Inverse Trig Functions: Arcsin

Ha az utcán találkoznánk, és megkérdezném, hogy – nem akartam ilyen vastagon írni –

hogy mondd meg, mennyi a szinusz π/4,

– nyilván radiánban gondolkozunk –,

vagy tudod fejből, vagy rajzolsz egy egységkört.

Ez nem a legszebb egységkör, de érted a lényeget.

π/4 radián, ami ugye 45°.

Megrajzolod ezt a sugarat, és a szinuszt a metszéspont y koordinátája határozza meg az egységkörön.

Tehát erre az értékre vagyunk kíváncsiak.

Persze mondhatjuk, hogy ez itt 45°

– hadd rajzoljam le ezt a háromszöget egy kicsit nagyobb méretben –,

a háromszög így néz ki,

ez itt 45°, ez is 45°,

ez pedig 90°.

A 45-45-90 háromszöget ismered.

Az átfogó 1,

ez itt x, ez is x, a két érték megegyezik,

ez egy egyenlő szárú háromszög, igaz?

Az alapon fekvő szögei megegyeznek.

Mondhatjuk, hogy x² plusz x² egyenlő 1², ami pont 1.

2 x² egyenlő 1.

x² egyenlő 1/2.

x egyenlő √1/2, ami 1/√2.

A nevezőt gyökteleníthetjük, ha megszorozzuk √2/√2-vel.

Ezzel megkapjuk, hogy x egyenlő √2/2.

Tehát ez a magasság nem más, mint √2/2.

És ha erre a távolságra vagy kíváncsi, ugyanennyi lenne.

De most csak a magasság érdekelt.

Ennek a szögnek a szinusza ezzel a magassággal egyenlő.

Az y koordináta,

ami pedig √2/2.

Ez csak ismétlés, egyszer már megtanultuk az egységkörös videóban.

De mi van, ha egy másik nap találkozunk, és azt kérdezem tőled,

hogy mi a √2/2 arkusz szinusza?

Mi ez az arkusz szinusz?
És ezzel megfogtalak.

Azt mondod, hogy „tudom, mi egy szögnek a szinusza,

de ez valami új trigonometrikus függvény, amit csak Sal talált ki.”

Azt kell megértened, hogy ha ezt az 'arkusz' előtagot látod – időnként úgy is nevezik, hogy inverz szinusz,

nyugodtan felírhatnánk úgy is, hogy:

mi az inverz szinusza √2/2-nek? –,

ez csak azt jelenti, hogy melyik szögnek a szinusza lesz egyenlő √2/2-vel.

Melyik szögnek a szinusza lesz egyenlő √2/2-vel?

Felírhatnám ezt úgy is, hogy – lássuk csak –

szinusz „mi” lesz egyenlő √2/2-vel?

Erre a kérdésre – szerintem – sokkal egyszerűbb válaszolni.

Minek a szinusza egyenlő √2/2-vel?

Épp most számoltam ki, hogy a szinusz π/4 éppen √2/2.

Tehát ez esetben tudom, hogy szinusz π/4 egyenlő √2/2,

így a kérdőjel nem más, mint π/4.

Vagy pedig, átírhatom a kifejezést:

arkusz szinusz √2/2 nem más, mint π/4.

Összefoglalva: adok egy értéket,

és mondd meg, hogy melyik szögnek lesz ez a szinusza!

De mondhatnád: figyelj csak, Sal!

(Menjünk csak vissza ide!)

Mondhatnád, hogy π/4 működik, 45°működik,

de hozzáadhatnék akárhányszor 360°-ot, vagy 2π-t,

ezek mindegyike jó lenne, mert az egységkör ugyanazon pontjához tartoznak.

És igazad lenne.

Ezek mindegyike jó válasz lenne a kérdésre.

Mert bármelyiknek veszed a szinuszát – hozáadogathatsz 360°-ot –,

bármelyiknek veszed a szinuszát, √2/2-t kapsz.

És ez probléma,

nem lehet olyan függvényem – f(x) –, hogy egy x-hez több függvényérték tartozik.

Nem lehet a függvényérték egyszerre π/4, π/4 + 2π, π/4 + 4π.

Tehát annak érdekében, hogy ez valóban függvény legyen

– hogy tényleg inverz szinusz függvény legyen –, le kell szűkíteni az értékkészletet.

A legészszerűbb értékkészletre szűkítjük le.

Tegyük is meg!

Megjegyzésként, mi lesz a függvény értelmezési tartománya?

Ha veszem valaminek az arkusz szinuszát,

például veszem az arkusz szinusz x-et, és ez egyenlő thétával,

mi az értelmezési tartomány?

Mik lehetnek az x értékek?

Mivel lehet egyenlő x?

Nos, bármilyen szögnek veszem a szinuszát, 1 és -1 közötti értékeket kaphatok csak.

Tehát x nagyobb vagy egyenlő, mint -1, és kisebb vagy egyenlő, mint 1,

ez az értelmezési tartomány.

Hogy tényleg függvény legyen, le kell szűkíteni az értékkészletet, azaz a lehetséges értékeket is.

Tegyük is meg!

Az arkusz szinusz – megállapodás szerint – az első és negyedik síknegyedben van értelmezve,

így erre a területre szűkítjük a lehetséges szögeket az egységkörön.

Tehát théta kisebb vagy egyenlő, mint π/2, és nagyobb vagy egyenlő, mint -π/2.

Most már értjük, hogy mi az arkusz szinusz.

Lássunk egy másik feladatot!

Csinálok itt egy kis szabad helyet.

Lássunk még egy arkusz szinuszt!

Tegyük fel, hogy azt kérdezem, mi a mínusz √3/2 arkusz szinusza?

Ezt vagy megjegyezted, és rögtön tudod, hogy milyen x-nek vagy thétának a szinusza mínusz √3/2,

és kész is lennél.

Én viszont ezt nem tudom fejből.

Hadd rajzoljak egy egységkört!

Amikor arkusz szinusszal dolgozunk, csak az első és negyedik síknegyedre vagyunk kíváncsiak.

Ez az y tengely,

ez az x tengely,

x és y.

És hol vagyok?

Ha valaminek a szinusza mínusz √3/2,

az azt jelenti, hogy az y koordináta az egységkörön mínusz √3/2,

ez azt jelenti, hogy itt vagyunk,

itt a mínusz √3/2, itt vagyunk.

Melyik szöghöz tartozik ez?

Álljunk meg egy pillanatra!

Az y koordinátám mínusz √3/2.

Ez volna a szög.

Ez negatív szög lesz, mivel az x tengely alatt vagyunk, az óramutató járásával megegyező irányban.

Ahhoz, hogy kiszámoljam, hadd rajzoljak ide egy kis háromszöget! Egy ennél jobb színnel,

inkább kéket használok.

Felnagyítva is lerajzolom a háromszöget, valahogy így néz ki.

Ez itt théta.

Mekkora lesz ez a szakasz?

Ez pont annyi, mint ez az y magasság – ha nevezhetjük így –,

ami pedig √3/2.

Tudjuk, hogy negatív, mert lefelé mutat,

de csak határozzuk meg a szöget, és észben tartjuk, hogy negatív lesz.

Amikor √3/2-t látsz, remélhetőleg beugrik, hogy ez egy 30-60-90 háromszög.

Ez itt √3/2,

ez az oldal 1/2,

ez az oldal pedig 1, mivel az egységkör sugaráról van szó.

Szóval a 30-60-90 háromszögben a √3/2 hosszúságú oldallal szemközti szög 60°-os.

Ez a szög 30°-os.

Tudjuk, hogy théta – ez itt 60°, ez a nagysága – lefelé mutat, így mínusz 60° lesz.

Tehát théta mínusz 60°.

Ha viszont radiánban számolunk, akkor ez még nem elég,

meg kell szorozni 180... – elnézést – π radián per 180°-kal,

a °-ok kiejtik egymást,

az marad, hogy théta egyenlő mínusz π/3 radián.

Most pedig kijelenthetjük,

hogy arkusz szinusz mínusz √3/2 egyenlő -π/3 radiánnal.

Vagy azt is mondhatjuk, hogy inverz szinusz mínusz √3/2 egyenlő -π/3 radián.

Hogy biztosak legyünk benne, vegyük elő a számológépet!

Én ezt már radián mód-ba állítottam,

ezt a „2nd” + „MODE” gombokkal ellenőrizheted.

Radián módban vagyok,

így remélhetőleg jó megoldást fogok kapni.

Amire kíváncsi vagyok, az az inverz szinusz – „2nd” és „Sine” gombok –,

inverz szinusz mínusz √3/2.

Ez egyenlő mínusz 1,04-dal.

Tehát ez mínusz 1,04 radián.

Azaz π/3 1,04-dal kell, hogy egyenlő legyen.

Lássuk, hogy annyi lesz -e!

Ha beütöm, hogy mínusz π/3, mit kapok?

Pontosan ugyanazt kapom.

A számológép ugyanazt az értéket adta, de nem biztos, hogy ez annyira hasznos,

mert a számológép nem mondta meg, hogy ez π/3-mal egyenlő.