-
Už víme, jak zní
součinové pravidlo.
-
Pokud máme součin dvou
funkcí, řekněme f(x) a g(x),
-
a chceme jej zderivovat, bude
to derivace první funkce, f s čárkou (x),
-
krát druhá funkce, krát g(x), plus
první funkce, kterou nederivujeme,
-
takže plus f(x), krát
derivace druhé funkce.
-
Máme dva výrazy, v každém z nich
derivujeme jednu funkci a druhou ne,
-
a pak se to prohodí.
-
Tady máme derivaci
f, ale ne g.
-
Tady derivaci g, ale ne f.
-
Tolik k malému opakování
pravidla součinu.
-
Teď pravidlo součinu využijeme pro to,
čemu učebnice říkají podílové pravidlo.
-
Mně se to úplně nelíbí.
-
Když jej znáte, některé
operace to možná urychlí,
-
ale vychází přímo
z pravidla součinu.
-
Já osobně podílové pravidlo vždycky
zapomenu a odvozuji si ho ze součinového.
-
O co tedy jde.
-
Představme si výraz zapsaný
jako f(x) děleno g(x).
-
A chceme určit jeho derivaci,
tedy derivaci f(x) lomeno g(x).
-
Důležité je si uvědomit, že
je to stejné jako derivace…
-
Místo f(x) lomeno g(x) můžeme
napsat f(x) krát g(x) na −1.
-
A nyní můžeme využít pravidlo součinu
spolu s pravidlem o složené funkci.
-
Čemu se to bude rovnat?
-
Prostě použijeme
pravidlo součinu.
-
Jde o derivaci první
funkce, tedy f'(x),
-
krát druhá funkce,
což je g(x) na −1,
-
plus první funkce,
což je jen f(x),
-
krát derivace druhé funkce.
-
A tady musíme použít
pravidlo o složené funkci.
-
Derivace vnější funkce,
-
kterou můžeme vnímat jako derivaci
něčeho na −1 podle toho něčeho.
-
A to bude −1 krát to něco, což
je v tomto případě g(x), na −2.
-
A pak musíme zderivovat
vnitřní funkci podle x,
-
což je prostě g'(x).
-
A máme to.
-
Spočítali jsme tuto derivaci pomocí
pravidla o součinu a o složené funkci.
-
Toto ale není ve tvaru,
který uvidíte,
-
když si najdete podílové
pravidlo ve své učebnici.
-
Podívejme se, jestli
to můžeme zjednodušit.
-
Toto celé bude rovno…
-
Tento výraz můžeme zapsat
jako f'(x) lomeno g(x).
-
f'(x) lomeno g(x).
-
A toto můžeme zapsat jako…
-
Toto minus můžeme
dát dopředu.
-
Dostaneme −f(x) krát g'(x).
-
A pak to celé lomeno
g(x) na druhou.
-
Napíšu to trochu lépe.
-
To celé lomeno
g(x) na druhou.
-
A tohle ještě stále není ve tvaru,
který obyčejně najdete v učebnici.
-
Aby to tak bylo, musíme
ještě sečíst tyto dva zlomky.
-
Vynásobme tedy tento čitatel
a jmenovatel tímto g(x),
-
abychom měli všude
g(x) na druhou ve jmenovateli.
-
Když tedy vynásobíme čitatel
g(x), dostaneme g(x) tady
-
a ve jmenovateli bude
g(x) na druhou.
-
A teď můžeme sčítat.
-
Dostaneme tedy,
-
že derivace f(x) lomeno g(x) je rovna
derivaci f(x) krát g(x) minus, už ne plus,
-
napíšu to bílou,
minus f(x) krát g'(x),
-
to celé lomeno
g(x) na druhou.
-
Takže ještě jednou,
-
toto si vždy můžete odvodit z
pravidla o součinu a složené funkci.
-
Někdy se může hodit
si toto pamatovat,
-
abychom některé příklady
v tomto tvaru vyřešili rychleji.
-
A když se podíváme na to, čím
se liší pravidlo součinové a podílové,
-
tady je to derivace jedné
funkce krát druhá funkce,
-
ale místo přičítání derivace druhé funkce
krát první funkce to teď odčítáme.
-
A celé je to ještě lomeno
druhou funkcí na druhou.
-
Cokoli bylo ve jmenovateli,
je teď na druhou.
-
Takže když derivujeme
tuto funkci a jmenovatel,
-
tady je odčítání
-
a celé je to ještě lomeno
druhou funkcí na druhou.
Khan Academy
