אנו רוצים לחשב את הגבול, כאשר x שואף ל- 1, של
הביטוי x חלקי x-1 פחות 1 חלקי
הלוג הטבעי של x.
אז בואו נראה מה קורה כאשר אנו פשוט
מנסים להציב 1.
מה קורה אם מעריכים את הביטוי ב- 1 ?
ובכן, נקבל 1 כאן, חלקי 1-1.
אז נקבל משהו כמו 1 חלקי 0, פחות 1
חלקי... ומהו הלוג הטבעי של 1 ?
e באיזו חזקה שווה 1 ?
ובכן, כל דבר בחזקת 0 שווה ל- 1, לכן e
בחזקת 0 יהיה שווה ל- 1, ולכן הלוג
הטבעי של 1 יהיה שווה 0.
אז אנו מקבלים משהו מוזר, 1 חלקי
0 פחות 1 חלקי 0.
זוהי צורה מוזרה ולא מוגדרת.
אבל זו אינה הצורה הלא-מוגדרת שחיפשנו
בכלל לופיטל.
אנו לא מקבלים 0 חלקי 0, אנו לא מקבלים
אינסוף חלקי אינסוף.
אז אולי תאמרו פשוט, אוקיי, זו לא בעייה
שפותרים ע"י כלל לופיטל.
אנו נהיה חייבים לפתור את הגבול הזה בדרך אחרת.
ואני אומר, ובכן אל תוותרו כל כך מהר.
אולי נוכל לשחק איכשהו עם האלגברה כך
שנקבל צורה שמתאימה לכלל לופיטל, ואז
נוכל פשוט להפעיל את הכלל.
וכדי לעשות זאת, בואו נראה, מה קורה אם
נחבר את שני הביטויים הללו ?
אז אם נחבר אותם, אז הביטוי הזה, אם נחבר אותו, הוא
יהיה, ובכן, המכנה המשותף יהיה x
פחות 1 כפול הלוג הטבעי של x.
פשוט כפלתי את המכנים.
ואז המונה יהיה, ובכן, אם אכפול
את כל האיבר הזה בלוג הטבעי של x, אז זה
יהיה x [כפול] הלוג הטבעי של x, ואז האיבר הזה כולו
אכפול ב- x פחות 1.
אז פחות x פחות 1.
ואתם יכולים לפרק את השבר ולראות שהביטוי הזה
והביטוי הזה הם אותו דבר.
בואו ניפטר מזה.
והביטוי הזה כאן הוא זהה ל- 1 חלקי
הלוג הטבעי של x, כי ה- (x-1) מצטמצם.
אז אני מקווה שאתם מבינים, שכל מה שעשיתי זה חיברתי
את שני הביטויים הללו.
אז בואו נראה מה קורה אם אני לוקח את הגבול
כאשר x שואף ל- 1 של הדבר הזה.
כי הביטיים האילו זהים.
האם אנו מקבלים משהו מעניין יותר ?
אז מה יש לנו כאן ?
יש לנו 1 כפול הלוג הטבעי של 1.
הלוג הטבעי של 1 הוא 0, אז יש לנו 0 כאן, אז זה שווה 0.
פחות 1 פחות 0, אז זה יהיה 0 גם כן, פחות 0.
הלוג הטבעי של 1, שהוא 0, אז 0 כפול 0, זה יוצא 0.
והנה קיבלנו את מה שרצינו.
קיבלנו את הצורה הלא-מוגדרת שאנו צריכים עבור כלל לופיטל,
בהנחה שאם ניקח את הנגזרת של זה, ונחלק אותה
בנגזרת של זה, אז הגבול של המנה קיים.
בואו ננסה לעשות זאת.
אז זה יהיה שווה, אם הגבול קיים, זה
יהיה שווה לגבול כאשר x שואף ל- 1.
ובואו נכתוב את הנגזרת בצבע ורוד (מגנטה), נקח את
הנגזרת של המונה שנמצא כאן.
ועבור האיבר הראשון, נשתמש בכלל המכפלה.
הנגזרת של x היא 1, ואז 1 כפול הלוג הטבעי
של x, הנגזרת של האיבר הראשון כפול
האיבר השני.
ואז יש לנו ועוד הנגזרת של
האיבר השני ועוד 1 חלקי x כפול האיבר הראשון.
זהו פשוט כלל המכפלה.
אז 1 חלקי x כפול x, זה יוצא 1,
ואז יש לנו פחות הנגזרת של x פחות 1.
טוב, הנגזרת של x פחות 1 היא פשוט 1, אז זה יצא
פשוט מינוס 1.