Gennemsnit og standardafvigelse versus median og middelspredning

Lær at vælge "foretrukne" mål for den centrale tendens og spredning, når outliers er til stede i et observationssæt.

I emnet Sammenfatning af kvantitative data skal vi gennemgå de mest almindelige mål for den centrale tendens, nemlig gennemsnit og median. Vi skal også se på forskellige mål for spredning eller variation, nemlig stikprøvespredning og interkvartil variationsbredde (middelspredning) samt bruge disse begreber til at afgøre, hvilke observationer der kan betragtes som outliers.

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Vi har 9 elever, der er færdiguddannet
på en meget lille skole med kun 9 elever.

De vil gerne se på den centrale tendens
for deres løn 1 år efter de blev færdige.

De vil også gerne se på spredningen

omkring den centrale tendens
1 år efter de blev færdige.

De indtaster deres løn i
en computer og her er de.

De bliver vist i tusinder.

De tjener 35000, 50000,
50000, 50000, 56000

to tjener 60000, en tjener 75000
og en tjener 250000.

Det går sørme godt for den person.

Computeren spytter disse parametre
ud baseret på disse data.

Den giver to typiske mål
for den centrale tendens.

Gennemsnittet er omkring 76,2.

Computeren lagde disse 9 tal sammen
og dividerede med 9.

Medianen er 56.

Medianen er ret nem at udregne.

Du opstiller tallene i rækkefølge og
finder det midterste tal, som her er 56.

Nu synes jeg, du skal sætte videoen
på pause og overveje

for dette observationssæt,
for populationen af lønninger,

hvilket mål for den centrale tendens
er det bedre mål?

Okay, lad os se på det.

Jeg vil afbilde tallene på denne linje,
så vi får en bedre fornemmelse af dem

og ikke blot ser dem som tal,
men hvor de tal er i forhold til hinanden.

Lad os sige, dette er 0.

1, 2, 3, 4, 5.

Dette er 250 og dette er
50, 100, 150, 200.

Hvis dette er 50,
så ligger 40 her omkring.

Dette er 60, 70, 80 90.

Godt nok.

Jeg kunne måske have gjort det bedre.

60, 70, 80, 90.

Nej lad mig lige lave det pænere.

Hvis det er 40, så er det 30, 20 10.

Okay, det ser godt nok ud.

Lad os afbilde vores data.

1 elev tjener 35000, så det er lige her.

2 tjener 50000, nej 3 tjener 50000,
så 1, 2 3.

Det viser jeg således.

1 tjener 56000, som er her omkring.

1 tjener 60000, nej 2 tjener 60000,
sådan.

1 tjener 75000, så 60, 70 og 75000.

Det er her omkring.

Og 1 tjener 250000,
så en løn er helt herover.

Vi udregner gennemsnittet til 76,2

--et mål for den centrale tendens--

og 76,2 er her.

Er det et godt mål for
den centrale tendens?

Det synes jeg faktisk ikke,

fordi vores mål for den centrale tendens
er højere end alle observationer

bortset fra en.

Grunden til det er, vores data er skævt

fordi denne ene observation
ved 250000 dollars ligger

så langt fra resten af gruppen,
at den trækker gennemsnittet op.

Det er noget du ofte ser.

Hvis du har data, der er skævt,

som med lønninger, hvor de fleste tjener
50, 60 eller 70000 dollars og

der en der tjener 2 millioner dollars,
så vil det trække gennemsnittet opad,

når du lægger dem sammen og
dividerer med antallet af observationer.

I et sådan tilfælde, hvor en observation
trækker gennemsnittet opad,

så er medianen mere standhaftig.

Medianen på 56 er lige her,

og den synes at give et meget
bedre billede af den centrale tendens.

Tænk over det.

Selv hvis du i stedet for 250000
havde 250 millioner,

som er et enormt beløb,
der vil hæve gennemsnittet vildt meget,

så vil det faktisk ikke ændre medianen,

fordi for medianen er det ligegyldigt,
hvor højt dette tal bliver.

Det kan være en trillion dollars
eller en kvintillion dollars.

Medianen forbliver den samme.

Medianen er meget mere standhaftig,
når du har et skævt observationssæt.

Gennemsnit giver lidt mere mening,
når du har et symmetrisk observationssæt

eller hvis dine data ligger nogenlunde
lige meget over og under gennemsnittet,

eller hvis det ikke er
meget skæv i den ene retning,

især når vi kun har
få observationer som her.

I dette tilfælde er medianen et meget
bedre mål for den centrale tendens.

Hvad med spredningen?

Du siger måske, "men Sal du har allerede
fortalt at gennemsnittet ikke er godt

og standardafvigelse er
baseret på gennemsnittet."

Du tager hver af observation og
finder afstanden til gennemsnittet,

tager kvadratet, finder summen og
dividerer med antallet af observationer,

da vi udregner
populationens standardafvigelse

og så tager du kvadratroden af det hele.

Da standardafvigelse er baseret
på gennemsnittet,

som her ikke er et godt mål
for den centrale tendens,

så vil standardafvigelsen også forvrænges.

Den her er meget stor.

Du kan se, denne ene observation er langt
væk fra gennemsnittet og medianen,

mens de fleste andre observationer
er meget tættere på.

I denne situation bør vi ikke
blot bruge medianen,

men den interkvartile variationsbredde
er også mere standhaftig.

Hvordan udregnes den
interkvartile variationsbredde.

Du finder medianen og

så tager du den nedre halvdel af
observationerne og finder dens median.

Det er 50 lige her.

Så tager du den øvre halvdel og medianen
ligger mellem 60 og 75, så 67,5.

Hvis dette virker ukendt,
så har vi mange videoer om

interkvartile variationsbredde,
standardafvigelse,

median og gennemsnit.

Forskellen på disse to er 17,5.

Bemærk, afstanden mellem disse to
er 17,5 og det vil ikke ændre sig,

selv hvis dette er 250 billioner dollars.

Disse to er mere standhaftige mål,
når du har et skævt observationssæt.

Du må gerne her bide mærke i,

at gennemsnit og standardafvigelse
ikke er dårlige,

når du har et nogenlunde
symmetrisk observationssæt,

når du ikke har nogle væsentlige outliers,
som forvrider observationssættet.

Her kan gennemsnit og standardafvigelse
være ganske gode.

Men hvis du har noget der er meget
skævt på grund af få observationer,

så bruges median som mål for
den centrale tendens og

interkvartil variationsbredde for spredning
omkring denne centrale tendens.

Det ser du ofte,
når man snakker om indtægt,

da bruges medianen, da der kan være
nogle skæve indtægter,

især i den høje ende.

Når vi ser på ting som huspriser,

så bruges medianen ofte
mere end gennemsnittet,

fordi huspriserne i et kvarter ligger

måske på omkring 200000
til 300000 dollars,

men så ligger der en kæmpe villa,
der koster 100 millioner dollars.

Hvis du udregner gennemsnittet,

så vil det give et falsk billede af den
centrale tendens for priserne i den by.