WEBVTT

00:00:00.590 --> 00:00:03.118
Her til højre har vi en masse udtryk,

00:00:03.118 --> 00:00:07.324
der er forhold lavet ud fra information,
vi kan finde i disse to diagrammer.

00:00:07.324 --> 00:00:11.687
Her til venstre har vi
sinus til vinkel MKJ,

00:00:11.687 --> 00:00:15.026
cosinus til vinkel MKJ og
tangens til vinkel MKJ.

00:00:15.026 --> 00:00:21.007
Vinkel MKJ er denne vinkel lige her θ,

00:00:21.007 --> 00:00:25.189
så disse to vinkler er lige store.

00:00:25.189 --> 00:00:26.767
Det kan vi se lige her.

00:00:26.767 --> 00:00:30.551
Vi skal finde ud af, hvilke af disse
udtryk der er tilsvarende med

00:00:30.551 --> 00:00:33.819
disse udtryk hernede.

00:00:33.819 --> 00:00:36.476
Jeg opfordrer dig til
at sætte videoen på pause

00:00:36.476 --> 00:00:40.312
og se om du selv kan løse den.

00:00:40.312 --> 00:00:42.377
Jeg går ud af, at du selv har forsøgt,

00:00:42.377 --> 00:00:44.138
lad os nu forsøge at lave den sammen.

00:00:44.138 --> 00:00:45.427
Når du ser på diagrammerne,

00:00:45.427 --> 00:00:49.531
så skal det til venstre vise
enhedscirklens definition af

00:00:49.531 --> 00:00:50.988
de trigonometriske funktioner,

00:00:50.988 --> 00:00:53.860
da der er vist en enhedscirkel lige her.

00:00:53.860 --> 00:00:56.350
Her kan du bruge Mod Hos ModHos reglen,

00:00:56.350 --> 00:00:59.895
da vi har en helt almindelig
retvinklet trekant.

00:00:59.895 --> 00:01:03.930
Lad os lige minde os selv om
Mod Hos ModHos reglen,

00:01:03.930 --> 00:01:06.172
da jeg har på fornemmelen,
at vi skal bruge den.

00:01:06.172 --> 00:01:08.603
Sinus er den
modstående katete over hypotenusen.

00:01:08.603 --> 00:01:12.297
Cosinus er den
hosliggende katete over hypotenusen.

00:01:12.297 --> 00:01:16.333
Tangens er den modstående katete
over den hosliggende katete.

00:01:16.333 --> 00:01:18.350
Vi skal bruge disse, men lad os lige

00:01:18.350 --> 00:01:22.615
minde os selv om enhedscirklens definition
af de trigonometriske funktioner,

00:01:22.615 --> 00:01:25.669
hvor cosinus til en vinkel svarer
til x-koordinaten og

00:01:25.669 --> 00:01:33.321
sinus svarer til y-koordinaten
af retningspunktet

00:01:33.321 --> 00:01:34.849
I denne video skal vi se,

00:01:34.849 --> 00:01:40.499
at enhedscirklens definition er udledt
af Mod Hos ModHos reglen.

00:01:40.499 --> 00:01:44.965
Lad os først se på x over 1.

00:01:44.965 --> 00:01:50.748
x er x-koordinaten,
men det er også længden af denne side,

00:01:50.748 --> 00:01:55.750
som i forhold til theta (θ)
er den hosliggende side.

00:01:55.750 --> 00:01:58.880
x svarer til den hosliggende side.

00:01:58.880 --> 00:02:00.065
Hvad er 1?

00:02:00.065 --> 00:02:03.867
Da dette er en enhedscirkel,
så svarer det til længden af radius,

00:02:03.867 --> 00:02:06.760
som i denne retvinklede trekant
svarer til hypotenusen.

00:02:06.760 --> 00:02:09.308
Hvis vi bruger Mod Hos ModHos reglen,

00:02:09.308 --> 00:02:15.364
så svarer x over 1 til
hosliggende over hypotenusen.

00:02:15.364 --> 00:02:18.519
Det er cosinus.

00:02:18.519 --> 00:02:23.648
Dette er lig cosinus til θ (theta),

00:02:23.648 --> 00:02:26.272
men θ er det samme som vinkel MKJ.

00:02:26.272 --> 00:02:28.564
Da de er lige store,
så er cosinus til vinkel MKJ

00:02:28.564 --> 00:02:36.069
lig cosinus til θ,
som er lig x over 1.

00:02:36.069 --> 00:02:38.145
Lad os gå videre med y over 1.

00:02:38.145 --> 00:02:43.303
y er længden af denne side lige her.

00:02:43.303 --> 00:02:47.379
-- lad mig vise det i blåt --

00:02:47.379 --> 00:02:54.582
y er denne side, der i forhold til
θ er den modstående side.

00:02:54.582 --> 00:03:01.361
Hvilken trigonometrisk funktion er den
modstående over hypotenusen?

00:03:01.361 --> 00:03:04.993
Det er sinus til θ.

00:03:04.993 --> 00:03:10.341
Sinus til vinkel MKJ er det samme
som sinus til θ.

00:03:10.341 --> 00:03:16.196
Vi kan se, at de er lige store,
og vi kan se, at de svarer til y over 1.

00:03:16.196 --> 00:03:18.481
For begge disse brugte jeg
Mod Hos ModHos reglen,

00:03:18.481 --> 00:03:21.114
men jeg kunne også have brugt
enhedscirklens definition.

00:03:21.114 --> 00:03:25.351
x over 1 det er det samme som x.

00:03:25.351 --> 00:03:26.942
Enhedscirklens definition siger,

00:03:26.942 --> 00:03:32.446
at x-koordinaten til retningspunktet,

00:03:32.446 --> 00:03:34.804
hvor denne halvline skærer enhedscirklen,

00:03:34.804 --> 00:03:40.455
den svarer til cosinus til denne vinkel.

00:03:40.455 --> 00:03:42.444
x er lig cosinus til denne vinkel.

00:03:42.444 --> 00:03:44.390
Enhedscirklens definition siger,

00:03:44.390 --> 00:03:48.640
y-koordinaten er lig med
sinus til denne vinkel.

00:03:48.640 --> 00:03:52.339
I stedet for x og y,
så kunne vi have skrevet

00:03:52.339 --> 00:03:59.850
cos(θ) og sin(θ).

00:03:59.850 --> 00:04:02.229
Her har vi x over y.

00:04:02.229 --> 00:04:10.122
Vi har hosliggende over modstående.

00:04:10.607 --> 00:04:12.833
Tangens er modstående over hosliggende,

00:04:12.833 --> 00:04:14.404
ikke hosliggende over modstående.

00:04:14.404 --> 00:04:16.868
Dette er det reciprokke af tangens.

00:04:16.868 --> 00:04:22.012
Dette er lig 1 / tan(θ).

00:04:22.012 --> 00:04:24.622
Vi skal senere lære,
at dette svarer til cotangens,

00:04:24.632 --> 00:04:26.906
men det er ikke en af vores muligheder.

00:04:26.906 --> 00:04:29.305
Så vi kan udelukke denne her.

00:04:29.305 --> 00:04:31.090
Så har vi y over x.

00:04:31.090 --> 00:04:33.333
Den ser god ud.

00:04:33.333 --> 00:04:42.732
y er den modstående og x er den
hosliggende i forhold til vinklen θ.

00:04:42.745 --> 00:04:47.235
Dette er tan(θ).

00:04:47.235 --> 00:04:57.946
tan(MKJ) er det samme som
tan(θ) som er lig y / x.

00:04:57.946 --> 00:05:02.267
Lad os se på j over k.

00:05:02.267 --> 00:05:04.461
Vi går nu hen til trekanten
og finder j over k.

00:05:04.461 --> 00:05:07.653
I forhold til denne vinkel, som er
den vinkel vi er interesserede i,

00:05:07.653 --> 00:05:11.136
så er j længde af den hosliggende side

00:05:11.136 --> 00:05:16.625
og k er længden af den modstående side.

00:05:16.625 --> 00:05:22.952
Dette er hosliggende over modstående.

00:05:22.952 --> 00:05:26.380
Tangens er modstående over hosliggende,
ikke hosliggende over modstående.

00:05:26.380 --> 00:05:32.909
Dette er igen det reciprokke til tangens,
som ikke er en mulighed,

00:05:32.909 --> 00:05:34.407
så den kan vi udelukke.

00:05:34.407 --> 00:05:36.357
k over j.

00:05:36.357 --> 00:05:40.220
Det er modstående over hosliggende.

00:05:40.241 --> 00:05:47.304
Det er lig tan(θ)
eller tan(MKJ).

00:05:47.304 --> 00:05:51.783
Dette er lig k over j.

00:05:51.783 --> 00:05:55.605
Nu har vi m over j.

00:05:55.605 --> 00:05:58.809
Hypotenusen over hosliggende katete.

00:05:58.809 --> 00:06:02.748
-- dette er lig med hypotenusen --

00:06:02.748 --> 00:06:04.673
hypotenusen over hosliggende.

00:06:04.673 --> 00:06:07.575
Hvis det var hosliggende over
hypotenusen, så var det cosinus,

00:06:07.575 --> 00:06:09.187
men det er den reciprokke.

00:06:09.187 --> 00:06:12.795
Dette er lig 1 / cos(θ),

00:06:12.795 --> 00:06:17.576
men det er ikke en mulighed,
så den udelukker jeg.

00:06:17.576 --> 00:06:20.393
Så har vi det reciprokke, j over m.

00:06:20.393 --> 00:06:25.469
Det er hosliggende over hypotenusen,
som er cosinus.

00:06:25.469 --> 00:06:31.152
Det er lig cos(θ)
eller cos(MKJ).

00:06:31.152 --> 00:06:35.196
Dette er lig j over m.

00:06:35.196 --> 00:06:37.438
Den sidste er k over m.

00:06:37.438 --> 00:06:43.245
Det er modstående over hypotenusen,
som er sin(θ).

00:06:43.245 --> 00:06:46.517
Denne her er lige sin(θ),

00:06:46.517 --> 00:06:48.641
som er det samme som sin(MKJ),

00:06:48.641 --> 00:06:50.528
som er det samme som alle disse udtryk.

00:06:50.528 --> 00:06:54.120
Dette er lig k over m

00:06:54.120 --> 00:06:55.881
og vi er færdige.