Тук ни е дадена в жълто графиката на у равно на f от х.
След това тук в този бледоморав цвят
е дадена графиката на производната на f,
т.е. f' от х.
А след това ето тук, в синьо, е дадена графиката
на у е равно на втората производна на функцията f, т.е. f'' от х.
Следователно това е производната на тази функция,
на първата производна ето тук.
Вече разгледахме примери как може
да откриваме точки на минимум и максимум.
Очевидно, ако имаме графиката пред себе си,
не е трудно за човек да открие,
че това е точка на локален максимум.
Функцията може да приема по-високи стойности след това.
А също така и да открие, че това е точка на локален минимум.
Функцията може да приема по-ниски стойности след това.
Но видяхме, че дори и да не разполагаме с графиката пред себе си,
ако можем да намерим производната на функцията,
то може – или дори ако не можем
да намерим производната на функцията –
да открием тези точки на минимум или максимум.
А начинът, по който го направихме,
е като зададем въпроса: Кои са критичните точки за дадената функция?
Критичните точки са места, където производната на функцията
или не е дефинирана, или е равна на 0.
Това е производната на функцията.
Тук и ето тук е равна на 0.
Ще наречем тези места критични точки.
Засега не виждам точки, в които
производната не е дефинирана.
Тази и тази точка ще ги означим като критични точки.
Това са точки, които са кандидати за функцията,
за минимална или максимална стойност.
Начинът, по който определяме дали
е минимална или максимална стойност,
е като проверим поведението на производната около всяка една от тези точки.
Ето тук виждаме, че производната е положителна,
когато достигаме до тази точка.
А след това става отрицателна.
Променя се от положителна на отрицателна,
когато преминава през тази точка.
Което означава, че функцията е била нарастваща.
Ако производната е положителна,
това означава, че функцията е била нарастваща, когато се приближава
към тази точка, а след това е намаляваща, когато продължава след тази точка,
което е достатъчно добро основание да смятаме,
това е точка, в която има максимум.
Ако функцията е нарастваща, когато се приближаваме към нея,
а намаляваща след това, то тогава
това определено е точка, в която има максимум.
Подобно на това, точно ето тук виждаме,
че производната е отрицателна, когато се приближаваме към тази точка,
което означава, че функцията е намаляваща.
И виждаме, че производната е положителна,
когато продължава след тази точка.
Производната се променя от отрицателна
към положителна, което означава,
че функцията се променя от намаляваща към нарастваща,
около тази точка. Това е достатъчно добър показател,
или това е показателят, че тази критична точка
е точка, в която функцията достига до минимална стойност.
Това, което искам да направя сега, е да разширя тази тема,
като използвам идеята за вдлъбнатост.
Вдлъбнатост.
Знам, че не го произнасям правилно.
Може би е вдлъбнатост.
Като мислим за вдлъбнатост,
може да разгледаме втората производна не като
просто пресичане на оста х, а дали това
са точки на минимум или максимум.
Нека да помислим какво се случва
в ето тази област, т.е. тази част от кривата
тук горе, която изглежда като арка, която
е отворена отдолу, и изглежда като буквата A,
без пресечната линия, или като обърнатa буква U.
Тогава искаме да помислим какво
се случва при тази отворена отдолу част U от кривата.
В рамките на този първи интервал, точно
ето тук, ако започнем от тук, то наклонът
е много...Всъщност ще го направя
със същия цвят, защото това
е същият цвят, който използвах за производната.
Наклонът е силно положителен.
След това става по-малко положителен.
След това става дори още по-малко положителен.
Евентуално достига до 0.
След това продължава да намалява.
Сега става слабо отрицателен, още повече отрицателен,
а след това става дори още по-силно отрицателен.
И дори още повече отрицателен.
Изглежда, че около това място спира да намалява.
Наклонът спира да намалява точно около тази точка.
Виждаме това на графиката на производната.
Наклонът е намаляващ, намаляващ, намаляващ,
докато не достигне до тази точка. След това започва да нараства.
Следователно в цялата тази част ето тук,
наклонът е намаляващ.
Наклонът е намаляващ.
И това го виждаме ето тук, когато наблюдаваме производната.
Производната ето тук, в рамките на този интервал,
е намаляваща.
Това се вижда и при втората производна.
Ако производната е намаляваща,
това означава, че втората производна – т.е. производната
на производната – е отрицателна.
И виждаме действително, че случаят е такъв.
В рамките на този интервал втората производна
действително е отрицателна.
А какво се случва при преминаването
към тази отворена отгоре крива, която изглежда като буквата U?
Тук производната е доста отрицателна.
Доста отрицателна е на това място.
След това отново е отрицателна,
но става все по-малко, по-малко и по-малко отрицателна,
По-малко, по-малко и по-малко отрицателна,
След това достига до 0.
Ето в тази точка става 0.
След това става все повече и повече положителна.
Това се вижда и ето тук.
Следователно в рамките на целия този интервал наклонът, или производната,
е нарастваща.
Наклонът е нарастващ.
Това се вижда ето тук.
В тази точка наклонът е 0.
Наклонът на производната е 0.
Самата производна не се променя в този момент.
След това се вижда, че наклонът нараства.
Още веднъж, може да онагледим това
на графиката на втората производна, т.е. производната на производната.
Ако производната е нарастваща,
това означава, че нейната производна следва да е положителна.
И действително се получава, че производната е положителна.
Имаме дума за тази отворена отдолу
крива с формата на U, и отворена отгоре крива с формата на U. Наричаме това вдлъбната функция.
Вдлъбната функция.
Нека да го изясня.
Вдлъбната функция.
А това наричаме изпъкнала функция.
Изпъкнала функция.
Нека да си припомним как може да открием
интервали на вдлъбнатост и интервали на изпъкналост.
Ако говорим за вдлъбната функция,
виждаме няколко неща.
Виждаме, че наклонът е намаляващ.
Наклонът е намаляващ.
Което е просто друг начин да кажем, че f' от х е намаляваща.
Което е друг начин да се каже, че втората производна
трябва да е отрицателна.
Ако първата производна намалява,
то втората производна трябва да е отрицателна.
А това е друг начин да се каже, че втората производна
в рамките на този интервал трябва да бъде отрицателна.
Тоест, ако имаш отрицателна втора производна,
то тогава се намираш в интервал на вдлъбнатост.
Аналогично – имам трудности с изговарянето
на тази дума - нека да помислим за изпъкналост,
или когато имаш отворена отгоре крива U. Изпъкнала функция.
В тези интервали наклонът е нарастващ.
Имаме отрицателен наклон, по-малко отрицателен, по-малко отрицателен, 0,
положителен, повече положителен, повече положителен, още повече положителен.
Следователно наклонът е нарастващ.
Наклонът е нарастващ.
Което означава, че производната на функцията е нарастваща.
А това се вижда ето тук.
Производната е нарастваща,
което означава, че втората производна в рамките на този интервал –
където функцията е изпъкнала – трябва да е по-голяма от 0.
Ако втората производна е по-голяма от 0,
това означава, че първата производна
е нарастваща, което означава, че наклонът е нарастващ.
Намираме се в интервал на изпъкналост.
Като вземем предвид всички тези дефиниции –
които току-що дадохме за вдлъбнатост и изпъкналост –
можем ли да намерим друг начин за определяне
дали една критична точка е точка на минимум
или точка на максимум?
Ако имаш точка на максимум,
т.е. критична точка, където функцията
е вдлъбната, тогава ще се намираш в точка на максимум.
Вдлъбната функция, нека да го изясним,
означава, че кривата се отваря отдолу като ето това.
А когато става дума за критична точка,
ако предполагаме, че е вдлъбната ето тук,
предполагаме, че функцията е диференцируема в този интервал.
Тогава критичната точка ще бъде там, къде наклонът е равен на 0.
Следователно ще бъде ето тази точка тук.
Ако функцията е вдлъбната и имаш
точка, където f' от а, например, е равно на 0,
то функцията има максимум в точката а.
Mаксимум в точката а.
Аналогично, ако функцията е изпъкнала,
това означава, че функцията изглежда като нещо такова.
Ако бяхме намерили критична точка, т.е. такава,
при която функцията може да не е дефинирана,
но предположим, че първата производна
и втората производна е дефинирана тук,
тогава критичната точка ще бъде такава,
при която първата производна ще бъде равна на 0.
Следователно f' от а е равно на 0.
А ако f' от а е равно на 0,
и функцията е изпъкнала в интервала
около а, и ако втората производна е по-голяма от 0,
то е достатъчно ясно – ето тук се вижда –
че в точка а има точка на минимум.