Chứng minh hàm số có điểm uốn dựa vào giải tích

Hàm số khả vi 2 lần g,

và đạo hàm bậc 2 g phẩy phẩy được minh họa bằng đồ thị.

Và bạn có thể thấy ở ngay đây.

Mình đang làm một bài viết,

trên Khan Academy, có tên là,

Chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm bậc 2.

Vậy ta có hàm số g ở đây.

Và ta có đạo hàm, không phải bậc 1,

mà là bậc 2 của nó,

được tô bằng màu nâu.

Tiếp theo, đề bài nói,

đề cho ta biết rằng,

4 học sinh được yêu cầu đưa ra,

lời chứng minh hợp lí dựa trên giải tích,

cho việc g có điểm uốn tại x bằng -2.

Từ trực giác của ta, ta thấy rằng,

điều này đúng.

Vậy x bằng -2, giờ ta hãy nhớ lại,

điểm uốn là gì.

Nó là điểm mà ta thay đổi từ lồi xuống,

thành lồi lên.

Hoặc, từ lồi lên, thành lồi xuống.

Hay một cách khác để nghĩ về nó,

là liên tưởng đến trường hợp,

khi hệ số góc của ta giảm rồi lại tăng,

hoặc tăng rồi giảm.

Khi ta nhìn vào đây, ta thấy,

hệ số góc đang giảm, nó dương,

nhưng nó đang giảm, giảm về 0.

Rồi nó tiếp tục giảm,

và bây giờ nó âm.

Nó tiếp tục giảm cho tới khi ta tới,

x bằng -2.

và rồi nó bắt đầu tăng trở lại,

nó bắt đầu ít âm hơn.

Có vẻ như nó là 0 ngay tại đây,

và rồi nó cứ tăng tiếp, nó trở nên,

dương hơn.

Vậy, đúng là tại x bằng -2,

ta đi từ lồi xuống,

thành lồi lên.

Giờ, để chứng minh sử dụng giải tích,

ta có thể dựa vào đạo hàm bậc 2,

và xem xem là nó sẽ,

cắt trục x ở đâu.

Vì khi đạo hàm bậc 2 âm,

nghĩa là khi đó hệ số góc đang giảm,

và ta đang lồi xuống.

Còn khi đạo hàm bậc 2 dương,

thì nghĩa là đạo hàm bậc 1,

đang tăng, và hệ số góc của hàm số g,

đang tăng, nghĩa là ta có lồi lên.

Vậy, để ý rằng, ta có đạo hàm bậc 2,

cắt trục x,

tại x bằng -2.

Sẽ là không đủ nếu nó chỉ bằng 0,

hoặc chạm vào trục x,

nó phải cắt truc x, phải cắt, để ta có,

một điểm uốn tại đó.

Với thông tin đó, ta hãy xem cách chứng minh,

của những học sinh, và xét xem,

nếu ta có thể,

đóng vai một giáo viên,

và nghĩ xem giáo viên sẽ nói gì,

cho từng cách chứng minh này.

Bạn đầu tiên nói rằng, đạo hàm bậc 2 của g,

thay đổi dấu khi x bằng với -2.

Chà, đó chính xác là những gì ta vừa nói tới.

Nếu đạo hàm bậc 2 đổi dấu,

trong trường hợp này, nó đi từ âm sang dương,

nghĩa là đạo hàm bậc 1 thay đổi từ,

giảm thành tăng.

Vậy cách chứng minh này là đúng, và nó có dựa trên,

giải tích.

Vậy, ở đây mình sẽ để là,

kudos, bạn đã đúng rồi.

Nó cắt trục x.

Cách nói này khá mơ hồ.

Cái gì cắt trục x?

Mình sẽ thắc mắc,

bạn ấy đang nói về cái gì, hàm số,

hay là đạo hàm bậc 1,

hay đạo hàm bậc 2.

Vậy mình sẽ để là, hãy diễn đạt rõ ràng hơn.

Đây không được tính là cách chứng minh đúng.

Mình đọc sang cái khác nhé.

Đạo hàm bậc 2 của g,

tăng tại x bằng,

-2.

Đây không phải là cách giải thích đúng,

cho việc vì sao ta có điểm uốn tại đó.

Ví dụ nhé,

đạo hàm bậc 2 tăng,

tại x bằng -2.5.

Đạo hàm bậc 2 cũng tăng,

tại x bằng với,

-1.

Nhưng bạn không có điểm uốn,

tại những điểm đó.

Vậy mình nói, cái này không giải thích được,

vì sao g có điểm uốn.

Và câu trả lời của học sinh cuối,

tính lồi/lõm của đồ thị g,

thay đổi tại x bằng -2.

Điều này đúng,

nhưng nó không phải là cách chứng minh dựa vào giải tích.

Ta muốn sử dụng đạo hàm bậc 2 ở đây.