Divergence notation

만약 구성 함수 P와 Q를 가지는

벡터장이 있으면

2차원적인 벡터장이 있으면

스칼라값 함수 x와 y로 이루어진

v의 발산은

정의에 의해 x에 대한 P의 편도함수 더하기

y에 대한 Q의 편도함수라고

제가 전에 말했습니다

사실 이 공식을 외우는 데 도움이 되는

또다른 발산 표현법이 있습니다

이게 무엇이냐면

구배를 표현할 때 쓰는
나블라 문자 즉 뒤집어진 삼각형이랑

벡터값 함수를 내적하는

방법입니다

구배로 진행했듯이

이 뒤집어진 삼각형에 대한 약한 기억을 되살려 보면

편미분 연산자가 가득한

벡터로 생각합니다

뭔가 엄청나 보이지만

미소 x 분의 미소를 가지고 하는 겁니다

함수를 가지고

그것의 편도함수를 만드는 것이죠

이게 첫번째 성분입니다

두번째 성분은 이 미소 y 분의 미소를 말합니다

함수를 가지고

y에 대한 편도함수를 취하는 것이죠

하지만 이게 진짜 벡터가
아니라는 것을 어렴풋이 알고 있습니다

이것들은 숫자나 함수 그런 것이 아니지만

뭔가 써내려 가면

기호적으로 도움이 되는 겁니다

여기에다가 내적을 하면

v랑 내적을 합니다

x, y에 대한 P와 Q, 이 스칼라값 함수들을 성분으로 가지는 v와 말입니다

내적하는 것을 상상할 때

아마 이것들을 줄세워서 할 겁니다

첫째 곱하기 둘째 이렇게요

이 경우에서는 말입니다

이 첫 성분 곱하기 p라고 할 때는

사실 이 편미분 연산자를 가지고

이를 p에 대해 취해주는 것입니다

이게 이 경우에서의 곱셈이 되는 것이죠

그럼 이건 이렇게 되고 내적을 진행해 보면

이 미분 연산자를 가지고

이 미소y 분의 미소를

q와 곱해 봅시다

이런 연산자의 경우에서는

연산자에다가 함수 q를 붙여서

편미분을 하는 것을 의미합니다

여기 똑같은 게 이쪽에 있네요

우리가 구한 공식과 동일합니다

이건 약간 발산이 무엇인지

기억하기 위한 장치라는 면에서

꽤 괜찮습니다

또 괜찮은 점이 있는데 바로

고차 함수에도 적용할 수 있다는 것입니다

만약 어떤 벡터값 함수가

여기 있다면

참고로 3차원 벡터장입니다

그럼 x,y,z를 입력받겠죠

그리고 출력도 3차원이어야 하니

P, Q, R 이런 식으로 될 겁니다

이 모든 것은 x와 y에 대한 함수입니다

그럼 x와 y에 대한 P, Q인데..
아 잠시만요 x, y, z이죠?

2차원 즉 x와 y에 대해서만 하는게 습관이 되었네요

그럼 x,y,z에 대한 P, 동일하게 Q와

Z가 이렇게 되겠죠

사실 아직 3차원 발산에 대해서 이야기하진 않았습니다

하지만 이걸

나블라와 벡터값 함수를 내적하는 것으로 생각하면

충분히 이해가 될 겁니다

이 경우에서는 나블라가

3개의 서로 다른 성분을
가지는 것으로 생각해야 겠죠

한쪽에는 미소 x 분의 미소

여기 미소 x가 와야 합니다

두번째 성분은 미소y 분의 미소입니다

마지막 성분은 미소z 분의 미소입니다

이 변수들의 순서는 그냥

있는 대로 쓴 것입니다

x, y, z라는 이름을 가지고 있지 않더라도

함수에서 표현되는 순서와 동일하게

쓰도록 합니다

이것과 P 함수

Q 함수 그리고 R 함수와

내적을 한다고 상상하면

무엇이 얻어질 지 아래에 써보겠습니다

미소 x 분의 미소를 P와 곱합니다

사실 P에 대해 적용하는 것을 의미하지만요

여기 미소 x가 해결됬습니다

그럼 이제 미소 y 분의 미소를 더해 보죠

물론 Q에 취해주는 것이지만

곱한다고 상상하는 것이죠

그리고 이제

세번째 성분들을 서로 곱한 걸 더해야 합니다

또는 미소 z 분의 미소 곱하기 마지막 성분입니다

제가 3차원 발산이 있는

3차원 벡터장에 대해서는

아직 이야기를 하지 않았기 때문에

이게 발산 꼴로 나타나는 것에 대해

전의 둘에 비해서 직관적으로
이해되지 않울 수 있습니다

하지만 사실 꽤 비슷합니다

벡터의 z 성분에 대해 생각하는겁니다

입력 부분의 z값을 말합니다

위아래로 움직이고

그 방향이 바뀌는 것 처럼입니다

이 패턴은 우리가 시각화하지 못하는

다차원, 즉 4, 5, 100차원 등에서도 성립합니다

이게 이 표현이 쓸모 있는 이유입니다

이 공식이

간단한 패턴이 있다는 것을

굉장히 압축적으로

설명해 줍니다

다른 방법이었으면 꽤 쓰기 어려웠을 겁니다

다음 영상에서 뵙도록 하겠습니다