ตรงตามเงื่อนไข B

ในกรณีนี้ มันไม่มีการทับกัน

มันไม่มีทาง, ไม่มีทางที่จะเป็นสมาชิกของเซต A กับ B พร้อมกัน

ดังนั้นในกรณีนี้, ความน่าจะเป็นของ A กับ B เป็น 0

มันไม่มีการทับกัน

และเงื่อนไขแบบนี้, เหตุการณ์สองอย่างนี้,

เขาเรียกว่า เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

ไม่เกิดร่วมกัน (mutually exclusive)

ดังนั้น ถ้าเหตุการณ์ไม่เกิดขึ้นร่วมกัน นั่นหมายความว่า

ทั้งคู่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้

นี่คือ.. มันไม่มีเหตุการณ์ใดที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งสองพร้อมกัน

และถ้าทั้งสองไม่เกิดขึ้นร่วมกัน,

คุณก็บอกได้ว่า ความน่าจะเป็นของ A หรือ B เท่ากับความน่าจะเป็นของ A บวก B

เพราะเจ้านี่เป็น 0

แต่ถ้ามันเกิดขึ้นร่วมกันได้,

คุณก็ต้องลบส่วนที่มันทับกันออก

และวิธีคิดที่ง่ายที่สุด อาจจะดีที่สุดแล้ว

คือระลึกเสมอว่าคุณต้องลบส่วนที่ทับกันออก

และแน่นอนว่าถ้ามันไม่มีทางเกิดร่วมกัน,

ความน่าจะเป็นที่จะได้ A กับ B จะเท่ากับ 0

สมมุติว่าผมมีถุง และในถุงนั้นผมใส่ลูกบาศก์สีเขียว