Introduction to logarithm properties (part 2)

Bueno, bievenido otra vez! Voy a mostrarte ahora las dos últimas propiedades de los logaritmos.

Entonces esta--

y siempre encuentro que ésta es la más obvia en cierta forma.

Pero no te sientas mal si no es obvia.

Quizá te tomará un poco de instrospección.

Y quiero que te animes a experimentar con estas propiedades de logaritmos,

porque esa es la única forma que podrás aprender de verdad.

Y el punto de las matemáticas no es de sólo pasar el siguiente examen,

o de ganarse una A en el siguiente examen.

El punto de las matemáticas es el de entender matemáticas

de manera que la puedas aplicar realmente más tarde en la vida

y no tener que volver a aprender todo cada vez.

Asi que la próxima propiedad del logaritmo es

si tengo A multiplicado por el logaritmo en base B de C, si tengo A multiplicado por toda esta cosa,

entonces eso es igual al logaritmo en base B de C elevado a la A.

Facinante.

Asi que veamos si esto funciona.

Digamos que si tenemos 3 multiplicado por el logaritmo en base 2 de 8,

entonces esta propiedad nos dice que esto

va a ser lo mismo que el logaritmo en base 2 de 8 elevado a la 3.

Y eso es la misma cosa.

Bueno, eso es la misma cosa como--podemos averiguarlo.

Entonces veamos lo que es esto.

3 multiplicado por el logaritmo en base--cual es el logaritmo en base 2 de 8?

La razón por la que yo como que dudé un segundo antes es

porque cada vez que quiero averiguar algo,

implicitamente quiero usar las reglas de logaritmos y exponentes.

Entonces estoy tratando de evitar eso.

De todas maneras, regresando,

Qué es esto?

2 elevado a qué potencia es 8?

2 elevado a la 3 es 8, cierto?

Entonces eso es 3.

Tenemos este 3 aquí, entonces 3 multiplicado por 3.

Entonces esta cosa aquí debería ser igual a 9.

Si esto es igual a 9,

entonces sabemos que esta propiedad funciona por lo menos en este ejemplo.

Tú no sabes si funciona en otros ejemplos,

y por eso quizá quisieras mirar la prueba que tenemos en otros videos.

Pero eso es como un tema más avanzado.

Pero lo importante primero es el entender como se usa.

Veamos, qué es 2 elevado a la 9?

Bueno va a ser algún número grande.

Realmente, sé lo que es--es 256.

Porque en el último video dedujimos que 2 a la

8 era igual a 256.

Entonces 2 a la 9 debería ser 512.

Entonces 2 a la 9 debería ser 512.

Entonces si 8 a la 3 es también 512 entonces estamos bien, cierto?

Porque el logaritmo en base 2 de 512 va a ser igual a 9.

Qué es 8 a la 3?

Es 64--correcto.

8 al cuadrado es 64, entonces 8 al cubo--veamos,

4 multiplicado por 2 es 3.

6 multiplicado por 8--parece que es 512.

Correcto.

Y hay otras formas en que podrías haberlo hecho.

Porque podrías haber dicho 8 a la 3

es la misma cosa que 2 a la 9.

Como sabemos eso?

Bueno, 8 a la 3

es igual que 2 a la 3 a la 3, cierto?

Justo reescribi 8.

Y sabemos por nuestras reglas de exponentes que 2 a la 3 a la 3

es la misma cosa que 2 a la 9.

Y realmente es esta propiedad del exponente, donde puedes multiplicar--

cuando tomas algo al exponente y luego tomas eso a un exponente,

y puedes esencialmente justo multiplicar los exponentes--

esa es la propiedad del exponente la que realmente nos lleva a la propiedad del logaritmo.

Pero no voy a insistir esto demasiado en esta presentación.

Hay todo un video que como que lo dice un poco más formalmente.

La siguiente propiedad de los logaritmos que te voy a mostar--

y luego revisaré todo y quizá ponga algunos ejemplos.

Este es probablemente la propiedad de logaritmos más útil, si estás enviciado a las calculadoras.

Y te mostraré por qué.

Entonces digamos que tengo que el logaritmo en base B de A

es igual al logaritmo en base C de A dividido por el logaritmo en base C de B.

Ahora, por qué esta propiedad es útil si eres un enviciado a las calculadoras?

Bueno, digamos que vas a clase y tienes un examen.

El profesor dice, puedes usar la calculadora,

y usando tu calculadora quiero que descubras el logaritmo en base 17 de 357.

Y te enredas buscando el botón del logaritmo en base 17 en tu calculadora,

y no lo encuentras.

Porque no hay un botón en la calculadora para el logaritmo en base 17.

Probablemente tendrás un boton de log

o un botón de ln.

Y para que tú sepas, el boton log de tu calculadora

es probablemente en base 10.

Y tu botón ln en tu calculadora

va a ser en base e.

Para aquellos que no están familiarizados con e, no se preocupen

que es 2.71 algo, algo,

es un número.

Es un número increíble, pero hablaremos más de eso en una presentación en el futuro.

Pero solo hay dos bases que tienes en tu calculadora.

Si quieres hallar otra base de logaritmos,

usas esta propiedad.

Así que si te dan esto en un examen,

puedes con mucha confianza decir, oh, bueno eso es lo mismo que --

tendrías que cambiar a tu color amarillo para actuar con seguridad--

logaritmo en base--podrías usar ya sea e o 10.

Podríamos decir que es la misma cosa que logaritmo en base 10 de 357

dividido por el logaritmo en base 10 de 17.

Así que literalmente podrías solo escribir 357 en tu calculadora

y presionar el botón log

y vas a obtener bla, bla, bla.

Entonces, tú sabes, puedes borrarlo,

o si sabes cómo usar los paréntesis en tu calculadora, podrías hacer eso.

Pero luego escribes 17 en tu calculadora,

presionas el botón log, obtienes bla, bla, bla.

Y luego los divides, y obtienes tu respuesta.

Entonces esto es una propiedad super útil para los enviciados a las calculadoras.

Y una vez más, no voy a ir en mucha profundidad.

Esta, para mi es la más útil,

pero no lo es completamente--

cabe dentro de, obviamente, las propiedades de exponentes.

Pero es difícil para mi describir simplimente la intuición,

entonces probablemente querrás observar la prueba,

si no crees por qué funciona.

Pero de todas maneras, con todas ésas a un lado,

y ésta es la que vas a estar usando la mayoría de las veces en tu vida cotidiana.

Yo aún la uso en mi trabajo.

Sólo para que sepas, los logaritmos son muy útiles.

Pongamos algunos ejemplos.

Escribamos un grupo de cosas en formas más sencillas.

Entonces si quisieras escribir el logaritmo en base 2 de la raiz cuadrada de--

pensemos en algo.

De 32 dividido por el cubo--no, tomaré más bien la raiz cuadrada.

Dividido por la raiz cuadrada de 8.

Cómo puedo escribir esto de tal manera que sea razonablemente no muy desordenado?

Bueno, pensemos en eso.

Esto es lo mismo que, es igual a--

No sé, si moviera verticalmente u horizontalmente.

Moveré verticalmente.

Esto es lo mismo que el logaritmo en base 2 de 32

sobre la raiz cuadrada de 8 elevado a la 1/2, cierto?

Y sabemos de nuestras propiedades de logaritmos, la tercera que aprendimos,

que eso es lo mismo que 1/2

multiplicado por el logaritmo de 32 dividido por la raiz cuadrada de 8, cierto?

Justamente tomé el exponente

e hice ese coeficiente sobre el total.

Y aprendimos eso al comienzo de este video.

Y ahora tenemos un cociente pequeno aquí, cierto?

El logaritmo de 32 dividido por el logaritmo de la raiz de 8.

Bueno, podemos usar nuestro otro logaritmo--

mantengamos el 1/2 a un lado.

Eso va a ser igual, paréntesis, logaritmo--

oh, olvidé mi base.

Logaritmo en base 2 de 32 menos, cierto?

Porque este es el cociente.

Menos el logaritmo en base 2 de la raiz cuadrada de 8,

cierto?

Veamos.

Bueno aquí una vez más tenemos la raiz cuadrada aquí,

asi que podríamos decir que esto es igual a 1/2 multiplicado por el logaritmo en base 2 de 32

Menos este 8 a la 1/2,

que es lo mismo que 1/2 el logaritmo en base 2 de 8.

Aprendimos esa propiedad al comienzo de esta presentacion.

Si entonces queremos, podemos distribuir este 1/2 original.

Esto es igual a 1/2 el logaritmo en base 2 de 32 menos 1/4--

porque tenemos que distribuir ese 1/2--

menos 1/4 el logaritmo en base 2 de 8,

Esto es 5 medios menos, este es 3,

3 multiplicado por 1/4 menos 3/4.

O 10/4 menos 3/4 es igual a 7/4.

Probablemente cometí algunos errores aritméticos, pero tú cogiste la idea.

Nos vemos pronto!