Addition Rule for Probability

Powiedzmy, że mam worek

I do tego worka włożę kilka zielonych sześcianów

Konkretnie, włożę do tego worka osiem sześcianów.

Włożę do niego również kilka kuli

Powiedzmy, ze włożę dziewięć kuli

I będą to zielone kule.

Włożę również kilka żółtych sześcianów w tym worku.

Będzie ich pięć. Włożę również kilka żółtych kuli do worka.

Powiedzmy, że włożę ich siedem. Wrzucę je wszystkie do worka.

I potrząsnę workiem. Wysypię z niego wszystko. I zobaczę jaki jest

pierwszy obiekt, który wypadnie z worka.

To nad czym chciałbym się zastanowić w tym filmie

jest prawdopodobieństwo wypadnięcia różnych typów obiektów

Na przykład, jakie jest prawdopodbieństwo wypadnięcia sześcianu dowolnego koloru?

Jednym ze sposóbów podejścia do tego jest zastanowienie się nad tym

ile jest wszystkich różnych, równie prawdopodobnych możliwości

które mogą wyskoczyć z worka?

Mamy 8 + 9 daje 17, 17 + 5 daje 22, 22 + 7 daje 29.

Mamy więc 29 obiektów w worku.

Dobrze policzyłem? ... tak 29 obiektów.

Narysujmy więc, wszystkie możliwe obiekty. Przedstawię to jako

jeden wielki obszar.

A więc są to wszystkie możliwe obiekty, jest 29 możliwych obiektów.

A więc jest 29 tak samo prawdopobnych możliwości dla wyniku mojego eksperymentu

sprawdzającego co wypada z worka.

Zakładając że wypadnięcie z worka jako pierwsze jest tak samo prawdopodobne dla sześcianu czy sfery.

Ile teraz z nich spełnia nasze wymagania, bycia sześcianem?

Cóż, mam 8 zielonych sześcianów i mam też 5 zielonych sześcianów.

Całkowita liczba sześcianów wynosi 13 sześcianów.

Pozwólcie, ze narysuję ten zbiór sześcianów.

Jest więc tutaj trzynaście sześcianów, mogę to narysować w ten sposób.

To tutaj jest zbiorem sześcianów. Jest to powierzchnia,

nie rysuję jej dokładnie, robię to w przybliżeniu,

reprezentuje zbiór wszystkich sześcianów.

A więc prawdopodobieństwo uzyskania sześcianu jest to

liczba zdarzeń, które spełniają nasze wymagania

jest więc 13 możliwych do uzyskania sześcianów, które mają

taką równą szansę wypadnięcia.

Podzielona przez wszystkie możliwe, równie prawdopodobne zdarzenia.

Których jest 29.

Wszystkie sześciany i kule.

Zadajmy teraz nieco inne pytanie,

jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania żółtego obiektu?

Sześcianu lub kuli. Ile obiektów spełnia nasze wymagania?

Cóż, mamy 5+ 7 to jest 12 żółtych obiektów w worku.

Mamy więc 29 równie prawdopodobnych możliwości,

narysuję to tym samym kolorem. Z nich 12 spełnia nasze kryteria.

Pozwólcie, że narysuję 12 tutaj - tak jak mogę najlepiej.

Powiedzmy, że wygląda to mniej więcej...

Zbiór żółtych obiektów, jest ich 12.

12 obiektów spełniających nasze warunki,

12 podzielone przez wszystkich 29 możliwości.

Prawdopodobieństwo uzyskania sześcianu 13/29,

prawdopodobieństwo uzyskania uzyskania żółtego obiektu 12/29.

Zapytajmy teraz o coś jeszcze ciekawszego,

jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania żółtego sześcianu?

Narysuję to na żółto. Dbamy teraz o kolor. A więc to jest żółte.

Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania --

lub jak powiedziałby mój syn --

"lellow" (przyp. tłum.po angielsku żółty to yellow).

jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania żółtego sześcianu?

Cóż, jest 29 równie prawdopodobnych możliwości i z tych 29 możliwości

5 jest żółtymi sześcianami lub lelownymi ( ;) ) sześcianami.

A więc prawdopodobieństwo wynosi 5/29. Teraz, gdzie możemy

zauważyc to na diagramie Venna, który narysowałem?

Diagram Venna, to po prostu sposób na rozrysowanie różnych prawdopodobieństw.

I zaczyna się robić interesujący, gdy zaczynacie zastanawiać się

nad tym gdzie zbiory się na siebie nakładają lub przeciwnie,

tam gdzie sie na siebie nie nakładają.

Tutaj myslimy o rzeczach, które są członkami zbioru żółtych.

A więc znajdują się w tym zbiorze i są również sześcianami.

A więc ten tutaj obszar, miejsce nałożenia się tych dwóch zbiorów.

Ten obszar reprezentuje obiekty, które są i żółte i są sześcianami.

Ponieważ znajdują się w obu okręgach.

A więc ten właśnie obszar, pozwólcie ze napiszę to właśnie tutaj

A więc jest tutaj 5 obiektów, które są zarówno żółte i sześcianami.

Teraz można zapytać, i pewnie będzie to najbardziej interesujące pytanie.

Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania czegoś co jest żółte lub jest sześcianem?

Lub jest sześcianem dowolnego koloru?

Nadal wiemy, że mianownikiem będzie 29. Są to wszystkie równie prawdopodobne

możliwości tego co może wypaść z worka.

Ale jakie są możliwości, które spełniają nasze wymagania?

Jeden ze sposóbów podejścia do tego jest następujący:

cóż, mamy 12 rzeczy, które spełniają warunek żółtości.

Więc to byłby cały ten okrąg tutaj. Więc piszemy 12.

Liczba żółtych.

To jest 12.

I do tego nie możemy po prostu dodać liczby sześcianów.

Ponieważ jeżeli dodalibyśmy po prostu liczbę sześcianów

policzyliśmy już raz te 5 obiektów, są one wliczone jako część

tych 12.

Można na to popatrzeć w ten sposób:

jest siedem żółtych obiektów, które nie są sześcianami.

Chodzi o sfery.

Jest pięć żółtych obiektów, które są sześcianami.

I dalej, jest 8 sześcianów, które nie są żółte.

Oto jeden ze sposobów patrzenia na ten problem.

Teraz, więc gdy policzyliśmy 12, liczbę żółtych, policzyliśmy

cały ten obszar. Nie możemy, więc po prostu dodać

liczby sześcianów. Ponieważ wtedy znowu policzylibyśmy tą środkową część.

Później w zasadzie to co musimy zrobić, to policzyć sześciany.

Liczbę sześcianów, która wynosi 13.

I będziemy musieli odjąć ten tutaj środkowy obszar.

Pozwólcie, że to zrobię.

Usuwamy środkową część, więc minus 5.

To jest liczba żółtych sześcianów.

Czuję się dziwnie pisząc słowo "żółty" na zielono.

Liczba żółtych sześcianów.

Innym jeszcze sposobem patrzenia na problem...

i możemy po prostu wyliczyć to sobie.

12 + 13 - 5 daje 20. Czyli całość równa się 20/29.

Bardziej interesującą od samej odpowiedzi rzeczą jest wyrażenie

tego prawdopodobieństwa za pomocą innych prawdopodobieństw

które wyliczyliśmy wcześniej w tym filmie.

Pomyślmy o tym trochę,

możemy przepisać od nowa ten ułamek jako:

12/29 + 13/29 - 5/29.

To była liczba żółtych podzielona przez wszystkie możliwości,

a więc prawdopodopodobieństwo uzyskania czegoś żółtego.

To była liczba sześcianów podzielona przez wszystkie możliwości,

a więc plus prawdopobieństwo uzyskania sześcianu.

A to z kolei była liczba żółtych sześcianów podzielona przez wszystkie możliwości,

a więc było to minus prawdopodobieństwo żółtego i sześcianu.

Przepiszę to w inny sposób.

Minus prawdopodobieństwo żółtego (na żółto) i uzyskania sześcianu.

I to co właśnie zrobiliśmy... możecie pobawić się podanymi liczbami

Liczb używałem jedynie jako przykładu, by pokazać jak to działa

na konkretnym przykładzie.

Ale możecie dostrzec, że można tę rzecz uogólnić.

Jeżeli mielibyśmy prawdopodobieństwo jednego warunku

lub drugiego warunku, pozwólcie że zapiszę to jeszcze raz.

Prawdopodobieństwo, zapiszę to teraz nieco ogólniej.

Mamy stąd bardzo interesujący wzór:

Prawdopodobieństwo uzyskania jednego warunku,

powiedzmy należenia do zbioru A lub należenia do zbioru B

jest równe prawdopodobieństwu należenia do zbioru A,

plus prawdopodobieństwo należenia do zbioru B,

minus prawdopodobieństwo tego, że jest członkiem obu.

I jest to bardzo przydatny rezultat, wydaje mi się że jest czasem

nazywany regułą dodawania dla prawdopodobieństw.

Chcę wam tylko pokazać, że można to wziąć na zdrowy rozsądek.

Powodem dla którego nie można tak po prostu dodać do siebie

tych dwóch prawdopodobieństw jest to, że mogą się nakładać.

Istnieje pewne prawdopodobieństwo uzyskania obu naraz.

Jeżeli po prostu dodalibyście te dwa do siebie,

liczylibyście podwójnie obszar w którym się nakładają.

Widzieliśmy jak to wygląda wcześniej w tym filmie.

Musicie więc raz odjąć obszar gdzie się nakładają,

tak żeby nie liczyć go podwójnie.

Wrzucę tutaj jeszcze jeden wzór.

Czasem istnieją prawdopodobieństwa, które nie nakładają się na siebie.

Wyobraźmy sobie teraz, że jest to zbiór wszystkich możliwości.

I powiedzmy, że ten zbiór, który spełnia wymagania zdarzenia A.

A ten... narysuję go w innym kolorze.

I powiedzmy, że to jest zbiór, który spełnia wymagania zdarzenia B.

W tej sytuacji nie ma żadnego nakładania się na siebie.

Nie ma czegoś takiego jak członek zbiorów A i B.

W tej sytuacji prawdopodobieństwo A i B wynosi zero.

Nie ma żadnego nakładania się na siebie.

Te dwa typy zdarzeń nazywane są wzajemnie wykluczającymi się zdarzeniami.

Jeżeli dwa zdarzenia są wzajemnie wykluczające,

oznacza to, że nie mogą się zdarzyć oba naraz w tym samym czasie.

Nie ma żadnego zdarzenia, który może spełniać oba warunki.

Jeśli zdarzenia są wzajemnie wykluczające, to można powiedzieć

że prawdopodobieństwo A lub B jest równe prawdopodobieństwu A

plus prawdopodobieństwo B,

ponieważ ta częśc jest równa zeru.

Ale jeśli zdarzenia nie są wzajemnie wykluczające się

musielibyście odjąć część w której się pokrywają.

Najlepiej myśleć o tym w ten sposób, że zawsze trzeba odejmować

część gdzie się nakładają i oczywiście jeżeli coś wzajemnie

się wyklucza to prawdopodobieństwo uzyskania A i B

będzie równe zero.