Határérték példák (és agybaj az első feladatnál) (4. rész)

3 interesting limit examples (correct answer for problem 1 is 3/16 (6/(4*8) NOT 6/(4+8))

Az unokahúgom Nadia nyári calculus kurzuson van,

és felhívott tegnap este.

Volt neki néhány határérték feladata,

és mondhatom remek példák voltak.

Úgy gondoltam, megérhet egy videót, hogy

megosszam amilyen feladatokkal találkozott.

Mindegy, csináljuk meg őket.

Már ha jól emlékszem rájuk.

Fejből fogom csinálni.

Remélem az eredmények kijönnek, mint tegnap,

amikor telefonon keresztül csináltuk őket.

Ha jól emlékszem, az első az volt, hogy miközben

a z tart a 2-höz, az x határértéke...

Ó nem...

Nem -- nincs is x-ünk.

Ez egy z,

z négyzet, meg 2z, mínusz 8.

Ez mind a nevezőben, és z a negyediken, mínusz 16 a számlálóban.

Az első dolog amit megpróbálsz, amikor határértéket számolsz,

hogy behelyettesíted az értéket.

Lehet, hogy nincs semmi probléma amikor z=2

és csak meg kell vizsgálni a függvényértéket z=2-re.

Ha ez egy folyamatos függvény, akkor a határértéke,

ahogy a z tart a 2-höz, megegyezik a függvényértékkel z=2-nél.

De egyből egy problémát láthatsz, a behelyettesíted a 2-t

ide -- 2 a negyediken mínusz 16 -- és 0-t kapsz a nevezőben,

ami pedig nincs definiálva,

így találnunk kell valami módot arra, hogy kikerüljük ezt.

Tízből kilenc alkalommal, amikor ilyen feladatot látsz mint ez,

a megoldás, mivel mind a számláló és a nevező

felbonthatónak tűnik, fel kell bontani a számlálót és

a nevezőt.

Ez egyenlő a határértékkel, ahogy a z tart a 2-höz.

Mire bontható fel a számláló?

Lássuk.

Valamire amiben két számot összeadva 2-t kapunk,

és ha összeszorozzuk őket, akkor mínusz 8-lesz.

Ez valószínű, hogy a plusz 4 és a mínusz 2. Igaz?

Szóval ez x plusz -- Neeeem.

Nem egy x.

Úgy be vagyok idomítva.

Pont, mint egy kutya.

Ó...

Nem tudom visszavonni sem.

Mindegy, z... Inkább letörlöm ezt.

Nem akarok rendetlen lenni.

Hadd töröljem.

Megpróbáltam visszavonni, de nem emlékszik ez mindenre.

No szóval, ez z meg 4, szorozva z mínusz 2-vel.

Ez még csak egy négyzetösszeg felbontása.

És ez mi?

Ez olyan, mint az 'a' négyzet, mínusz b négyzet. Így van?

Szóval ez -- de 'a' négyzet -- ha ez 'a' négyzet,

mínusz b négyzet, az 'a' megfelel a z négyzetnek.

Szóval ez z négyzet meg 4, szorozva z négyzet mínusz 4-gyel.

És akkor természetesen, ez pedig az 'a' négyzet,

meg b négyzetre hajaz.

Ez tovább bontható z meg 2, szorozva z mínusz 2-re.

A felbontás megérte a fáradtságot.

Látunk olyan tagokat a számlálóban és nevezőben,

amelyek megegyeznek.

Nem csak megegyeznek, de -- nem ez volt az,

amelyik miatt a problémánk adódott?

Mert ha behelyettesíted ide a 2-t, 0-t kapsz.

Tételezzük fel, hogy nem a z=2-nél vizsgáljuk a függvényt.

Minden más értékre, el tudjuk osztani ezeket,

mert ezek ugyanazok lesznek.

És akkor mink maradt?

Ez egyenlő a határértékével -- szándékosan váltottam színt --

a z meg 4, per z négyzet meg 4, szorozva z meg 2-vel,

ahogy a z tart a 2-höz.

Ez mivel egyenlő?

Ez egyelő lesz 6 per -- mennyi is 2 a négyzeten meg 4?

Ez 8.

És aztán a 2 meg 2, az 4.
A FORD: végeredményt elszámolta (ld. a címét a leckének :-)

6/32 a végeredmény és nem 1/2!!! Mert nem 8+4 van nevezőben, hanem 8x4...

6/32 = 3/16, egyébként készen vagyunk.

Gondolom ez egy érdekes feladat volt.

Csináljunk egy másikat.

Ezt még érdekesebbnek találtam.

Amit mondott nekem -- ez tényleg próbára teszi az emlékezetemet --

de a lényegére emlékszem a feladatnak.

Lehet, hogy nem pont ezek a számok voltak amiket megadott,

de remélem ugyanolyan tulajdonságai lesznek a feladatnak.

Szóval a határérték akkor, ha x tart a végtelenbe,

a négyzetgyök x négyzet, meg 4x, meg 1, mínusz x,

Ha ránézel akkor ez olyan mint... lássuk csak,

mi lesz itt ebből?

Nézzük.

Ahogy a végtelenbe tartasz, ez a tag jó nagy lesz.

De négyzetgyököt vonunk belőle.

És ez úgy tűnik, hogy lenyomja ezt a tagot.

És akkor ez talán x-hez konvergál,

de kivonunk belőle x-et.

Szóval lehet, hogy ez 0-hoz tart.

Szóval ez volt az első megérzésem,

amikor vele beszéltem.

De ahogy látni fogjuk, a megérzés rossz volt.

Ahhoz, hogy megoldd ezt,

szükség lesz némi trükkre.

És ez a trükk sokszor bejön, ha valami olyasmit látsz,

amiben gyökvonás van, amit egy kivonás követ,

és ha el akarod tüntetni ezt a gyökvonást.

Azt fogjuk csinálni, hogy megszorozzuk a

konjugáltjával, amit komplex számokra szoktunk alkalmazni.

Ha van valami 'a + b' félénk,

akkor a konjugáltja 'a - b'. Rendben?

Vagy ha van valami ami az 'a - b'-re hasonlít,

akkor a konjugált az 'a + b'.

Amit teszünk most,

hogy megszorozzuk és elosztjuk

ezt a konjugáltjával. Normális ez?

Mire jó ez?

Mert van nekünk egy 'a - b'.

Ha megszorozzuk 'a + b'-vel,

akkor 'a' négyzet, mínusz b négyzetet kapunk.

Ami eltünteti a gyökvonást,

túl sok macera nélkül.

Csináljuk meg.

Szorozzuk meg ennek a konjugáltjával ezt.

De nem szorozhatjuk csak úgy meg. Igaz?

Szorozni és osztani is kell vele.

Mert csak akkor nem fog megváltozni valaminek az értéke,

ha 1-gyel szorozzuk meg.

Szorozzuk meg a konjugáltjával: x négyzet,

meg 4x, meg 1, meg x.

Ez a konjugált.

A mínusz x helyett, plusz x van.

Nem szorozhatjuk meg csak úgy.

1-gyel kell szorozni,

különben az értéke megváltozik.

Ezért ugyanezzel el is osztjuk.

x négyzet, meg 4x, meg 1, meg x.

Hadd töröljem le ezt a cuccot itt lent,

hogy ne terelje el a figyelmünket.

Nem akarom, hogy megzavarjon.

Akkor mink is van nekünk?

Ez lesz a határérték, ahogy az x tart a végtelenbe.

Ez egy 'a - b' szorozva 'b - a'-val.

Így négyzeteket kapunk.

Mi lesz ennek a négyzete?

Ez x négyzet, meg 4x, meg 1, mínusz b négyzet.

Mennyi a b négyzet?

Nos b, az x.

Szóval ez mínusz x négyzet lesz.

Ez csak algebra.

Osztva ezzel: négyzetgyöke az x négyzet,

meg 4x, meg 1-nek, meg x.

Nézzük.

Tudunk némi egyszerűsítést csinálni.

Tudunk kivonni... Tudunk... Ez a két felső tag kiesik.

x négyzet, mínusz x négyzet.

Nézzük mit tehetünk.

Mivel x-et a végtelenhez közelítjük, ez az amit

normális esetben csinálsz, hogy közelíted a végtelenhez.

A számlálót és a nevezőt is eloszhatjuk

a legmagasabb fokú taggal.

Ebben az esetben, a legmagasabb rendű tagunk az x.

Van egy x itt, és egy x itt.

És aztán természetesen, amikor

elosztasz valami ilyesmit x-szel, és x közben tart a végtelenbe,

akkor ez a 0-hoz tart.

Csináljuk ezt.

Osszuk el a számlálót és a nevezőt x-szel.

Ne feledd, mindazt, amint a számlálóval csinálsz,

a nevezővel is meg kell csinálnod.

Különben megváltozik a függvényed értéke.

Szorozva 1/x per 1/x-szel.

Elosztom a számlálót és nevezőt is x-szel.

Ez lesz a határérték, ahogy x tart a végtelenhez,

ez 4 meg 1/x per --

hadd kérdezzek valamit:

mennyi 1/x-szer ez?

Mennyi -- ez olyan mint egy algebra ismétlés, 1/x...

Mennyi 1/x szorozva x négyzet, meg 4x, meg 1?

Itt oldalt fogok számolni.

Vesszük az 1/x-et, és bevisszük a négyzetgyök alá,

akkor az 1 per x négyzet lesz.

Ez megegyezik azzal, hogy 1 négyzet, per x négyzet,

de most csak 1 per x négyzetet írunk.

Mondhatod, hogy 1 négyzet.

Rakhatsz ide egy négyzetet ... szorozva x négyzet,

meg 4x, meg 1-gyel.

Érted nem?

Mert kezdtük ezzel, aminek vehetjük

a gyökét, és kivihetjük a gyök elé,

a gyöke ennek, 1/x.

Most viszont a másik irányba haladok.

Felteszem, hogy nincs ezzel semmi bajod,

ami a gyökjel alá került.

Igaz, hogy eredetileg 1/x-szel osztottuk,

de mivel bevisszük a gyökjel alá,

x négyzettel osztunk.

Ebből -- ez a gyökjel -- x négyzet leszl

osztva x négyzettel, ami 1 lesz. Így van?

Remélem érthető miért osztunk x négyzettel itt.

1/x-szel osztunk.

De amint beviszed a négyzetgyök alá,

az 1/x négyzet lesz.

Hadd magyarázzam el.

1/x szorozva négyzetgyök a-val.

Ez ugyanaz.

Ez egyenlő négyzetgyök

1/x négyzet, szorozva a-val.

És ez éppen 1/x négyzet.

Ez a tulajdonságot, vagy másképp az algebrát használjuk.

Elosztjuk ezt mind x négyzettel.

Ez 1, meg 4/x, meg 1/x négyzet lesz.

És aztán természetesen elosztjuk ezt, ezzel a taggal itt,

x-szel osztjuk. Nemde?

Mivel ez nincs a gyökjel alatt.

Ezért ez 1 lesz.

Mennyi ennek a határértéke, ha x tart a végtelenbe?

Ahogy x tart a végtelenbe, ez a tag itt,

tart a 0-ba.

1/végtelen, az 0.

Ez a tag itt, tart a 0-ba.

Ez a tag itt tart a 0-ba.

Mi maradt nekünk?

Ez egyenlő 4 per négyzetgyök 1 meg 1.

Ez pedig éppen 1.

Így ez egyenlő 4/2-vel, ami egyenlő 2-vel.

Meg is vagyunk.

Most csináljunk még egy feladatot.

Ez a harmadik amit mondott nekem.

Ebben szükség lesz arra, hogy leporoljuk a trigonometria tudásunkat.

Ezek a nehezebb határérték problémák, ezek mind

arról szólnak, mennyire vagy tisztában

az algebrával és a trigonometriával.

Hogy tudjad, hogyan alakíthatod át ezeket a függvényeket.

Mert a határérték része eléggé egyszerű,

ha átalakítod a megfelelő formára a függvényt.

Csináljunk egy trigonometriai feladatot.

Töröljük a táblát.

Fordítsuk meg a színeket.

x tartson a 0-hoz, és ekkor a határértéke a

kotangens 2x-nek.

Ez volt?

Igen.

Kotangens 2x, per koszekáns x.

És ez, mint az előző feladatok mindegyike,

több mint ismerni a pre-calculus, vagy calculus témakörét,

ismerned kell a trigonometriát is.

Koszekáns x.

Ez 1 per szinusz.

Emlékszem, hogy azt mondtam ez nem intuitív.

Gondolhattad, hogy a koszekáns az 1 per koszinusz.

De nem.

Az 1 per szinusz.

Emlékszem, hogy ez nem intuitív.

És a kotangens 2x, egyenlő 1 per tangens 2x.

A tangens pedig szinusz per koszinusz,

ezért a kotangens az ellentettje.

Ez egyenlő koszinusz 2x, per szinusz 2x.

Ok.

Ez mennyivel lesz egyenlő?

Ez lesz a határérték ahogy x közelít a 0-hoz.

Kotangens 2x, azt mondtuk, hogy ez koszinusz 2x, per szinusz 2x.

És ez aztán egyenlő, ez mind, per koszekáns x-szel.

Ez pedig, 1 per szinusz x.

Ha elosztod 1 per szinusz x-szel,

az ugyanaz mint szorozni szinusz x-szel.

Akkor van itt nekünk... mink is van?

Van koszinusz -- van szinusz x, szorozva koszinusz 2x-szel.

Ez mind osztva szinusz 2x-szel.

Egy kis aritmetika következik.

Még mindig van itt egy kis problémánk.

Mert ha x tart a 0-ba, ez a tag itt,

tart a 0-ba, és akkor 0-lesz a nevezőbe,

ami nem elfogadható.

Mert nem lesz értelmezhető.

Ez az oka annak, amiért a határértékkel

foglalkozni kezdtünk.

Az első dolog amivel foglalkozni kellett volna.

Meg kellett volna próbálni behelyettesíteni és

láthattuk volna, hogy 0-t kapunk a nevezőben,

ami miatt nem lett volna értelmezhető.

Rendben.

És akkor még nem is csináltunk

semmi átalakítást az ég világon.

Ez ugyanaz, mint ez.

Ha ebbe behelyettesíted a 0-t, ugyanúgy nem értelmezhető.

Mit tudunk akkor csinálni?

Ez az amikor a trigonometria előtör,

vagy leporolod a memóriádat.

Mennyi a szinusz 2x?

Ez itt a kétszeres -- az egyik "két alfa" formula.

Szinusz 2x, az egyenlő 2 szinusz x koszinusz x.

Ha tudod ezt, akkor sokat segítettél magadon,

mert ezzel viszonylag könnyen lehet egyszerűsíteni.

Ez itt 2 szinusz x koszinusz x lesz.

Ha feltételezzük, hogy x nem 0, csak közelít a 0-hoz,

eloszthatjuk a számlálót és a nevezőt is szinusz x-szel.

Mi maradt?

Maradt a limesz, x tart a 0-hoz,

koszinusz 2x per 2 koszinusz x.

Mennyi koszinusz 0?

Koszinusz 0, az 1.

Koszinusz két nulla, ami nulla, az szintén 1.

Ez itt fent egyenlő 1-gyel, per --

koszinusz 0, az 1 -- per 2-szer 1.

Ez egyenlő 1/2.

Meg is vagy.

Azt hiszem ezek jó kis húsos határérték feladatok voltak.

És ha ezeket ismered, akkor készen állsz mindarra,

amit a matektanár hozzád dobhat feladatként.

Találkozunk a következő előadáson.