Concavity, concave upwards and concave downwards intervals

Тук ни е дадена в жълто
графиката на у равно на f от х.

След това тук в този бледоморав цвят

е дадена графиката на производната на f,

т.е. f' от х.

А след това ето тук, в синьо,
е дадена графиката

на у е равно на втората производна
на функцията f, т.е. f'' от х.

Следователно това е производната
на тази функция,

на първата производна ето тук.

Вече разгледахме примери как може

да откриваме точки на минимум и максимум.

Очевидно, ако имаме графиката
пред себе си,

не е трудно за човек да открие,

че това е точка на локален максимум.

Функцията може да приема
по-високи стойности след това.

А също така и да открие, че това е
точка на локален минимум.

Функцията може да приема
по-ниски стойности след това.

Но видяхме, че дори и да не разполагаме
с графиката пред себе си,

ако можем да намерим
производната на функцията,

то може – или дори ако не можем

да намерим производната на функцията –

да открием тези точки
на минимум или максимум.

А начинът, по който го направихме,

е като зададем въпроса: Кои са
критичните точки за дадената функция?

Критичните точки са места, където
производната на функцията

или не е дефинирана, или е равна на 0.

Това е производната на функцията.

Тук и ето тук е равна на 0.

Ще наречем тези места
критични точки.

Засега не виждам точки, в които

производната не е дефинирана.

Тази и тази точка ще ги означим
като критични точки.

Това са точки, които са кандидати
за функцията,

за минимална или максимална
стойност.

Начинът, по който определяме дали

е минимална или максимална стойност,

е като проверим поведението на производната
около всяка една от тези точки.

Ето тук виждаме, че производната
е положителна,

когато достигаме до тази точка.

А след това става отрицателна.

Променя се от положителна
на отрицателна,

когато преминава през тази точка.

Което означава, че функцията
е била нарастваща.

Ако производната е положителна,

това означава, че функцията е била
нарастваща, когато се приближава

към тази точка, а след това е намаляваща,
когато продължава след тази точка,

което е достатъчно добро
основание да смятаме,

това е точка, в която има максимум.

Ако функцията е нарастваща,
когато се приближаваме към нея,

а намаляваща след това, то тогава

това определено е точка,
в която има максимум.

Подобно на това,
точно ето тук виждаме,

че производната е отрицателна, когато
се приближаваме към тази точка,

което означава, че функцията
е намаляваща.

И виждаме, че производната
е положителна,

когато продължава след тази точка.

Производната се променя
от отрицателна

към положителна, което означава,

че функцията се променя
от намаляваща към нарастваща,

около тази точка. Това е достатъчно
добър показател,

или това е показателят, че
тази критична точка

е точка, в която функцията достига
до минимална стойност.

Това, което искам да направя сега,
е да разширя тази тема,

като използвам идеята за вдлъбнатост.

Вдлъбнатост.

Знам, че не го произнасям правилно.

Може би е вдлъбнатост.

Като мислим за вдлъбнатост,

може да разгледаме
втората производна не като

просто пресичане на оста х, а дали това

са точки на минимум или максимум.

Нека да помислим какво се случва

в ето тази област, т.е. тази част от кривата

тук горе, която изглежда като арка, която

е отворена отдолу, и изглежда
като буквата A,

без пресечната линия,
или като обърнатa буква U.

Тогава искаме да помислим какво

се случва при тази отворена
отдолу част U от кривата.

В рамките на този първи интервал, точно

ето тук, ако започнем от тук, то наклонът

е много...Всъщност ще го направя

със същия цвят, защото това

е същият цвят, който използвах
за производната.

Наклонът е силно положителен.

След това става по-малко
положителен.

След това става дори
още по-малко положителен.

Евентуално достига до 0.

След това продължава да намалява.

Сега става слабо отрицателен,
още повече отрицателен,

а след това става дори
още по-силно отрицателен.

И дори още повече отрицателен.

Изглежда, че около това място
спира да намалява.

Наклонът спира да намалява
точно около тази точка.

Виждаме това на графиката
на производната.

Наклонът е намаляващ,
намаляващ, намаляващ,

докато не достигне до тази точка.
След това започва да нараства.

Следователно в цялата
тази част ето тук,

наклонът е намаляващ.

Наклонът е намаляващ.

И това го виждаме ето тук, когато
наблюдаваме производната.

Производната ето тук,
в рамките на този интервал,

е намаляваща.

Това се вижда и при втората
производна.

Ако производната е намаляваща,

това означава, че втората
производна – т.е. производната

на производната – е отрицателна.

И виждаме действително,
че случаят е такъв.

В рамките на този интервал
втората производна

действително е отрицателна.

А какво се случва при преминаването

към тази отворена отгоре крива,
която изглежда като буквата U?

Тук производната е
доста отрицателна.

Доста отрицателна е
на това място.

След това отново е отрицателна,

но става все по-малко,
по-малко и по-малко отрицателна,

По-малко, по-малко и
по-малко отрицателна,

След това достига до 0.

Ето в тази точка става 0.

След това става все повече
и повече положителна.

Това се вижда и ето тук.

Следователно в рамките на целия този
интервал наклонът, или производната,

е нарастваща.

Наклонът е нарастващ.

Това се вижда ето тук.

В тази точка наклонът е 0.

Наклонът на производната е 0.

Самата производна не се променя
в този момент.

След това се вижда, че
наклонът нараства.

Още веднъж, може да онагледим това

на графиката на втората производна,
т.е. производната на производната.

Ако производната е нарастваща,

това означава, че нейната производна
следва да е положителна.

И действително се получава, че
производната е положителна.

Имаме дума за тази отворена отдолу

крива с формата на U, и отворена отгоре крива
с формата на U. Наричаме това вдлъбната функция.

Вдлъбната функция.

Нека да го изясня.

Вдлъбната функция.

А това наричаме изпъкнала функция.

Изпъкнала функция.

Нека да си припомним
как може да открием

интервали на вдлъбнатост
и интервали на изпъкналост.

Ако говорим за вдлъбната функция,

виждаме няколко неща.

Виждаме, че наклонът е намаляващ.

Наклонът е намаляващ.

Което е просто друг начин да кажем,
че f' от х е намаляваща.

Което е друг начин да се каже,
че втората производна

трябва да е отрицателна.

Ако първата производна намалява,

то втората производна
трябва да е отрицателна.

А това е друг начин да се каже,
че втората производна

в рамките на този интервал
трябва да бъде отрицателна.

Тоест, ако имаш отрицателна
втора производна,

то тогава се намираш
в интервал на вдлъбнатост.

Аналогично – имам трудности
с изговарянето

на тази дума - нека да помислим
за изпъкналост,

или когато имаш отворена отгоре
крива U. Изпъкнала функция.

В тези интервали наклонът
е нарастващ.

Имаме отрицателен наклон, по-малко
отрицателен, по-малко отрицателен, 0,

положителен, повече положителен, повече
положителен, още повече положителен.

Следователно наклонът е нарастващ.

Наклонът е нарастващ.

Което означава, че производната
на функцията е нарастваща.

А това се вижда ето тук.

Производната е нарастваща,

което означава, че втората производна
в рамките на този интервал –

където функцията е изпъкнала –
трябва да е по-голяма от 0.

Ако втората производна
е по-голяма от 0,

това означава, че първата производна

е нарастваща, което означава,
че наклонът е нарастващ.

Намираме се в интервал
на изпъкналост.

Като вземем предвид всички тези
дефиниции –

които току-що дадохме
за вдлъбнатост и изпъкналост –

можем ли да намерим
друг начин за определяне

дали една критична точка
е точка на минимум

или точка на максимум?

Ако имаш точка на максимум,

т.е. критична точка, където функцията

е вдлъбната, тогава ще се намираш
в точка на максимум.

Вдлъбната функция, нека да го изясним,

означава, че кривата
се отваря отдолу като ето това.

А когато става дума за критична точка,

ако предполагаме, че е
вдлъбната ето тук,

предполагаме, че функцията е
диференцируема в този интервал.

Тогава критичната точка ще бъде
там, къде наклонът е равен на 0.

Следователно ще бъде
ето тази точка тук.

Ако функцията е вдлъбната и имаш

точка, където f' от а, например,
е равно на 0,

то функцията има
максимум в точката а.

Mаксимум в точката а.

Аналогично, ако функцията е изпъкнала,

това означава, че функцията
изглежда като нещо такова.

Ако бяхме намерили
критична точка, т.е. такава,

при която функцията може
да не е дефинирана,

но предположим, че първата производна

и втората производна е дефинирана тук,

тогава критичната точка
ще бъде такава,

при която първата производна
ще бъде равна на 0.

Следователно f' от а е равно на 0.

А ако f' от а е равно на 0,

и функцията е изпъкнала в интервала

около а, и ако втората производна
е по-голяма от 0,

то е достатъчно ясно –
ето тук се вижда –

че в точка а има точка на минимум.