< Return to Video

L'Hopital's Rule Example 3

  • 0:01 - 0:08
    אנו רוצים לחשב את הגבול, כאשר x שואף ל- 1, של
  • 0:08 - 0:15
    הביטוי x חלקי x-1 פחות 1 חלקי
  • 0:15 - 0:18
    הלוג הטבעי של x.
  • 0:18 - 0:20
    אז בואו נראה מה קורה כאשר אנו פשוט
  • 0:20 - 0:21
    מנסים להציב 1.
  • 0:21 - 0:25
    מה קורה אם מעריכים את הביטוי ב- 1 ?
  • 0:25 - 0:30
    ובכן, נקבל 1 כאן, חלקי 1-1.
  • 0:30 - 0:35
    אז נקבל משהו כמו 1 חלקי 0, פחות 1
  • 0:35 - 0:38
    חלקי... ומהו הלוג הטבעי של 1 ?
  • 0:38 - 0:40
    e באיזו חזקה שווה 1 ?
  • 0:40 - 0:43
    ובכן, כל דבר בחזקת 0 שווה ל- 1, לכן e
  • 0:43 - 0:45
    בחזקת 0 יהיה שווה ל- 1, ולכן הלוג
  • 0:45 - 0:49
    הטבעי של 1 יהיה שווה 0.
  • 0:49 - 0:52
    אז אנו מקבלים משהו מוזר, 1 חלקי
  • 0:52 - 0:54
    0 פחות 1 חלקי 0.
  • 0:54 - 0:56
    זוהי צורה מוזרה ולא מוגדרת.
  • 0:56 - 0:59
    אבל זו אינה הצורה הלא-מוגדרת שחיפשנו
  • 0:59 - 1:00
    בכלל לופיטל.
  • 1:00 - 1:03
    אנו לא מקבלים 0 חלקי 0, אנו לא מקבלים
  • 1:03 - 1:04
    אינסוף חלקי אינסוף.
  • 1:04 - 1:07
    אז אולי תאמרו פשוט, אוקיי, זו לא בעייה
  • 1:07 - 1:07
    שפותרים ע"י כלל לופיטל.
  • 1:07 - 1:10
    אנו נהיה חייבים לפתור את הגבול הזה בדרך אחרת.
  • 1:10 - 1:13
    ואני אומר, ובכן אל תוותרו כל כך מהר.
  • 1:13 - 1:17
    אולי נוכל לשחק איכשהו עם האלגברה כך
  • 1:17 - 1:20
    שנקבל צורה שמתאימה לכלל לופיטל, ואז
  • 1:20 - 1:23
    נוכל פשוט להפעיל את הכלל.
  • 1:23 - 1:25
    וכדי לעשות זאת, בואו נראה, מה קורה אם
  • 1:25 - 1:26
    נחבר את שני הביטויים הללו ?
  • 1:26 - 1:30
    אז אם נחבר אותם, אז הביטוי הזה, אם נחבר אותו, הוא
  • 1:30 - 1:32
    יהיה, ובכן, המכנה המשותף יהיה x
  • 1:32 - 1:37
    פחות 1 כפול הלוג הטבעי של x.
  • 1:37 - 1:39
    פשוט כפלתי את המכנים.
  • 1:39 - 1:43
    ואז המונה יהיה, ובכן, אם אכפול
  • 1:43 - 1:46
    את כל האיבר הזה בלוג הטבעי של x, אז זה
  • 1:46 - 1:51
    יהיה x [כפול] הלוג הטבעי של x, ואז האיבר הזה כולו
  • 1:51 - 1:53
    אכפול ב- x פחות 1.
  • 1:53 - 1:55
    אז פחות x פחות 1.
  • 1:55 - 1:59
    ואתם יכולים לפרק את השבר ולראות שהביטוי הזה
  • 2:01 - 2:03
    והביטוי הזה הם אותו דבר.
  • 2:10 - 2:12
    בואו ניפטר מזה.
  • 2:12 - 2:18
    והביטוי הזה כאן הוא זהה ל- 1 חלקי
  • 2:18 - 2:22
    הלוג הטבעי של x, כי ה- (x-1) מצטמצם.
  • 2:22 - 2:24
    אז אני מקווה שאתם מבינים, שכל מה שעשיתי זה חיברתי
  • 2:24 - 2:25
    את שני הביטויים הללו.
  • 2:25 - 2:29
    אז בואו נראה מה קורה אם אני לוקח את הגבול
  • 2:29 - 2:32
    כאשר x שואף ל- 1 של הדבר הזה.
  • 2:32 - 2:33
    כי הביטיים האילו זהים.
  • 2:33 - 2:35
    האם אנו מקבלים משהו מעניין יותר ?
  • 2:35 - 2:36
    אז מה יש לנו כאן ?
  • 2:36 - 2:39
    יש לנו 1 כפול הלוג הטבעי של 1.
  • 2:39 - 2:44
    הלוג הטבעי של 1 הוא 0, אז יש לנו 0 כאן, אז זה שווה 0.
  • 2:44 - 2:47
    פחות 1 פחות 0, אז זה יהיה 0 גם כן, פחות 0.
  • 2:56 - 3:00
    הלוג הטבעי של 1, שהוא 0, אז 0 כפול 0, זה יוצא 0.
  • 3:00 - 3:01
    והנה קיבלנו את מה שרצינו.
  • 3:01 - 3:05
    קיבלנו את הצורה הלא-מוגדרת שאנו צריכים עבור כלל לופיטל,
  • 3:05 - 3:07
    בהנחה שאם ניקח את הנגזרת של זה, ונחלק אותה
  • 3:07 - 3:09
    בנגזרת של זה, אז הגבול של המנה קיים.
  • 3:09 - 3:11
    בואו ננסה לעשות זאת.
  • 3:11 - 3:15
    אז זה יהיה שווה, אם הגבול קיים, זה
  • 3:15 - 3:19
    יהיה שווה לגבול כאשר x שואף ל- 1.
  • 3:19 - 3:22
    ובואו נכתוב את הנגזרת בצבע ורוד (מגנטה), נקח את
  • 3:22 - 3:26
    הנגזרת של המונה שנמצא כאן.
  • 3:26 - 3:29
    ועבור האיבר הראשון, נשתמש בכלל המכפלה.
  • 3:29 - 3:33
    הנגזרת של x היא 1, ואז 1 כפול הלוג הטבעי
  • 3:33 - 3:36
    של x, הנגזרת של האיבר הראשון כפול
  • 3:36 - 3:37
    האיבר השני.
  • 3:37 - 3:40
    ואז יש לנו ועוד הנגזרת של
  • 3:40 - 3:44
    האיבר השני ועוד 1 חלקי x כפול האיבר הראשון.
  • 3:44 - 3:45
    זהו פשוט כלל המכפלה.
  • 3:45 - 3:48
    אז 1 חלקי x כפול x, זה יוצא 1,
  • 3:48 - 3:54
    ואז יש לנו פחות הנגזרת של x פחות 1.
  • 3:54 - 3:58
    טוב, הנגזרת של x פחות 1 היא פשוט 1, אז זה יצא
  • 3:58 - 4:01
    פשוט מינוס 1.
Title:
L'Hopital's Rule Example 3
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:50

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.