Mean and standard deviation versus median and IQR

各学年の生徒数が９人の小さな学校から、

最近、卒業した学生が９人います。

卒業１年後の彼らの給与の

傾向を求めたいと思います。

１年後のサラリーの

ばらつきも求めたいです。

そこで彼らは給与額を
コンピュータに入力することに同意し

これがその給与額です。

千の単位で書かれています。

つまり、35,000、50,000、50,000、
50,000、56,000

そして2人が60,000で、次が75,000、
最後に250,000があります。

この人はとても給与が高いですね。

このデータに基づいて

コンピュータはいろんなパラメータを
出力しています。

２つの典型的な中心の傾向を
示すパラメータがあります。

平均は約 76.2 です。

コンピュータはこれらの値を合計し

そして、それを９で割っています。

中央値は56 でこれは簡単に出ます。

数を順に並べて

その中央である56 になります。

ここで動画を一時停止して

このデータセットを見て

この給与のデータセットに関して

中央を見るパラメータをどちらがよいが
考えてみましょう。

では、見ていきましょう。

これを線上に並べてみましょう。

これを線上においてみることで

数を見ているだけでは

理解しにくい、

これらの数の分布がわかりやすくなります。

これを０とします。

１、２、３、４、５で

これが 250 そしてこれが 50、
100、150、200

そして、

これが50とすると、

これは約 40となります。

ここが60で　70、80、90、のように。

もう少しきちんと書くこともできますが…

60、70、80、90とわかりますね。

ちょっと書き直してみましょう。

ここが

もう少しこっちによって

ここに置きます。

これが40です。
そして 30、20、10となります。

いいですね。

では、データをおいていきましょう。

ひとりは 35,000 の給与額で
ここになります。

そして2人は 50,000 で
おっと3人ですね。

ここに１、２、３。

このように書きます。

一人は 56,000の給与でここになります。

そして２人は60,000 の給与で

ここになります。

そして、次は 75,000、だから
60、70で、75,000 は

このあたりになります。

そして最後は 250,000 です。

この人の給与額はこの遠くにあります。

これを中心を見る指標として

平均を計算すると 76.2 になります。

76.2 はここになります。

これは中心の傾向として良いでしょうか？

あまりよく見えないですね。

中心傾向の指標なのに，１つ以外のすべてのデータより

高い値です。

これを中心の指標と考えると

この250,000の点によって
ゆがめられています。

他のデータから見ると、

この平均はゆがめられています。

これはよく見られる事態です。

データセットに外れた値がある場合、

特にこの給与額のデータセットのように

ほとんどが 50,000から70,000で
ひとつの値が250,000のような場合、

平均が偏ります。

平均はすべての数を合計して

データ数で割って得られるものです。

この場合、著しく離れた値がある場合
それによって平均が影響されますが、

中央値はあまり影響を受けません。

このデータセットの中央値である 56 はここで、

これはよりデータセットの中心に近いです。

考えてみましょう。

もし この外れた値が

250000の給与額の代わりに

250 億などの非常に高い値とすると、

平均に著しく影響しますが、

中央値には影響しません。

なぜなら、中央値は

最大値や最小値の値には関係ありません。

この値が１兆ドルであっても

１０００兆ドルであっても

中央値はそのままです。

偏りのあるデータセットでは、

中央値はもっと安定しています。

対称的なデータセットがある場合は

平均がより意味を持つようになります。

データセットが平均の上下に分布されていて

著しい偏りがない場合です。

特にこの例でこの部分の

データセットだけをみる場合などです。

しかし、この例では

中央値がよりよく中心を示します。

では、広がりはどうでしょう。

ここまでで、このデータセットでは平均は

あまりより指標でないと理解したので

平均に依存する標準偏差はどうでしょう。

標準偏差はそれぞれのデータポイントの

平均から差を２乗して

その合計を、データポイント数で割って

母集団標準偏差の場合、

その平方根を取ります。

標準偏差は平均から計算されるので

中心の指標として好ましいない平均を使うと

その標準偏差も偏ります。

実際の広がりを見た場合、

このパラメータは

広がりの指標としては実際より大きくなります。

このデータセットにはこの平均または中央値から

著しく離れた値があります。

しかし、そのほかの値は

ほぼ１箇所に集まっています。

だからこの場合は中央値を使用するとともに

四分位範囲の指標が望ましいです。

四分位範囲はどのように算出しますか。

中央値をまず見つけ、

そして、下半分のデータのみの
中央値を見つけます。

ここに 50 があり、そして

上のグループの数を集め、

ここでは 60 と 75 で
これらの中央値は 67.5 です。

これに馴染みのない人は

四分位範囲と標準偏差と中央値と平均の

計算方法の動画あるのでご覧ください。

ここでは復習です。

これらの差は 17.5 で

この２つの差は 17.5 ですね。

この値が 25億であっても

この差は変化しません。

繰り返しますが、これらの指標は

偏りのあるデータで影響されにくいです。

ここで知っておくとよいことは

対称的なデータセットでは
平均や標準偏差は便利です。

データセットに偏りを与える

外れ値がない場合には

平均や標準偏差は安定しています。

少しのデータポイントによって

非常に偏りのある場合は

中央値と四分位範囲、
中心の指標には中央値、

広がりの指標には四分位範囲が適しています。

そのため、給与額の場合は

よく中央値が使用されます。

なぜなら、非常に高い給与額が
よく見受けらるからです。

家屋の価格でも

中央値が平均より、よく使われます。

なぜなら、地区、市内などで

多くの家が 二十万ドル から 三十万 ドルでも

ひとつ 一億ドルのマンションがあったりした場合、

平均を計算すると

その地区の家屋の価格の中心が

非常に高い印象を与えます。