Explications sur les exposants négatifs

Explication à savoir pourquoi a^-b = 1/(a^b) (et pourquoi a^0 =1)

On m'a demandé des explications à propos de, disons,

a à la moins b est égal à 1 sur a à la b.

Avant de donner des explications,

je veux que vous réalisiez que ceci est une définition.

Je ne sais pas.

Ce n'est pas une seule et unique personne qui a inventé les mathématiques

Il s'agit plutôt de conventions qui ont été établies.

Et on a défini ceci,

pour les raisons que je vais vous présenter.

Bien, je vais vous présenter une raison,

et nous allons voir que ceci est une bonne définition,

parce que toutes les règles des exposants s'appliquent pour les exposants négatifs

et également quand on élève une expression à la puissance 0.

Allons-y avec les exposants positifs.

Je crois qu'ils sont plutôt intuitifs.

Donc, les exposants positifs, vous avez a à la 1, a au carré,

a au cube, a à la 4.

Qu'est-ce que a à la 1? a à la 1, c'est a,

et pour élever a au carré, que faisons-nous?

Nous multiplions par a, n'est-ce pas?

a au carré est simplement a fois a.

et pour élever a au cube, que faisons-nous?

Nous multiplions par a encore.

Et pour élever a à la 4, que faisons-nous?

Nous multiplions par a encore.

Une autre façon de voir les choses est, quand nous diminuons l'exposant, que faisons-nous?

Nous multiplions par 1 sur a, ou divisons par a.

et, de façon similaire, si nous diminuons encore, nous divisons par a.

et pour passer de a au carré à a à la 1, nous divisons par a.

Utilisons cette progression afin de déduire ce qu'est a à la 0.

C'est un peu plus difficile.

Donc, a à la 0.

Donc, vous êtes l'inventeur, la mère des mathématiques,

et vous devez définir ce qu'est a à la 0.

peut-être est-ce 17, peut-être est-ce pi.

Je ne sais pas.

C'est à vous de décider ce qu'est a à la 0.

Cependant, ce ne serait pas bien si a à la 0 suivait ce modèle?

Que chaque fois que vous diminuez l'exposant de 1, vous divisez par a.

Alors, si vous passez de a à la 1 à a à la 0.

Ce ne serait pas bien si nous divisions simplement par a?

Faisons-le.

Si nous prenons a à la 1 qui est simplement a,

et divisons par a,

nous allons donc, nous divisons donc simplement par a.

Que vaut a divisé par a?

Bien, la réponse est 1.

C'est là que la définition,

ou plutôt, c'est une des explications à savoir pourquoi une expression à la 0 est égales à 1.

Parce que, quand nous prenons ce nombre

et le divisons par lui-même une fois de plus, nous obtenons 1.

C'est plutôt logique.

Maintenant, allons dans le domaine des négatifs.

Alors, combien vaut a à la moins 1?

Encore une fois, ce serait bien si nous pouvions garder le modèle

où, chaque fois que l'exposant diminue de 1, nous divisons par a.

Alors, divisons par a encore, donc, 1 sur a.

Nous allons prendre a à la 0 et le diviser par a.

a à la 0 est égal à 1, alors, qu'est-ce que 1 divisé par a?

C'est 1 sur a.

Maintenant, faisons-le encore une fois.

et je crois que vous devriez comprendre le modèle.

En fait, je crois que vous avez déjà compris le modèle.

Qu'est-ce que a à la moins 2?

Alors, il serait un peu stupide de changer le modèle maintenant.

Tous les fois où nous diminuons l'exposant, nous divisons par a.

Donc, pour passer de a à la moins 1 à a à la moins 2,

divisons simplement par a encore.

Qu'obtenons-nous?

Si nous prenons 1 sur a et le divisons par a, nous obtenons 1 sur a au carré.

Et nous pouvons suivre ce modèle autant que nous le voulons vers la gauche,

et nous obtenons a à la -b est égal à 1 sur a à la b.

En espérant, que vous comprenez mieux pourquoi

tout d'abord, le grand mystère,

Pourquoi une expression à la puissance 0 est égale à 1.

Premièrement, gardez en tête que ce n'est qu'une définition.

Quelqu'un a décidé, pour une très bonne raison, que ça devait être égal à 1.

Et cette raison était qu'il voulait que ce modèle fonctionne.

et c'est également pour cette raison que les exposants négatifs ont été définis de cette façon.

De plus, ce qui est vraiment génial

ce n'est pas seulement que le modèle, quand on diminue l'exposant de 1, on divise par a, soit respecté

ou lorsqu'on augmente l'exposant de 1, on multiplie par a,

mais, comme vous allez le voir dans les vidéos sur les règles des exposants, toutes les règles tiennent le coup.

Toutes les règles des exposants sont cohérentes avec la définition d'une expression à la puissance 0

et la définition d'une expression à une puissance négative.

J'espère ne pas vous avoir brouillé

et d'avoir réussi à vous faire comprendre ces définitions qui, franchement,

sont assez déconcertantes au premier abord.