Addition Rule for Probability

私が鞄を持っていたとして、
そこに幾つかの緑のキューブ、

そうですね、
8個の緑のキューブを入れたとしましょう。

また、いくつかの球も鞄に入れたとします。

これは9個の緑の球としましょうか。

また、いくつかの黄色のキューブも鞄に入れましょう。

私は5個の黄色のキューブを入れたとしましょう。

また、黄色の球を鞄に入れたとしましょう。

そうですね、7個を入れたとしましょう。

私はこれらを全てこの鞄に入れたとします。そして鞄を振って、

これらを全て吐き出したとして、

最初に落ちたのを見たとします。

この動画で私が何を考えたいかというと、

違ったタイプの物の確率についてです。

つまり、この例での確率についてですが、

キューブを得る確率は何でしょうか？

どの色のキューブについてもです。

キューブを得る確率は何でしょうか？

このことをよく考えると、私たちは

あるいは、一つの考え方としては、

鞄から出てくる物の、
均等の可能性の全ては何でしょうか？

ええ、私たちは8 + 9 = 17, 17 + 5 = 22,

22 + 7 = 29。つまり、私たちは29の物を持っています。鞄の中には、29個の物があります。

正しいよね？　これは14、うん。29個だ。

では、すべての可能な物を描いてみましょう。

ここに鞄の中を描きましょう。

これが鞄です。

つまり、ここが全ての可能な物があるとします。

ここには29の可能な物があります。

つまり、ここには鞄から出てくる物の実験の、

29の均等な可能性があります。

鞄から最初に一つのキューブや球が
均等の可能性で出てくると仮定しましょう。

なら、そこからキューブである制約に適うのは、
どれくらいでしょうか？

8個の緑のキューブと、5個の黄色のキューブが
あります。

そこで、ここには合計の13個のキューブがありますね。

では、ここにキューブの合計を描くとします。

ここには13個のキューブがあります。

それを描くとしましょう。

ここには、13個のキューブです。

ここは、キューブの合計です。

私は正確には描かずに、近似で描きますよ。

ここが全てのキューブを表しています。

つまり、キューブを得る確率は、

この基準に適っている事象の数です。

つまり、ここにはキューブが出てくる均等にありえる
13の可能性があります。

29のすべての均等に起こりうる事象の中においてです。

全体の中には、キューブと球が含まれています。

では、違った質問をしましょう。

黄色の物が出てくる確率は何でしょう？

キューブや球の黄色の物ですよ。

では再び、どれだけの物が、この制約に適っているでしょう？

5 + 7、鞄の中に12個の黄色の物がありますね。

つまり、29の均等に起こりうる可能性があり、

同じ色で描きますよ。

29の均等に起こりうる可能性があり、そこから

基準に合う12個があります。
12個をここに描くとしましょう。

うまく描く様にしますよ。うん、それはこんな感じだな...

ここには12の黄色の物の集合があります。

ここに、黄色である12の物があります。

つまり、すべての29の可能性のうち、
基準に合っている12個がここにあります。

つまり、キューブを得る確率は、29分の13で、

黄色を得る確率は、29分の12です。

では、もう少し面白いことをしよう。

何が確率の...

では、黄色のキューブを得る確率は何でしょうか？

なので、ここに黄色を置いて、今はこの色に注意しますよ。

つまり、この物は黄色です。

黄色のキューブを

得る確率でしょうか？

ええ、ここには29の均等に起こりうる可能性があります。

29の均等に起こりうる可能性があります。

この29の均等な可能性のうち、黄色のキューブであるのは5です。

黄色のキューブです。

全てのうちの5、つまり、29分の5の確率です。

そして、ここに私が描いたベン図も見れます。

このベン図は、違った確率を視覚化する方法の一つなのです。

重なり合っている集合について考えるとき、
この図が面白くなっていきます。

重なってなくても面白いです。

つまり、ここで黄色の集合のメンバーについて考えています。

こっちにはその集合があり、こっちのはキューブについてです。

なので、この部分は、二つの集合が重なり合っている場所です。

この部分がですよ。

ここは黄色でかつキューブである物を表しています。

なぜなら、ここは二つの円の内側にあるからです。

なので、この場所に、描けるようにしますよ。

つまり、ここには黄色でかつキューブである

5個の物があります。

では尋ねますよ。そしてこれはたぶん、最も興味深いことだと思いますが、

確率は何ですか、

では黄色かキューブである物の確率は何でしょうか？

黄色かキューブである物の

どんな色のキューブも、

どんな色のキューブも。

黄色か、どんな色のキューブの物の確率です。

ええ、私たちは分母が常に29であるのを知ってますね。

これは、鞄から出てくる物すべての均等に起こりうる可能性です。

ですが、私たちの条件に適っている可能性は何でしょう？

ええ、それについて考える一つの方法は、

それについて考える一つの方法は、

おそらく、黄色の条件に適っているのは、12個の物です。

その全体の円はここにあります。

黄色の条件に適っている12個の物です。

なので、ここにあるのが、12です。

これは黄色の数で、12です。

そして、私たちは、キューブの数を単純に足すことは出来ません。

なぜなら、キューブの数を足していたら、

私たちはすでに、ここの5個を数えています。

これらの5個は、この12個のうちに数えられています。

このことを考える一つの方法は、

ここに7個のキューブでない黄色の物があります。

これらは球です。

ここには、キューブである5個の黄色の物があります。

そして、ここには黄色でない8個のキューブがあります。

これが、このことを考える方法の一つです。

つまり、ここで黄色の数、12を数えていたら、

ここの全てを数えています。

なので、キューブの数を単純に足すことは出来ないのです。

なぜなら、私たちはこの中央の部分を再び足すからです。

なので、キューブの数を数えるためには、

キューブの数、13を、

キューブの数は13ですね。

キューブの数

私はこの中央の部分を引く必要があるのです。

では、そうしてみましょう。

では、この中央の部分を引いてみます。

つまり、-5。

ここが、黄色のキューブの数です。

緑色で黄色の言葉を書くのは妙な気分です。

黄色のキューブの数です。

あるいは、別の方法で考えるとしたら、

単純に数学をここで行うのです。

12 + 13 - 5 = 何でしょう。それは、それは... 20。

そうしたよね？　12 - ... うん、それは20だ。

これが一つの方法です。これで単に29分の20を得られます。

しかし、確率の答えを得ることよりも、さらに面白いことは、

この動画の最初のころに説明した他の確率で

式を表せることです。

では、少しそのことを考えみましょう。

私たちはここの分数を再び書くことができます。

ここで、12/29 + 13/29 - 5/29 と書けます。

そして、ここが全ての可能性のうち、黄色の数についてです。

つまり、ここが黄色のものを得る確率です。

そして、こっちは、すべての可能性のうち、キューブの数です。

つまり、キューブを得る確率を足しているのです。

キューブを得る確率です。

そして、ここが、すべての可能性のうち、黄色のキューブの数です。

なので、ここに描いているのは、

黄色で、かつ、キューブの確率を引いているのです。

描き方を変えるとします。

黄色の確率、正しいよね、黄色で黄色、

黄色で、かつ、キューブを得る。

黄色でかつキューブ

つまり、ここにあるのは、

きみは、ここの数で行うことも出来ますよ。

私が例として使った数でです。

もう少し具体的にするとしたら。

ですが、こっちでは、一般的な方法として見ることが出来ます。

一つの条件、あるいは幾つかの条件の数の確率を知っていたら。

では、再び描くとしましょう。

もう少し一般的に確率を書くしたら、

これは面白い考えを得られます。

集合Aのメンバーの物や、集合Bのメンバーの物の

一つの条件の確率を得るのは、

集合Aのメンバーの確率に、

集合Bのメンバーの確率を足して、

両方に属しているメンバーの確率を引く。

両方に属しているメンバーの確率を引く。

これは、とても使える結果です。

そして、これは確率の加法とも呼ばれています。

ですが、これは完全に常識だと、きみに示したいです。

なぜ二つの確率を単純に足せないかというと、

これらは重なり合っている部分があり、

両方の確率を得てしまうからです。

もし単純に足していたとしたら、

重なっている部分を二重に数えてしまいます。

これは動画の最初のほうで既に見ましたよね。

そこで重なっている部分のうち、一つの方を引く必要があるのです。

それで、二重に数えることはなくなります。

そして私は、別の考えも見せたいです。

ときには、いずれも重なっていない幾つかの確率があったとします。

これを、すべての可能性の集合と呼ぶとします。

これは、全ての可能性の集合です。

そして、ここが条件Aに適っている集合とします。

そして、ここが条件Aに適っている集合とします。

そして、ここが...違った色で描くとしましょうか。

そして、ここが、条件Bに適っている集合とします。

つまり、この場合、重なっている部分はありません。

集合AとBの両方に属するメンバーはありません。

この場合、AかつBの確率は0です。

重なっている部分はありません。

この場合の条件、あるいは二つの事象は、

相互排反と呼ばれています。

相互排反です。

つまり、これらの事象が相互排反なら、

同じ時間に、同時に起こらないという意味です。

つまり、これらの条件両方に適っている事象は無いということです。

そして、これが相互排反だったら、

AかBの確率は、A + Bの確率とは言えません。

なぜなら、答えは0だからです。

ですが、相互排反で無かったとしたら、

重なっている部分を引く必要があります。

そして、この事についての、もっとも簡単な、おそらく最良の考えは、

つねに、重なっている部分は引く必要があると考えることです。

そして、明らかに相互排反だったならば、

AとBを得る確率は、0になるのです。

鞄の中にいくつかの緑のキューブがあるとします。