De trigonometriske funktioner & trigonometriske forhold i retvinklede trekanter.

Sal viser, hvordan to forskellige definitioner af de trigonometriske funktioner (Mod Hos ModHos eller enhedscirklen) giver de samme værdier.

Lad os udvide de trigonometriske forhold sinus, cosinus og tangens til funktioner, der er defineret for alle reelle tal. Du bliver overrasket over, hvordan vi kan bruge disse funktioner til at modellere mange situationer i hverdagen som tivoli-ture og afstande mellem planeter.

Algebra 2, som ofte bliver undervist i gymnasiet, dækker polynomier; komplekse tal; brøk eksponenter; eksponentielle og logaritmiske funktioner; trigonometriske funktioner; transformation af funktioner; brøk funktioner; og fortsætter med ligninger og modellering. Khan Academy's Algebra 2 kursus er bygget til at levere en omfattende, oplysende, engagerende oplevelse!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Her til højre har vi en masse udtryk,

der er forhold lavet ud fra information,
vi kan finde i disse to diagrammer.

Her til venstre har vi
sinus til vinkel MKJ,

cosinus til vinkel MKJ og
tangens til vinkel MKJ.

Vinkel MKJ er denne vinkel lige her θ,

så disse to vinkler er lige store.

Det kan vi se lige her.

Vi skal finde ud af, hvilke af disse
udtryk der er tilsvarende med

disse udtryk hernede.

Jeg opfordrer dig til
at sætte videoen på pause

og se om du selv kan løse den.

Jeg går ud af, at du selv har forsøgt,

lad os nu forsøge at lave den sammen.

Når du ser på diagrammerne,

så skal det til venstre vise
enhedscirklens definition af

de trigonometriske funktioner,

da der er vist en enhedscirkel lige her.

Her kan du bruge Mod Hos ModHos reglen,

da vi har en helt almindelig
retvinklet trekant.

Lad os lige minde os selv om
Mod Hos ModHos reglen,

da jeg har på fornemmelen,
at vi skal bruge den.

Sinus er den
modstående katete over hypotenusen.

Cosinus er den
hosliggende katete over hypotenusen.

Tangens er den modstående katete
over den hosliggende katete.

Vi skal bruge disse, men lad os lige

minde os selv om enhedscirklens definition
af de trigonometriske funktioner,

hvor cosinus til en vinkel svarer
til x-koordinaten og

sinus svarer til y-koordinaten
af retningspunktet

I denne video skal vi se,

at enhedscirklens definition er udledt
af Mod Hos ModHos reglen.

Lad os først se på x over 1.

x er x-koordinaten,
men det er også længden af denne side,

som i forhold til theta (θ)
er den hosliggende side.

x svarer til den hosliggende side.

Hvad er 1?

Da dette er en enhedscirkel,
så svarer det til længden af radius,

som i denne retvinklede trekant
svarer til hypotenusen.

Hvis vi bruger Mod Hos ModHos reglen,

så svarer x over 1 til
hosliggende over hypotenusen.

Det er cosinus.

Dette er lig cosinus til θ (theta),

men θ er det samme som vinkel MKJ.

Da de er lige store,
så er cosinus til vinkel MKJ

lig cosinus til θ,
som er lig x over 1.

Lad os gå videre med y over 1.

y er længden af denne side lige her.

-- lad mig vise det i blåt --

y er denne side, der i forhold til
θ er den modstående side.

Hvilken trigonometrisk funktion er den
modstående over hypotenusen?

Det er sinus til θ.

Sinus til vinkel MKJ er det samme
som sinus til θ.

Vi kan se, at de er lige store,
og vi kan se, at de svarer til y over 1.

For begge disse brugte jeg
Mod Hos ModHos reglen,

men jeg kunne også have brugt
enhedscirklens definition.

x over 1 det er det samme som x.

Enhedscirklens definition siger,

at x-koordinaten til retningspunktet,

hvor denne halvline skærer enhedscirklen,

den svarer til cosinus til denne vinkel.

x er lig cosinus til denne vinkel.

Enhedscirklens definition siger,

y-koordinaten er lig med
sinus til denne vinkel.

I stedet for x og y,
så kunne vi have skrevet

cos(θ) og sin(θ).

Her har vi x over y.

Vi har hosliggende over modstående.

Tangens er modstående over hosliggende,

ikke hosliggende over modstående.

Dette er det reciprokke af tangens.

Dette er lig 1 / tan(θ).

Vi skal senere lære,
at dette svarer til cotangens,

men det er ikke en af vores muligheder.

Så vi kan udelukke denne her.

Så har vi y over x.

Den ser god ud.

y er den modstående og x er den
hosliggende i forhold til vinklen θ.

Dette er tan(θ).

tan(MKJ) er det samme som
tan(θ) som er lig y / x.

Lad os se på j over k.

Vi går nu hen til trekanten
og finder j over k.

I forhold til denne vinkel, som er
den vinkel vi er interesserede i,

så er j længde af den hosliggende side

og k er længden af den modstående side.

Dette er hosliggende over modstående.

Tangens er modstående over hosliggende,
ikke hosliggende over modstående.

Dette er igen det reciprokke til tangens,
som ikke er en mulighed,

så den kan vi udelukke.

k over j.

Det er modstående over hosliggende.

Det er lig tan(θ)
eller tan(MKJ).

Dette er lig k over j.

Nu har vi m over j.

Hypotenusen over hosliggende katete.

-- dette er lig med hypotenusen --

hypotenusen over hosliggende.

Hvis det var hosliggende over
hypotenusen, så var det cosinus,

men det er den reciprokke.

Dette er lig 1 / cos(θ),

men det er ikke en mulighed,
så den udelukker jeg.

Så har vi det reciprokke, j over m.

Det er hosliggende over hypotenusen,
som er cosinus.

Det er lig cos(θ)
eller cos(MKJ).

Dette er lig j over m.

Den sidste er k over m.

Det er modstående over hypotenusen,
som er sin(θ).

Denne her er lige sin(θ),

som er det samme som sin(MKJ),

som er det samme som alle disse udtryk.

Dette er lig k over m

og vi er færdige.