Addition Rule for Probability

Здравствуйте!

Предположим, у меня есть мешок.

Я положу в него несколько зеленых кубиков.

А если точно – я положу 8 зеленых кубиков.

Также я положу туда несколько зеленых шариков.

Предположим, 9. А также положу несколько желтых кубиков.

Несколько желтых кубиков…

Пусть их будет 5.

И еще я положу туда несколько желтых шариков.

Предположим, я положу 7 желтых шариков.

Итак, все это я кладу в мешок,

затем встряхну этот мешок и всё высыплю…

И я хочу взглянуть на первый предмет, который выпадет из мешка.

вероятность получения различных типов предметов.

Например, какова вероятность получения кубика (любого цвета)?

Для начала найдем общее количество равновероятных событий

(т.е. всех имеющихся предметов).

8+9 – это 17, 17+5 – это 22, 22+7 – это 29.

Итак, всего 29 предметов в мешке.

Вроде не ошибся. 9+5 – это 14… Да, всего 29 предметов.

Давайте изобразим все имеющиеся предметы –

представим их в виде вот такой большой области.

Вот это всё – предметы, которые есть в нашем мешке. Их 29.

Значит, есть 29 равновероятных элементарных событий

для результата моего эксперимента

(наблюдения за тем, что выпадет из мешка).

При этом мы предполагаем, что первым может выпасть как кубик, так и шарик.

И сколько из них удовлетворяют нашему условию –

тому, что это кубик?

Ну, у нас есть 8 зеленых кубиков и 5 желтых.

Значит, всего 13 кубиков.

Давайте изобразим это множество кубиков.

Итак, 13 кубиков. Нарисуем вот так. 13 кубиков.

Вот это – множество кубиков.

Эта область (я не точно ее изобразил, а так, приблизительно)

представляет собой множество всех кубиков.

Итак, вероятность получения кубика –

это отношение количества событий, удовлетворяющих нашему критерию

(а у нас 13 возможных кубиков, имеющих равные шансы выпасть из мешка)

к общему количеству всех возможных событий

(это равно 29, что включает в себя и кубики, и шарики).

Теперь зададим другой вопрос.

Какова вероятность получения желтого предмета?

Желтого предмета – либо кубика, либо шарика.

Итак, еще раз: сколько предметов удовлетворяют нашему условию?

У нас есть 5 плюс 7 – всего 12 желтых предметов в мешке.

А также 29 равновероятных возможностей.

Напишу это прежним цветом…

Итак, 29 равновероятных возможностей.

них 12 удовлетворяют нашему условию.

Изображу здесь эти 12 предметов.

Предположим, это выглядит как-то вот так…

Множество из 12 предметов, которые являются желтыми.

Итак, 12 предметов удовлетворяют нашему условию.

12 из возможных 29-ти.

Вероятность получения кубика равна 13/29,

вероятность получения желтого предмета равна 12/29.

А теперь вопрос поинтереснее.

Какова вероятность получения желтого кубика?

Нарисую кубик желтым, теперь мы заботимся о цвете.

Т.е. этот предмет – желтый.

Какова вероятность получения желтого кубика?

Ну, всего 29 равновероятных элементарных событий.

Из этих 29 событий 5 – желтые кубики.

Поэтому вероятность равна 5/29.

А где бы мы это увидели на диаграмме Венна, которую я нарисовал?

Вот она, диаграмма Венна,

это просто способ визуального представления

некоторых вероятностей.

Станет интересно, когда вы начнете думать

о месте пересечения этих множеств.

Или даже если они не пересекаются.

Здесь можно подумать о предметах,

которые входят вот в это множество,

множество желтых предметов,

и являются при этом кубиками.

Т.е. вот эта область (пересечение этих двух множеств)

представляет собой желтые предметы,

которые являются кубиками.

Потому что она находится внутри этих двух окружностей.

Так и напишу здесь. В этой области 5 предметов,

которые одновременно и желтые, и кубики.

А теперь такой вопрос… И, возможно, самый интересный.

Какова вероятность получения предмета,

который желтый ИЛИ кубик (любого цвета)?

Вероятность получения какого-то предмета

желтого цвета или кубика любого цвета.

Итак, мы все еще знаем, что в знаменателе будет 29

Это все равновероятные события (какой предмет выпадет).

Но какие из них удовлетворяют нашим условиям?

Подумайте над этим вот так: есть 12 предметов,

удовлетворяющих одному условию

(тому, что предмет желтый).

Это вся вот эта желтая окружность.

12 предметов, удовлетворяющих условию «желтый».

Поэтому здесь можно написать 12 (количество желтых предметов).

И мы не можем к этому числу просто прибавить количество кубиков.

Потому что если мы прибавим количество кубиков,

то засчитается и это количество 5.

А это 5 в свою очередь является частью этих 12.

Поэтому нужно размышлять так: есть 7 желтых предметов,

которые не являются кубиками (это шарики),

есть 5 желтых предметов, которые являются кубиками.

А также есть 8 кубиков, которые не являются желтыми.

И если мы считаем эти 12 (количество желтых предметов),

то считаем всю вот эту область.

Поэтому не можем просто к 12 прибавить количество кубиков,

ведь тогда получится, что мы снова засчитали эту среднюю часть.

Очевидно, нужно прибавить количество кубиков (13)

и затем вычесть эту среднюю часть…

Так и сделаем, вычтем эту среднюю часть…

итак, минус 5 (количество желтых кубиков).

Это и есть второй способ размышления…

собственно, это уже можно вычислить: 12+13–5 равно чему?

20. Да, это 20, я не ошибся. Т.е. вероятность равна 20/29.

Но более интересный способ найти ответ –

выразить вот эту вероятность через те вероятности,

которые мы ранее вычислили в этом уроке.

Давайте немного подумаем над этим.

Можно переписать вот эту дробь. Вот так:

12/29 + 13/29 – 5/29.

Первый элемент – это количество желтых предметов, деленное на общее количество предметов.

Т.е. вероятность получения желтого предмета.

Второй элемент – это количество кубиков,

деленное на общее количество предметов.

Т.е. плюс вероятность получения кубика.

А третий элемент – это количество желтых кубиков,

деленное на общее количество предметов.

Т.е. минус вероятность получения желтого кубика.

Нет, лучше запишу вот так: вероятность желтого

(«желтого» пишу желтым цветом) и получения кубика.

Мы уже вычисляли это здесь.

Вы могли бы поэкспериментировать с числами.

Числа, которые я использовал в этом примере,

немного конкретизируют все эти вопросы.

Но вы видите, что вот это – обобщающая формула.

Если у нас есть вероятность одного условия ИЛИ другого…

Давайте я это перепишу.

Напишу здесь более обобщающим способом. Эта формула подсказала интересную идею.

Вероятность получения одного условия

(элемента множества А или элемента множества В)

равна вероятности элемента множества А

плюс вероятность элемента множества В

и минус вероятность элемента,

который принадлежит И к множеству А, И к множеству В.

Это очень полезный результат.

Это называется правилом сложения вероятностей.

Но я хочу показать вам те вещи, которые имеют вполне здравый смысл.

Причина, по которой вы не можете просто сложить эти две вероятности,

в том, что у них может быть какое-то частичное совпадение

(т.е. вероятность получения обоих элементов).

Если вы сложите эти 2 вероятности, то получится,

что вы дважды сложили их частичное совпадение,

которое вы уже видели в этом уроке.

Поэтому вы должны 1 раз вычесть это совпадение,

тогда вы не засчитаете его дважды.

Но есть еще один случай: иногда у вас могут быть вероятности,

которые не имеют частичного совпадения.

Предположим, что это – множество всех вероятностей.

И предположим, что это – множество, удовлетворяющее условию А.

А это… давайте обозначу другим цветом...

предположим, что это – множество,

удовлетворяющее условию В.

В этой ситуации нет частичного совпадения.

Нет ничего, что принадлежало бы и к множеству А, и к множеству В.

Поэтому P(A и В) (вероятность получения элемента А и В) здесь равна нулю.

А эти виды условий (или эти два события) называются взаимоисключающими (или несовместными).

Взаимоисключающие…

Это события, которые не могут произойти оба одновременно.

Нет события, удовлетворяющего обоим условиям (А и В).

И если эти события взаимоисключающие, то можно сказать,

что P(А или B) (вероятность события А или события В)

равна P(A) (вероятности А) плюс Р(В) (вероятности В) –

в этом случае это равно нулю.

А если события НЕ взаимоисключающие, то нужно вычитать частичное совпадение вероятностей.

Возможно, самый лучший способ размышления –

это всегда понимать, что нужно вычитать частичное совпадение вероятностей;

и знать, что, если какие-то события взаимоисключающие,

то вероятность их одновременного происхождения равна нулю.

Пока!