CA Algebra I: Quadratic equation | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

-

-

-

-

-

-

-

-

-

--

Είμαστε στο πρόβλημα 53.

Λέει: Ο Τόνι λύνει αυτή την εξίσωση συμπληρώνοντας το

τετράγωνο. ax στο τετράγωνο συν bx συν c που ισούται με το 0, οπου το a

μεγαλύτερο του 0.

Αυτή λοιπόν είναι μια παραδοσιακή δευτεροβάθμια

Ας δούμε τι κάνανε.

Πρώτα, αφαίρεσε το c και απο τις δύο πλευρές και πήρε ax

τετράγωνο συν bx το οποίο είναι ίσο με το μείoν c.

Εντάξει, αυτό είναι αποδεκτό.

Και τότε για να δούμε.

Διαίρεσε και τις δύο πλευρές με το α.

Σωστά, και αυτό αποδεκτό.

Και πήρε πλήν c / α.

Ποιό βήμα θα πρέπει να βάλουμε στο "Bήμα 3" στη λύση?

Άρα κάνει συμπλήρωση του τετραγώνου.

Βασικά δηλαδή, θέλει να το κάνει τέλειο τετράγωνο.

Ας δούμε πως μπορούμε να το κάνουμε αυτό.

Έχουμε λοιπόν x τετράγωνο συν b/a x -- και θα αφήσω ένα

μικρό κενό εδώ -- το οποίο είναι ίσο με το πλήν c/a.

Για να γίνει αυτό τέλειο τετράγωνο, πρέπει να προσθέσουμε

κάτι εδώ, έναν αριθμό.

Και έχουμε μάθει απο διάφορα βίντεο στο παρελθόν και το έχουμε

αποδείξει στο περίπου.

Και στην ουσία, έχω αρκετά βίντεο αποκλειστικά πάνω

την συμπλήρωση του τετραγώνου.

Ουσιαστικά πρέπει να προσθέσεις ό,τι αριθμό έχει εδώ, προσθέτεις

το μισό του στο τετράγωνο.

Και αν αυτό δεν σου είναι κατανοητό, δες το βίντεο

της Khan Academy πάνω στην συμπλήρωση τετραγώνου.

Αλλά πόσο είναι το μισό του b/a?

Είναι b δια 2a.

Άρα 1/2 φορές το b/a είναι ίσο με το β δια 2α.

Και μετά, θέλουμε να προσθέσουμε αύτο στο τετράγωνο

Ας το προσθέσουμε και στις δύο πλευρές τις εξίσωσης.

Μένουμε λοιπόν με το x στο τετράγωνο συν b/a x.

Και θέλουμε να προσθέσουμε αυτό στο τετράγωνο.

Συν b δια 2α στο τετράγωνο είναι ίσο με πλήν c/a.

Ό,τι προσθέσεις στη μια πλευρά της εξίσωσης πρέπει να το

προσθέσεις και στην άλλη.

Ας προσθέσουμε αυτό λοιπόν και στις δύο πλευρές.

Συν b δια 2α στο τετράγωνο.

Και ας δούμε αν λύσαμε το πρόβλημα μέχρι τώρα,

αυτό που θέλουν δηλαδή.

X, b δια 2 -- σωστά.

Αυτό είναι ακριβώς αυτό που κάναμε. x στο τετράγωνο συν b/a συν b δια

2α στο τετράγωνο, και το προσθέτουν και στις δύο πλευρές τις εξίσωσης.

Άρα η σωστή απάντηση είναι το D.

Τώρα, αμα σε μπερδεύει λίγο, ή αμα δεν ήταν

διαισθητικό για εσένα, δεν θέλω να

μάθεις απ' έξω τα βήματα.

Δες το βίντεο της Khan Academy πάνω στην συμπλήρωση τετραγώνου.

Επόμενο πρόβλημα, 56.

Λάθος, 54.

Ωραία, αυτό είναι άλλο ένα το οποίο θα πρέπει να αποκοπεί και να επικολληθεί.

Ωραία, τέσσερα βήμα για να παράξουμε την διακρίνουσα

παρουσιάζονται εδώ κάτω.

Έιπα σε περασμένα βίντεο ότι μπορείς να παραγάγεις την διακρίνουσα

συμπληρώνοντας το τετράγωνο.

Και όντως το κάνουμε αυτό σε άλλο βίντο.

Δεν θέλω να πολυδιαφημίζω τα άλλα βίντο,

αλλά ας δούμε τι θέλουν να κάνουμε.

Ποιά είναι η σωστή σειρά αυτών των βημάτων?

Άρα, το πρώτο πράγμα με το οποίο θα ξεκινήσεις είναι απλά μια

δευτεροβάθμια εξίσωση.

Και αύτη αποτελεί το πρώτο βήμα.

Εδώ αρχίσαμε στο τελεύταίο πρόβλημα.

Μετά πρέπει να προσθέσεις 1/2 στο τετράγωνο και στις

δύο πλευρές.

Άρα b δια 2a στο τετράγωνο και θέλεις να προσθέσεις και στις δύο πλευρές,

αύτό κάναν εδώ.

Άρα η σειρά μας είναι I.

Και μετά θέλεις να κάνεις την IV.

Αυτό κάναμε με το προηγουμένο πρόβλημα.

Κάναμε την IV.

Και απο εδώ και πέρα, ξέρεις ότι αυτή η έκφραση εδώ

θα είναι ίση με το x συν b δια 2a στο τετράγωνο.

Και ξανά, δές σύντομα το βίντο για το συμπλήρωμα του τετραγώνου

αν αυτό δεν βγάζει νόημα.

Αλλά ό λόγος που πρόσθεσες αυτό εδώ είναι για να

ξέρεις ότι, ωραία, ποιοί δυο αριθμοί, όταν τους πολλαπλασιάσω

είναι ίσοι με το b δια 2a στο τετράγωνο, και όταν τους προσθέσω είναι ίσοι με το b/a?

Βασικά, αυτό είναι προφανώς, b δια 2a.

Αν το προσθέσεις δύο φορές θα πάρεις b δια α.

Άμα το υψώσεις στο τετράγωνο, θα πάρεις όλη αυτή την έκφραση.

Και θα πείς, όπ, αυτό είναι απλά x συν b πρός 2a στο τετράγωνο και θα

πάρεις αυτό εκεί.

Και μετά, είναι ίσο με -- και μετά απλά

απλοποιούν αυτό το κλάσμα.

Βρίκαν έναν κοινό παρανομαστή και όλα τα υπόλοιπα.

Και λοπόν το επόμενο βήμα είναι το βήμα II.

Και μετά μένει μόνο το βήμα III.

Και έχεις ουσιαστικά παραγάγει την

Άρα, I, IV, II, III.

Αυτή είναι η επιλογή Α.

Πρόβλημα 55.

Ποία απο τις λύσεις -- Εντάξει, θα τις γράψω όλες

εδώ.

Ποιά απο αυτές είναι λοιπόν ή λύση για την εξίσωση?

Αμέσως λοιπόν, μόλις δέις όλες τις επιλογές, έχουν

όλες αυτές τις τετραγωνικές ρίζες κτλπ.

Αυτό δεν είναι κάτι που θα παραγώγιζες.

Θα χρησιμοποιούσες μια δευτεροβάθμια εξίσωση εδώ.

Ας το κάνουμε λοιπόν.

Η δευτεροβάθμια εξίσωση είναι, αν αυτό είναι Ax στο τετράγωνο συν

Bx συν C το οποίο είναι ίσο με το 0.

Η δευτεροβάθμια εξίσωση είναι ίση με πλήν b.

Αυτοί το κάνουν με πεζά.

Συν ή πλήν την τετραγωνική ρίζα του b στο τετράγωνο μείον 4ac και όλο αυτό

δια 2a.

Και αυτό βγαίνει απλά συμπληρώνοντας το τετράγωνο με

αυτό, αλλά το κάνουμε αυτό σε άλλο βίντεο.

Άρα ας το αντικαταστήσουμε.

Πόσο είναι το b?

Το b έιναι πλήν 1, σωστά?

Άρα μείον πλήν 1, μας κάνει ένα θετικό 1.

Συν μείον την τετραγωνική ρίζα του b στο τετράγωνο.

Πλήν 1 στο τετράγωνο κάνει 1.

Πλήν 4 επι a.

το a είναι 2.

Επι 2.

Επι c.

Το c είναι πλήν 4.

Άρα επι πλήν 4.

Και όλο αυτό δια 2a.

Το a είναι 2, άρα 2 επι a κάνει 4.

Άρα αυτό γίνεται 1 συν μείον την τετραγωνική ρίζα.

Άρα έχουμε 1.

Άρα έχουμε πλήν 4 επι a2 επι a πλην 4.

Αυτό είναι το ίδιο πράγμα με το να λέγαμε a συν 4 επι 2 επι a συν 4.

Ας βγάλουμε αυτό το πλήν.

Γίνεται συν.

Δεν υπάρχει πλήν εδώ.

Ας δούμε λοιπόν, 4 επι 2 κάνει 8.

Επι 4 κάνει 32.

Συν 1 κάνει 33.

Όλο αυτό δια 4.

Δεν έχουμε ακόμη τελειώσει...

Λένε λοπόν...Ποιά απο αυτές τις τις επιλογές λύνει την εξίσωση?

Ας δούμε...

Άμα θέλαμε να το απλοποιήσουμε -- βασικά,

αυτό εδώ.

Επειδή έχουμε 1 συν μείον την τετραγωνική

ρίζα του 33 δια 4.

Βασικά γράψαν μόνο ένα απο τα δύο.

Γράψανε μόνο το συν.

Άρα η C είναι μια απο τις λύσεις.

Η άλλη θα ίσχυε άμα υπήρχε ένα πλήν εδώ.

Τέλος πάντων, επόμενο πρόβλημα.

56.

Ακόμη ένα που πρέπει να αποκόψω και να επικολλήσω.

Λέει: Ποιά απάντηση εξηγεί καλύτερα το γιατί δεν υπάρχει πραγματική

λύση στην δευτεροβάθμια πολυωνυμική εξίσωση?

Εντάξει, ήδη έχω μαντέψει γιατί αυτή

δεν θα έχει λύση.

Αλλά γενικά -- βασικά, ας δοκιμάσουμε την εξίσωση.

Πρίν καν δούμε το πρόβλημα,

ας ακολουθήσουμε μια διαίσθηση.

Είναι πλήν b συν μείον την τετραγωνική ρίζα του b

τετράγωνο πλήν 4ac, και όλο αυτό δια 2a.

Η ερώτηση μου πρός εσένα είναι, πότε αυτό δεν βγάζει νόημα?

Ξέρεις, αυτό θα δουλέψει για κάθε b, κάθε 2a.

Αλλά πότε το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας αχρηστοποιήται, τουλάχιστον

όταν έχουμε να κάνουμε με πραγματικούς αριθμούς,

και αύτο είναι ένα στοιχείο?

Λοιπόν, είναι όταν έχεις ένα αρνητικό αριθμό εδώ κάτω.

Αν καταλήξεις με αρνητικό άριθμο κάτω απο ρίζα,

τουλάχιστον μέχρι να μάθουμε τους φανταστικούς αριθμούς,

δεν ξέρεις τι να κάνεις.

Δεν υπάρχει πραγματική λύση για αυτή την πολυωνυμική εξίσωση.

Άρα αν b τετράγωνο πλήν 4ac είναι μικρότερο του

μηδενός, έχεις πρόβλημα!

Δεν υπάρχει πραγματική λύση.

Δεν μπορείς να πάρεις την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού συμβόλου άμα έχεις να κάνεις

με πραγματικούς αριθμούς.

Άρα κατά πάσα πιθανότητα αυτό θα έιναι το πρόβλημα εδώ.

Ας δούμε λοιπόν πόσο κάνει b στο τετράγωνο πλήν 4ac.

Έχεις b = 1.

Άρα 1 πλήν 4 επι a.

Το a ειναι ίσο 2.

2 επι c κάνει 7.

Και σίγουρα, 1 επι 4 επι 2 επι 7 θα κάνει

λιγότερο απο 0.

Ας δούμε λοιπόν τι έχουν εδώ.

Σωστά, η τιμή του 1 στο τετράγωνο -- ώ, σωστά,

Είναι b τετράγωνο.

Άρα 1 στο τετράγωνο, ίδιο πράγμα δηλαδή με το 1.

1 στο τετράγωνο πλήν 4 επι 2 επι 7,

όπως φαίνεται, είναι αρνητικό.

Αυτός είναι λοιπόν ό λόγος που δεν έχουμε πραγματική

λύση για αυτή την εξίσωση.

Επόμενο πρόβλημα.

Μου τελέιωσε ο χώρος.

Ωραία, θέλουν να ξέρουν το σύνολο που λύνει

αυτή την πολυωνυμική εξίσωση.

Απλά θα κάνω αντιγραφή/επικόλληση.

Ουσιαστικά, το σύνολο των x που

ικανοποιούν αυτή την εξίσωση.

Και προφανώς, για κάθε x που βάζεις εδώ, η αριστερή

πλευρά θα είναι ίση με το 0.

Άρα ποιά x είναι σωστά?

Και θέλουν να εφαρμόσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση.

Το έχουμε γράψει αρκετές φορές, αλλά ας το κάνουμε

ολόκληρο.

Άρα είναι πλην b.

B = 2.

Άρα είναι αρνητικό 2 συν μείον την

τετραγωνική ρίζα του b τετράγωνο.

Αυτό είναι 2 στο τετράγωνο.

Πλήν 4 επι a.

a = 8.

Επι c, το οποίο είναι ίσο με το 1.

Όλο αυτό δια 2 επι a;.

Άρα 2 επι 8, το οποίο είναι ίσο με πλήν 2 συν μείον την

τετραγωνική ρίζα του 4 -- για να δούμε.

Το έγραψα αυτό?

Το αρνητικο b συν μείον την τετραγωνική ρίζα του b στο τετράγωνο πλήν

4 επι a επι c.

Σωστά.

Άρα πέρνεις 4 πλήν 32.

Γιαυτό ήλενχα πρίν να δώ αν το έκανα

σωστά επειδή θα πάρω αρνητικό αριθμό.

Όλο αυτό δια 16,

Άρα θα καταλήξουμε στο ίδιο αίνιγμα που είχαμε

στο προηγούμενο, 4 πλήν 32, θα καταλήξουμε με μειον 2 συν

μείον την τετραγωνική ρίζα του πλην 28 δια 16.

Και αν έχουμε να κάνουμε με πραγματικούς αριθμους, θέλω να πώ δεν υπάρχει

πραγματική λύση εδώ.

Στην αρχή ανησυχούσα.

Νόμιζα ότι έκανα ένα απερίσκεπτο λάθος ή ότι υπήρχε κάποιο πρόβλημα

στην άσκηση.

Αλλά μετά κοιτώ τις επιλογές.

Έχουν την επιλογή D.

Θα αντιγράψω και θα επικολλήσω την επιλογή D εδώ.

Επιλογή D.

Καμία πραγματική λύση

Αυτή είναι λοιπόν η απάντηση, επειδή δεν μπορείς να πάρεις την τετραγωνική ρίζα

ενός πραγματικού αριθμού και να μείνεις στον όμαδα των πραγματικών αριθμών.

Για να δω, έχουμε χρόνο για ακόμη ένα?

Έχω περάσει τα 10 λεπτά.

Θα περιμένω για το επόμενο βίντεο.

Τα ξαναλέμε σύντομα.