< Return to Video

Concavity, concave upwards and concave downwards intervals

  • 0:00 - 0:00
  • 0:00 - 0:04
    สิ่งที่เรามีตรงนี้สีเหลืองคือ
    กราฟของ y เท่ากับ f ของ x
  • 0:04 - 0:06
    แล้วตรงนี้สีชมพู ผมได้
  • 0:06 - 0:09
    วาดกราฟ y เท่ากับอนุพันธ์ของ f
  • 0:09 - 0:11
    คือ f ไพรม์ของ x
  • 0:11 - 0:13
    แล้วตรงนี้สีฟ้า ผมได้วาดกราฟ
  • 0:13 - 0:16
    y เท่ากับอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเรา
  • 0:16 - 0:18
    นี่คืออนุพันธ์ของตัวนี้
  • 0:18 - 0:22
    ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งตรงนี้
  • 0:22 - 0:24
    และเราเห็นตัวอย่างไปแล้วว่าเรา
  • 0:24 - 0:25
    หาจุดสูงสุดและต่ำสุดได้อย่างไร
  • 0:25 - 0:27
    แน่นอน ถ้าเรามีกราฟตรงหน้า
  • 0:27 - 0:30
    มันไม่ยากนักที่สมองมนุษย์จะระบุ
  • 0:30 - 0:32
    ว่าอันนี้เป็นจุดสูงสุดท้องถิ่น
  • 0:32 - 0:35
    ฟังก์ชันอาจมีค่ามากขึ้นต่อไป
  • 0:35 - 0:38
    แล้วก็ระบุว่าจุดนี้คือจุดต่ำสุดท้องถิ่น
  • 0:38 - 0:40
    ฟังก์ชันอาจมีค่าต่ำลงต่อไป
  • 0:40 - 0:43
    แต่เราเห็นว่า ถึงแม้ว่าเราจะไม่มีกราฟนี้ตรงหน้า
  • 0:43 - 0:45
    ถ้าเราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
  • 0:45 - 0:47
    เราอาจ -- ถึงแม้ว่าเราจะไม่สามารถหา
  • 0:47 - 0:49
    อนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ -- เรา
  • 0:49 - 0:52
    ก็อาจระบุจุดเหล่านี้เป็นจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดได้
  • 0:52 - 0:53
    วิธีที่เราทำ คือเราบอกว่า โอเค
  • 0:53 - 0:55
    จุดวิกฤตของฟังก์ชันนี้คืออะไร?
  • 0:55 - 0:58
    จุดวิกฤตคือจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
  • 0:58 - 1:00
    ไม่นิยามหรือเป็น 0
  • 1:00 - 1:02
    นี่คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน
  • 1:02 - 1:04
    มันคือ 0 ตรงนี้และตรงนี้
  • 1:04 - 1:06
    เราเรียกพวกมันว่าจุดวิกฤตได้
  • 1:06 - 1:09
    และผมไม่เห็นจุดอื่นใดที่
  • 1:09 - 1:11
    อนุพันธ์ไม่นิยาม
  • 1:11 - 1:16
    เราจึงเรียกจุดนี้กับจุดนี้ว่าจุดวิกฤต
  • 1:16 - 1:20
    พวกมันเป็นจุดตัวแทนที่ฟังก์ชันของเรา
  • 1:20 - 1:22
    อาจมีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด
  • 1:22 - 1:24
    และวิธีที่เราหาว่ามันคือ
  • 1:24 - 1:25
    จุดต่ำสุดหรือสูงสุดหรือไม่ คือ
  • 1:25 - 1:29
    ดูพฤติกรรมของอนุพันธ์รอบจุดนั้น
  • 1:29 - 1:36
    และตรงนี้เราเห็นว่าอนุพันธ์เป็นบวก
  • 1:36 - 1:38
    เมื่อเราเข้าหาจุดนั้น
  • 1:38 - 1:41
  • 1:41 - 1:43
    แล้วมันกลายเป็นลบ
  • 1:43 - 1:45
    มันไปจากบวกเป็นลบ
  • 1:45 - 1:46
    เมื่อเราข้ามจุดนั้น
  • 1:46 - 1:49
    ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันกำลังเพิ่ม
  • 1:49 - 1:51
    ถ้าอนุพันธ์เป็นบวก
  • 1:51 - 1:53
    นั่นหมายความว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นเมื่อเราเข้าหา
  • 1:53 - 1:56
    จุดนั้น แล้วลดลงเมื่อเราออกจากจุดนั้น
  • 1:56 - 1:59
    ซึ่งเป็นวิธีคิดที่ดีว่าจุดนี้
  • 1:59 - 1:59
    เป็นจุดสูงสุด
  • 1:59 - 2:01
    ถ้าเราเพิ่มขึ้นเมื่อเราเข้าใกล้มัน
  • 2:01 - 2:03
    และลดลงเมื่อเราออกจากมัน แล้วจุดนั้น
  • 2:03 - 2:06
    จะเป็นจุดสูงสุดแน่นอน
  • 2:06 - 2:09
    เช่นเดียวกัน ตรงนี้เราเห็น
  • 2:09 - 2:15
    ว่าอนุพันธ์เป็นลบเมื่อเราเข้าใกล้จุดนั้น
  • 2:15 - 2:17
    ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันกำลังลดลง
  • 2:17 - 2:20
    และเราเห็นว่าอนุพันธ์เป็นบวก
  • 2:20 - 2:21
    เมื่อเราออกจุดนั้น
  • 2:21 - 2:23
    เราไปจากอนุพันธ์เป็นลบ
  • 2:23 - 2:25
    ไปยังอนุพันธ์เป็นลบ ซึ่งหมายความว่า
  • 2:25 - 2:28
    ฟังก์ชันจะไปจากลดเป็นเพิ่ม
  • 2:28 - 2:31
    รอบจุดนั้น ซึ่งเป็นสัญญาณที่ดี
  • 2:31 - 2:34
    หรือมันเป็นการบ่งชี้ ว่าจุดวิกฤตนี้
  • 2:34 - 2:39
    เป็นจุดที่ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด
  • 2:39 - 2:41
    สิ่งที่ผมอยากทำตอนนี้ คือขยายสิ่งต่างๆ
  • 2:41 - 2:43
    โดยใช้แนวคิดเรื่องความเว้า หรือคอนเควิตี้
  • 2:43 - 2:46
  • 2:46 - 2:48
    และผมรู้ว่าผมออกเสียงผิด
  • 2:48 - 2:50
    มันอาจเป็น คอนแควิตี้
  • 2:50 - 2:53
    แต่เวลาคิดถึงความเว้า เรา
  • 2:53 - 2:55
    จะเริ่มดูอนุพันธ์อันดับสอง แทนที่จะ
  • 2:55 - 2:58
    มองเป็นแค่การเปลี่ยนผ่าน เวลาคิดว่าจุดนี้
  • 2:58 - 3:01
    เป็นจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุด
  • 3:01 - 3:03
    ลองคิดถึงสิ่งที่เกิดขึ้น
  • 3:03 - 3:06
    ในช่วงแรกนี้ ส่วนนี้ของเส้นโค้ง
  • 3:06 - 3:10
    บนนี้ โดยมันดูเหมือนเส้นโค้งที่กำลัง
  • 3:10 - 3:11
    คว่ำ มันดูเหมือนตัว A
  • 3:11 - 3:14
    ที่ไม่มีเส้นขวาง หรือ U กลับหัว
  • 3:14 - 3:15
    แล้วเราจะคุยกันว่า
  • 3:15 - 3:20
    เกิดอะไรขึ้นกับส่วนโค้งหงายตัว U นี้
  • 3:20 - 3:22
    ตลอดช่วงแรกนี้
  • 3:22 - 3:24
    ตรงนี้ ถ้าเราเริ่มตรงนี้ ความชัน
  • 3:24 - 3:26
    -- ขอผมทำด้วย - ผมขอทำด้วย
  • 3:26 - 3:28
    สีเดิมแล้วกัน เพราะมัน
  • 3:28 - 3:30
    คือสีเดียวกับที่ผมใช้กับอนุพันธ์
  • 3:30 - 3:33
    ความชันเป็นบวกมาก
  • 3:33 - 3:37
    แล้วมันเป็นบวกน้อยลง
  • 3:37 - 3:40
    แล้วมันกลายเป็นบวกน้อยลงอีก
  • 3:40 - 3:43
    มันกลายเป็น 0
  • 3:43 - 3:44
    แล้วมันลดลงเรื่อยๆ
  • 3:44 - 3:47
    ทีนี้ มันเป็นลบนิดหน่อย ลบนิดหน่อย
  • 3:47 - 3:49
    แล้วมันกลายเป็นลบยิ่งขึ้น
  • 3:49 - 3:51
    แล้วมันเป็นลบยิ่งขึ้นไปอีก
  • 3:51 - 3:56
    แล้วมันหยุดลดลงแถวนี้
  • 3:56 - 3:58
    ความชันหยุดลดตรงแถวนี้
  • 3:58 - 3:59
    และคุณเห็นว่าในอนุพันธ์
  • 3:59 - 4:01
    ความชันกำลังลดลง ลดลง ลดลง
  • 4:01 - 4:05
    ลดลง กระทั่งจุดนั้น แล้วมันก็เริ่มเพิ่มขึ้น
  • 4:05 - 4:11
    ส่วนทั้งหมดนี่ตรงนี้
  • 4:11 - 4:13
    ความชันกำลังลดลง
  • 4:13 - 4:19
  • 4:19 - 4:22
    แล้วคุณเห็นตรงนี้ เมื่อเราหาอนุพันธ์
  • 4:22 - 4:26
    อนุพันธ์ตรงนี้ ตลอดช่วงนี้
  • 4:26 - 4:27
    กำลังลดลง
  • 4:27 - 4:30
    แล้วเราเห็นด้วยว่า เมื่อเราหาอนุพันธ์อันดับสอง
  • 4:30 - 4:32
    ถ้าอนุพันธ์กำลังลดลง
  • 4:32 - 4:34
    นั่นหมายความว่าอนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์
  • 4:34 - 4:35
    ของอนุพันธ์ จะเป็นลบ
  • 4:35 - 4:38
    แล้วเราเห็นว่า มันเป็นเช่นนั้นจริง
  • 4:38 - 4:43
    ตลอดช่วงทั้งหมดนี้ อนุพันธ์อันดับสอง
  • 4:43 - 4:46
    เป็นลบจริง
  • 4:46 - 4:48
    ทีนี้ เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราเปลี่ยนผ่าน
  • 4:48 - 4:51
    ไปยังส่วนหงายของ U ตรงนี้?
  • 4:51 - 4:54
    ตรงนี้ อนุพันธ์เป็นลบทีเดียว
  • 4:54 - 4:56
    มันเป็นลบทีเดียวตรงนี้
  • 4:56 - 4:59
    แต่มันยังเป็นลบ แต่มัน
  • 4:59 - 5:02
    เป็นลบน้อยลง ลบน้อยลง และลบน้อยลง
  • 5:02 - 5:05
    ลบน้อยลง แล้วก็ลบน้อยลง ลบน้อยลง
  • 5:05 - 5:06
    แล้วมันกลายเป็น 0
  • 5:06 - 5:08
    มันกลายเป็น 0 ตรงนี้
  • 5:08 - 5:11
    แล้วมันก็กลายเป็นบวกมากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น
  • 5:11 - 5:13
    แล้วคุณเห็นตรงนี้
  • 5:13 - 5:17
    ตลอดช่วงทั้งหมดนี้ ความชันหรืออนุพันธ์
  • 5:17 - 5:18
    กำลังเพิ่มขึ้น
  • 5:18 - 5:25
    ความชันจะเพิ่มขึ้น
  • 5:25 - 5:26
    และคุณเห็นมันตรงนี้
  • 5:26 - 5:28
    ตรงนี้ ความชันเป็น 0
  • 5:28 - 5:30
    ความชันของอนุพันธ์เป็น 0
  • 5:30 - 5:33
    อนุพันธ์เองไม่ได้เปลี่ยนในขณะนี้
  • 5:33 - 5:37
    แล้วคุณเห็นว่าความชันกำลังเพิ่มขึ้น
  • 5:37 - 5:39
    เหมือนเดิม เรามองภาพมัน
  • 5:39 - 5:41
    ในอนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์ของอนุพันธ์
  • 5:41 - 5:43
    ถ้าอนุพันธ์เพิ่มขึ้น
  • 5:43 - 5:45
    นั่นหมายความว่า อนุพันธ์ของมันต้องเป็นบวก
  • 5:45 - 5:49
    และมันเป็นจริงที่อนุพันธ์เป็นบวก
  • 5:49 - 5:53
    แล้วเรามีคำเรียก U คว่ำนี้
  • 5:53 - 5:58
    และ U หงายนี้ เราเรียนมันว่าเว้าลง
  • 5:58 - 6:02
  • 6:02 - 6:04
    ขอผมบอกให้ชัดนะ
  • 6:04 - 6:08
    เว้าลง
  • 6:08 - 6:10
    และเราเรียกส่วนนี้ว่า เว้าขึ้น
  • 6:10 - 6:13
  • 6:13 - 6:15
    ลองทบทวนกันว่าเราระบุ
  • 6:15 - 6:19
    ช่วงเว้าลง กับช่วงเว้าขึ้นว่าอย่างไร
  • 6:19 - 6:26
    ถ้าเราพูดถึงการเว้าลง
  • 6:26 - 6:28
    เราเห็นหลายอย่าง
  • 6:28 - 6:29
    เราเห็นว่าความชันกำลังลดลง
  • 6:29 - 6:38
  • 6:38 - 6:41
    ซึ่งก็คือวิธีบอกว่า f
  • 6:41 - 6:47
    ไพรม์ของ x กำลังลดลง
  • 6:47 - 6:52
  • 6:52 - 6:55
    ซึ่งเป็นวิธีบอกอีกอย่างว่า อนุพันธ์อันดับสองต้อง
  • 6:55 - 6:56
    เป็นลบ
  • 6:56 - 6:58
    ถ้าอนุพันธ์อันดับหนึ่งลดลง
  • 6:58 - 7:00
    อนุพันธ์อันดับสองต้องเป็นลบ
  • 7:00 - 7:03
    ซึ่งเป็นวิธีบอกอีกอย่างว่า อนุพันธ์อันดับสอง
  • 7:03 - 7:08
    ตลอดช่วงนั้นต้องเป็นลบ
  • 7:08 - 7:11
    ถ้าคุณมีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ
  • 7:11 - 7:14
    แล้วคุณจะมีช่วงเว้าลง
  • 7:14 - 7:17
    เช่นเดียวกัน -- ผมมีปัญหาการพูด
  • 7:17 - 7:22
    คำนั้นเหลือเกิน -- ลองคิดถึงการเว้าขึ้น
  • 7:22 - 7:26
    โดยคุณมี U หงาย เว้าขึ้น
  • 7:26 - 7:29
    ในช่วงเหล่านี้ ความชันจะเพิ่มขึ้น
  • 7:29 - 7:31
    เรามีความชันเป็นลบ ลบน้อยลง ลบน้อยลง 0
  • 7:31 - 7:34
    บวก บวกขึ้น บวกขึ้น บวกขึ้นอีก
  • 7:34 - 7:38
    ความชันจึงเพิ่มขึ้น
  • 7:38 - 7:43
  • 7:43 - 7:51
    ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น
  • 7:51 - 7:53
    และคุณเห็นมันตรงนี้
  • 7:53 - 7:56
    อนุพันธ์นี้มีค่าเพิ่มขึ้น
  • 7:56 - 8:00
    ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์อันดับสองในช่วง
  • 8:00 - 8:03
    โดยเราเหว้าขึ้นต้องมากกว่า 0
  • 8:03 - 8:05
    ถ้าอนุพันธ์อันดับสองมากกว่า 0
  • 8:05 - 8:07
    นั่นหมายความว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
  • 8:07 - 8:09
    เพิ่มขึ้น ซึ่งหมายความว่าความชันกำลังเพิ่มขึ้น
  • 8:09 - 8:15
    เราจะอยู่ในช่วงเว้าขึ้น
  • 8:15 - 8:18
    ทีนี้ จากนิยามทั้งหมดนี้ที่เราเพิ่ม
  • 8:18 - 8:20
    กำหนดสำหรับการเว้าลงและเว้าขึ้น
  • 8:20 - 8:22
    เราหาวิธีบอก
  • 8:22 - 8:25
    ว่าจุดวิกฤตเป็นจุดต่ำสุด
  • 8:25 - 8:26
    หรือจุดสูงสุดได้ไหม?
  • 8:26 - 8:28
    ถ้าคุณมีจุดสูงสุด
  • 8:28 - 8:32
    ถ้าคุณมีจุดวิกฤตที่ฟังก์ชัน
  • 8:32 - 8:36
    เว้าลง แล้วคุณจะอยู่ที่จุดสูงสุด
  • 8:36 - 8:38
    เว้าลง ขอบอกให้ชัดตรงนี้นะ
  • 8:38 - 8:42
    หมายความว่ามันคว่ำอย่างนี้
  • 8:42 - 8:44
    และเมื่อเราพูดถึงจุดวิกฤต
  • 8:44 - 8:46
    ถ้าเราสมมุติว่ามันเว้าลงตรงนี้
  • 8:46 - 8:49
    เราสมมุติว่าเราหาอนุพันธ์ได้ตลอดช่วงนี้
  • 8:49 - 8:50
    แล้วจุดวิกฤตจะ
  • 8:50 - 8:52
    เป็นจุดที่ความชันเป็น 0
  • 8:52 - 8:55
    มันจะเป็นจุดนั่นตรงนั้น
  • 8:55 - 8:57
    ถ้าคุณเว้าลง และคุณ
  • 8:57 - 9:02
    มีจุดที่ f ไพรม์ของ อย่างเช่น a เท่ากับ 0
  • 9:02 - 9:05
    แล้วเราจะได้จุดสูงสุดที่ a
  • 9:05 - 9:12
  • 9:12 - 9:14
    เช่นเดียวกัน ถ้าเราเว้าขึ้น
  • 9:14 - 9:17
    นั่นหมายความว่าฟังก์ชันของเราเป็นแบบนี้
  • 9:17 - 9:20
    และถ้าเราเจอจุด แน่นอน จุดวิกฤต
  • 9:20 - 9:23
    จะเป็นตำแหน่งที่ฟังก์ชันไม่นิยาม
  • 9:23 - 9:25
    แต่ถ้าเราสมมุติว่าอนุพันธ์แรกของเรา
  • 9:25 - 9:27
    และอนุพันธ์อันดับสองนิยามตรงนี้
  • 9:27 - 9:28
    แล้วจุดวิกฤตจะเป็นจุด
  • 9:28 - 9:31
    ที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งเท่ากับ 0
  • 9:31 - 9:35
    f ไพรม์ของ a เท่ากับ 0
  • 9:35 - 9:38
    และถ้า f ไพรม์ของ a เท่ากับ 0
  • 9:38 - 9:41
    และถ้าเราเว้าขึ้นในช่วง
  • 9:41 - 9:44
    รอบ a ถ้าอนุพันธ์อันดับสองมากกว่า 0
  • 9:44 - 9:46
    มันจะเห็นได้ชัด คุณเห็นตรงนี้
  • 9:46 - 9:54
    ว่าเราจะได้จุดต่ำสุดที่ a
Title:
Concavity, concave upwards and concave downwards intervals
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:54

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.