1
00:00:00,500 --> 00:00:04,270
Тук ни е дадена в жълто
графиката на у равно на f от х.

2
00:00:04,270 --> 00:00:06,350
След това тук в този бледоморав цвят

3
00:00:06,350 --> 00:00:09,310
е дадена графиката на производната на f,

4
00:00:09,310 --> 00:00:10,870
т.е. f' от х.

5
00:00:10,870 --> 00:00:12,580
А след това ето тук, в синьо, 
е дадена графиката

6
00:00:12,580 --> 00:00:15,740
на у е равно на втората производна 
на функцията f, т.е. f'' от х.

7
00:00:15,740 --> 00:00:18,380
Следователно това е производната 
на тази функция,

8
00:00:18,380 --> 00:00:21,550
на първата производна ето тук.

9
00:00:21,550 --> 00:00:23,830
Вече разгледахме примери как може

10
00:00:23,830 --> 00:00:25,345
да откриваме точки на минимум и максимум.

11
00:00:25,345 --> 00:00:27,220
Очевидно, ако имаме графиката
пред себе си,

12
00:00:27,220 --> 00:00:29,850
не е трудно за човек да открие,

13
00:00:29,850 --> 00:00:31,950
че това е точка на локален максимум.

14
00:00:31,950 --> 00:00:34,530
Функцията може да приема 
по-високи стойности след това.

15
00:00:34,530 --> 00:00:37,540
А също така и да открие, че това е 
точка на локален минимум.

16
00:00:37,540 --> 00:00:40,242
Функцията може да приема 
по-ниски стойности след това.

17
00:00:40,242 --> 00:00:42,700
Но видяхме, че дори и да не разполагаме 
с графиката пред себе си,

18
00:00:42,700 --> 00:00:45,347
ако можем да намерим 
производната на функцията,

19
00:00:45,347 --> 00:00:47,180
то може – или дори ако не можем

20
00:00:47,180 --> 00:00:48,638
да намерим производната на функцията –

21
00:00:48,638 --> 00:00:51,501
да открием тези точки 
на минимум или максимум.

22
00:00:51,501 --> 00:00:53,000
А начинът, по който го направихме,

23
00:00:53,000 --> 00:00:55,500
е като зададем въпроса: Кои са 
критичните точки за дадената функция?

24
00:00:55,500 --> 00:00:58,360
Критичните точки са места, където 
производната на функцията

25
00:00:58,360 --> 00:01:00,099
или не е дефинирана, или е равна на 0.

26
00:01:00,099 --> 00:01:01,515
Това е производната на функцията.

27
00:01:01,515 --> 00:01:04,170
Тук и ето тук е равна на 0.

28
00:01:04,170 --> 00:01:06,120
Ще наречем тези места 
критични точки.

29
00:01:06,120 --> 00:01:08,520
Засега не виждам точки, в които

30
00:01:08,530 --> 00:01:10,590
производната не е дефинирана.

31
00:01:10,590 --> 00:01:15,590
Тази и тази точка ще ги означим 
като критични точки.

32
00:01:15,590 --> 00:01:19,740
Това са точки, които са кандидати 
за функцията,

33
00:01:19,740 --> 00:01:21,800
за минимална или максимална
стойност.

34
00:01:21,800 --> 00:01:23,550
Начинът, по който определяме дали

35
00:01:23,550 --> 00:01:25,220
е минимална или максимална стойност,

36
00:01:25,220 --> 00:01:29,320
е като проверим поведението на производната 
около всяка една от тези точки.

37
00:01:29,320 --> 00:01:36,320
Ето тук виждаме, че производната
е положителна,

38
00:01:36,320 --> 00:01:41,060
когато достигаме до тази точка.

39
00:01:41,200 --> 00:01:42,800
А след това става отрицателна.

40
00:01:42,800 --> 00:01:44,800
Променя се от положителна 
на отрицателна,

41
00:01:44,800 --> 00:01:46,500
когато преминава през тази точка.

42
00:01:46,500 --> 00:01:48,760
Което означава, че функцията 
е била нарастваща.

43
00:01:48,760 --> 00:01:50,679
Ако производната е положителна,

44
00:01:50,679 --> 00:01:52,970
това означава, че функцията е била
нарастваща, когато се приближава

45
00:01:52,970 --> 00:01:56,310
към тази точка, а след това е намаляваща, 
когато продължава след тази точка,

46
00:01:56,310 --> 00:01:58,544
което е достатъчно добро 
основание да смятаме,

47
00:01:58,544 --> 00:01:59,960
това е точка, в която има максимум.

48
00:01:59,960 --> 00:02:01,440
Ако функцията е нарастваща, 
когато се приближаваме към нея,

49
00:02:01,440 --> 00:02:03,240
а намаляваща след това, то тогава

50
00:02:03,240 --> 00:02:06,480
това определено е точка, 
в която има максимум.

51
00:02:06,490 --> 00:02:09,330
Подобно на това, 
точно ето тук виждаме,

52
00:02:09,330 --> 00:02:14,630
че производната е отрицателна, когато
се приближаваме към тази точка,

53
00:02:14,630 --> 00:02:17,420
което означава, че функцията 
е намаляваща.

54
00:02:17,420 --> 00:02:19,780
И виждаме, че производната 
е положителна,

55
00:02:19,780 --> 00:02:20,940
когато продължава след тази точка.

56
00:02:20,940 --> 00:02:22,710
Производната се променя 
от отрицателна

57
00:02:22,710 --> 00:02:24,530
към положителна, което означава,

58
00:02:24,530 --> 00:02:27,930
че функцията се променя 
от намаляваща към нарастваща,

59
00:02:27,930 --> 00:02:30,680
около тази точка. Това е достатъчно
добър показател,

60
00:02:30,680 --> 00:02:33,590
или това е показателят, че 
тази критична точка

61
00:02:33,590 --> 00:02:38,710
е точка, в която функцията достига 
до минимална стойност.

62
00:02:38,710 --> 00:02:41,150
Това, което искам да направя сега, 
е да разширя тази тема,

63
00:02:41,150 --> 00:02:43,270
като използвам идеята за вдлъбнатост.

64
00:02:43,270 --> 00:02:46,365
Вдлъбнатост.

65
00:02:46,365 --> 00:02:47,740
Знам, че не го произнасям правилно.

66
00:02:47,740 --> 00:02:49,740
Може би е вдлъбнатост.

67
00:02:49,740 --> 00:02:52,630
Като мислим за вдлъбнатост,

68
00:02:52,630 --> 00:02:55,380
може да разгледаме 
втората производна не като

69
00:02:55,380 --> 00:02:57,990
просто пресичане на оста х, а дали това

70
00:02:57,990 --> 00:03:01,280
са точки на минимум или максимум.

71
00:03:01,280 --> 00:03:03,300
Нека да помислим какво се случва

72
00:03:03,300 --> 00:03:06,030
в ето тази област, т.е. тази част от кривата

73
00:03:06,030 --> 00:03:09,540
тук горе, която изглежда като арка, която

74
00:03:09,540 --> 00:03:11,290
е отворена отдолу, и изглежда 
като буквата A,

75
00:03:11,290 --> 00:03:13,716
без пресечната линия, 
или като обърнатa буква U.

76
00:03:13,720 --> 00:03:15,440
Тогава искаме да помислим какво

77
00:03:15,440 --> 00:03:19,940
се случва при тази отворена
отдолу част U от кривата.

78
00:03:19,950 --> 00:03:21,790
В рамките на този първи интервал, точно

79
00:03:21,790 --> 00:03:23,700
ето тук, ако започнем от тук, то наклонът

80
00:03:23,700 --> 00:03:26,484
е много...Всъщност ще го направя

81
00:03:26,484 --> 00:03:27,900
със същия цвят, защото това

82
00:03:27,900 --> 00:03:30,210
е същият цвят, който използвах 
за производната.

83
00:03:30,210 --> 00:03:33,210
Наклонът е силно положителен.

84
00:03:33,210 --> 00:03:36,640
След това става по-малко 
положителен.

85
00:03:36,640 --> 00:03:39,790
След това става дори 
още по-малко положителен.

86
00:03:39,790 --> 00:03:42,840
Евентуално достига до 0.

87
00:03:42,840 --> 00:03:44,160
След това продължава да намалява.

88
00:03:44,160 --> 00:03:47,260
Сега става слабо отрицателен, 
още повече отрицателен,

89
00:03:47,260 --> 00:03:49,250
а след това става дори 
още по-силно отрицателен.

90
00:03:49,250 --> 00:03:51,200
И дори още повече отрицателен.

91
00:03:51,200 --> 00:03:56,409
Изглежда, че около това място 
спира да намалява.

92
00:03:56,409 --> 00:03:58,450
Наклонът спира да намалява 
точно около тази точка.

93
00:03:58,450 --> 00:03:59,380
Виждаме това на графиката 
на производната.

94
00:03:59,380 --> 00:04:01,380
Наклонът е намаляващ, 
намаляващ, намаляващ,

95
00:04:01,380 --> 00:04:04,970
докато не достигне до тази точка. 
След това започва да нараства.

96
00:04:04,970 --> 00:04:10,920
Следователно в цялата 
тази част ето тук,

97
00:04:10,920 --> 00:04:12,575
наклонът е намаляващ.

98
00:04:12,575 --> 00:04:18,550
Наклонът е намаляващ.

99
00:04:18,550 --> 00:04:21,950
И това го виждаме ето тук, когато 
наблюдаваме производната.

100
00:04:21,950 --> 00:04:26,070
Производната ето тук, 
в рамките на този интервал,

101
00:04:26,070 --> 00:04:27,287
е намаляваща.

102
00:04:27,287 --> 00:04:29,620
Това се вижда и при втората 
производна.

103
00:04:29,620 --> 00:04:31,720
Ако производната е намаляваща,

104
00:04:31,720 --> 00:04:33,750
това означава, че втората 
производна – т.е. производната

105
00:04:33,750 --> 00:04:35,580
на производната – е отрицателна.

106
00:04:35,580 --> 00:04:38,320
И виждаме действително, 
че случаят е такъв.

107
00:04:38,320 --> 00:04:43,190
В рамките на този интервал 
втората производна

108
00:04:43,190 --> 00:04:45,821
действително е отрицателна.

109
00:04:45,821 --> 00:04:47,570
А какво се случва при преминаването

110
00:04:47,570 --> 00:04:51,250
към тази отворена отгоре крива, 
която изглежда като буквата U?

111
00:04:51,250 --> 00:04:54,150
Тук производната е 
доста отрицателна.

112
00:04:54,150 --> 00:04:56,250
Доста отрицателна е 
на това място.

113
00:04:56,250 --> 00:04:58,570
След това отново е отрицателна,

114
00:04:58,570 --> 00:05:01,850
но става все по-малко, 
по-малко и по-малко отрицателна,

115
00:05:01,850 --> 00:05:04,670
По-малко, по-малко и 
по-малко отрицателна,

116
00:05:04,670 --> 00:05:06,380
След това достига до 0.

117
00:05:06,380 --> 00:05:08,000
Ето в тази точка става 0.

118
00:05:08,000 --> 00:05:11,170
След това става все повече 
и повече положителна.

119
00:05:11,170 --> 00:05:12,890
Това се вижда и ето тук.

120
00:05:12,890 --> 00:05:16,720
Следователно в рамките на целия този
интервал наклонът, или производната,

121
00:05:16,720 --> 00:05:18,430
е нарастваща.

122
00:05:18,430 --> 00:05:24,745
Наклонът е нарастващ.

123
00:05:24,745 --> 00:05:26,060
Това се вижда ето тук.

124
00:05:26,060 --> 00:05:27,560
В тази точка наклонът е 0.

125
00:05:27,560 --> 00:05:29,950
Наклонът на производната е 0.

126
00:05:29,950 --> 00:05:33,220
Самата производна не се променя
в този момент.

127
00:05:33,220 --> 00:05:37,089
След това се вижда, че 
наклонът нараства.

128
00:05:37,089 --> 00:05:38,630
Още веднъж, може да онагледим това

129
00:05:38,630 --> 00:05:40,900
на графиката на втората производна, 
т.е. производната на производната.

130
00:05:40,900 --> 00:05:42,530
Ако производната е нарастваща,

131
00:05:42,530 --> 00:05:44,680
това означава, че нейната производна
следва да е положителна.

132
00:05:44,680 --> 00:05:49,240
И действително се получава, че 
производната е положителна.

133
00:05:49,240 --> 00:05:53,320
Имаме дума за тази отворена отдолу

134
00:05:53,320 --> 00:05:58,320
крива с формата на U, и отворена отгоре крива 
с формата на U. Наричаме това вдлъбната функция.

135
00:05:58,320 --> 00:06:02,120
Вдлъбната функция.

136
00:06:02,120 --> 00:06:03,560
Нека да го изясня.

137
00:06:03,560 --> 00:06:07,920
Вдлъбната функция.

138
00:06:07,920 --> 00:06:10,030
А това наричаме изпъкнала функция.

139
00:06:10,030 --> 00:06:13,400
Изпъкнала функция.

140
00:06:13,400 --> 00:06:15,330
Нека да си припомним 
как може да открием

141
00:06:15,330 --> 00:06:18,670
интервали на вдлъбнатост 
и интервали на изпъкналост.

142
00:06:18,670 --> 00:06:25,840
Ако говорим за вдлъбната функция,

143
00:06:25,840 --> 00:06:27,780
виждаме няколко неща.

144
00:06:27,780 --> 00:06:29,340
Виждаме, че наклонът е намаляващ.

145
00:06:29,340 --> 00:06:37,590
Наклонът е намаляващ.

146
00:06:37,590 --> 00:06:51,680
Което е просто друг начин да кажем,
че f' от х е намаляваща.

147
00:06:51,720 --> 00:06:54,840
Което е друг начин да се каже, 
че втората производна

148
00:06:54,840 --> 00:06:56,100
трябва да е отрицателна.

149
00:06:56,100 --> 00:06:58,080
Ако първата производна намалява,

150
00:06:58,090 --> 00:07:00,460
то втората производна 
трябва да е отрицателна.

151
00:07:00,460 --> 00:07:03,350
А това е друг начин да се каже, 
че втората производна

152
00:07:03,350 --> 00:07:08,160
в рамките на този интервал 
трябва да бъде отрицателна.

153
00:07:08,160 --> 00:07:11,010
Тоест, ако имаш отрицателна 
втора производна,

154
00:07:11,010 --> 00:07:14,220
то тогава се намираш 
в интервал на вдлъбнатост.

155
00:07:14,220 --> 00:07:17,480
Аналогично – имам трудности
с изговарянето

156
00:07:17,480 --> 00:07:21,640
на тази дума - нека да помислим 
за изпъкналост,

157
00:07:21,640 --> 00:07:25,630
или когато имаш отворена отгоре 
крива U. Изпъкнала функция.

158
00:07:25,630 --> 00:07:28,510
В тези интервали наклонът
е нарастващ.

159
00:07:28,510 --> 00:07:31,030
Имаме отрицателен наклон, по-малко 
отрицателен, по-малко отрицателен, 0,

160
00:07:31,030 --> 00:07:34,040
положителен, повече положителен, повече 
положителен, още повече положителен.

161
00:07:34,040 --> 00:07:37,780
Следователно наклонът е нарастващ.

162
00:07:37,780 --> 00:07:43,240
Наклонът е нарастващ.

163
00:07:43,240 --> 00:07:50,690
Което означава, че производната 
на функцията е нарастваща.

164
00:07:50,690 --> 00:07:52,680
А това се вижда ето тук.

165
00:07:52,680 --> 00:07:56,240
Производната е нарастваща,

166
00:07:56,240 --> 00:08:00,150
което означава, че втората производна
в рамките на този интервал –

167
00:08:00,150 --> 00:08:03,490
където функцията е изпъкнала –
трябва да е по-голяма от 0.

168
00:08:03,490 --> 00:08:05,450
Ако втората производна 
е по-голяма от 0,

169
00:08:05,450 --> 00:08:06,950
това означава, че първата производна

170
00:08:06,950 --> 00:08:09,310
е нарастваща, което означава, 
че наклонът е нарастващ.

171
00:08:09,310 --> 00:08:14,630
Намираме се в интервал 
на изпъкналост.

172
00:08:14,630 --> 00:08:18,000
Като вземем предвид всички тези 
дефиниции –

173
00:08:18,000 --> 00:08:20,150
които току-що дадохме 
за вдлъбнатост и изпъкналост –

174
00:08:20,150 --> 00:08:22,210
можем ли да намерим 
друг начин за определяне

175
00:08:22,210 --> 00:08:24,820
дали една критична точка 
е точка на минимум

176
00:08:24,820 --> 00:08:26,490
или точка на максимум?

177
00:08:26,490 --> 00:08:28,420
Ако имаш точка на максимум,

178
00:08:28,420 --> 00:08:32,500
т.е. критична точка, където функцията

179
00:08:32,500 --> 00:08:36,130
е вдлъбната, тогава ще се намираш
в точка на максимум.

180
00:08:36,130 --> 00:08:38,210
Вдлъбната функция, нека да го изясним,

181
00:08:38,210 --> 00:08:42,263
означава, че кривата
се отваря отдолу като ето това.

182
00:08:42,263 --> 00:08:44,179
А когато става дума за критична точка,

183
00:08:44,179 --> 00:08:46,304
ако предполагаме, че е 
вдлъбната ето тук,

184
00:08:46,304 --> 00:08:48,784
предполагаме, че функцията е 
диференцируема в този интервал.

185
00:08:48,784 --> 00:08:52,350
Тогава критичната точка ще бъде 
там, къде наклонът е равен на 0.

186
00:08:52,350 --> 00:08:54,810
Следователно ще бъде 
ето тази точка тук.

187
00:08:54,810 --> 00:08:56,640
Ако функцията е вдлъбната и имаш

188
00:08:56,640 --> 00:09:02,250
точка, където f' от а, например, 
е равно на 0,

189
00:09:02,250 --> 00:09:04,730
то функцията има 
максимум в точката а.

190
00:09:04,730 --> 00:09:11,500
Mаксимум в точката а.

191
00:09:11,500 --> 00:09:14,210
Аналогично, ако функцията е изпъкнала,

192
00:09:14,210 --> 00:09:17,340
това означава, че функцията 
изглежда като нещо такова.

193
00:09:17,340 --> 00:09:20,210
Ако бяхме намерили 
критична точка, т.е. такава,

194
00:09:20,210 --> 00:09:22,600
при която функцията може 
да не е дефинирана,

195
00:09:22,600 --> 00:09:24,800
но предположим, че първата производна

196
00:09:24,800 --> 00:09:26,510
и втората производна е дефинирана тук,

197
00:09:26,510 --> 00:09:28,260
тогава критичната точка 
ще бъде такава,

198
00:09:28,260 --> 00:09:31,380
при която първата производна
ще бъде равна на 0.

199
00:09:31,380 --> 00:09:35,090
Следователно f' от а е равно на 0.

200
00:09:35,090 --> 00:09:38,130
А ако f' от а е равно на 0,

201
00:09:38,130 --> 00:09:40,900
и функцията е изпъкнала в интервала

202
00:09:40,900 --> 00:09:44,250
около а, и ако втората производна 
е по-голяма от 0,

203
00:09:44,250 --> 00:09:46,010
то е достатъчно ясно –
ето тук се вижда –

204
00:09:46,010 --> 00:09:53,610
че в точка а има точка на минимум.