2003 AIME II Problem 1

Her er en opgave fra en amerikansk matematikprøve fra 2003. Det her er den første opgave i prøven.

Produktet N af 3 positive heltal er 6 gange deres sum, og et af heltallene er summen af de andre 2. Find summen af alle mulige værdier for N.

Der er 3 positive heltal.

Vi kalder de 3 positive heltal for a, b og c. De er alle positive, og de er alle heltal.

a gange b gange c er lig med N.

Det er lig med 6 gange deres sum.

Produktet N af 3 positive heltal er 6 gange deres sum.

6 gange a plus b plus c.

1 af heltallene er summen af de andre 2.

Lad os sige, at c er summen af a og b. Vi kunne vælge hvilken som helst, men vi vælger c.

a plus b er lig med c. c er summen af a og b.

Find summen af alle mulige værdier for N.

Lad os ændre lidt på den information, vi har fået.

Hvis vi kan lægge nogle begrænsninger på tallene, kan vi komme frem til nogle løsninger.

Vi ved, at a plus b er lig med c. Nu kan vi erstatte c alle steder med a plus b.

Det her udtryk bliver a b gange a plus b. Det er lig med 6 gange a plus b plus c, som jo er a plus b.

På højre side står der 6 gange a plus b plus a plus b.

Det er det samme som 6 gange 2a plus 2b.

Vi har lagt a'erne og b'erne sammen.

Nu kan vi faktorisere det. 6 gange 2 er 12. Nu står der 12 gange a plus b.

På venstre side står der stadig a b gange a plus b.

a b gange a plus b er lig med 12 gange a plus b.

Det er interessant. Vi kan dividere begge sider med a plus b.

Vi ved, at a plus b ikke kan være lig med 0. Alle tallene skal jo være positive.

Hvis de var 0, og vi dividerede med dem, ville vi få et udefineret svar. Det kan man ikke

Hvis vi dividerer begge sider med a plus b, får vi a gange b er lig med 12.

Alle de oplysninger, vi fik, er nu blevet reduceret til det her.

Produktet af a og b er lig med 12.

Der er et vist antal positive heltal, hvor produktet af 2 af dem giver 12. Lad os prøve dem.

Vi skriver a, b og c.

Lige nu kigger vi på deres produkt.

Vi skriver produktet a b c her.

Hvis a er 1, er b 12.

c er summen af de 2, så c er 13.

1 gange 12 gange 13. 12 gange 12 er 144 plus 12 er 156.

Vi kan sikre os, at det her er lig med 6 gange deres sum.

Deres sum er 26. 26 gange 6 er 156, så den løsning virker.

Vi ved, at det virker, fordi a b skal være lig med 12.

Lad os prøve endnu en.

2 gange 6. Summen er 8, og produktet af dem alle er 96.

Nu prøver vi 3 og 4. 3 plus 4 er 7. 3 gange 4 er 12. 12 gange 7 er 84.

Der er ikke andre. Vi kan ikke gå over 12, for så er det ikke heltal, men brøker.

Vi kan ikke bruge de negative tal, for de skal være positive.

Det er det. Det er alle de positive heltal, hvor produktet er 12. Vi har faktoriseret 12.

De vil have os til at finde summen af alle mulige værdier for N.

Det her er alle de mulige værdier, der er, for N. N er produktet af de her positive heltal.

Lad os finde summen. 6 plus 6 er 12. 12 plus 4 er 16.

1 plus 5 er 6. 6 plus 9 er 15. 15 plus 8 er 23.

2 plus 1 er 3.

Vores svar er 336.