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이런 종류의 함수를 생각해봅시다
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이런 종류의 함수를 생각해봅시다
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이것은 분명하게 비선형 함수입니다
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f(x) = 1/(x-1)
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이것이 이 함수의 그래프
혹은 그 일부분입니다
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이것이 이 함수의 그래프 혹은
그 일부분입니다
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만약 특정한 값 근처에서
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이 함수를 일차함수로
근사하려고 합니다
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우리가 할 것은
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어떤 근사를 찾는 것입니다
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우리는 이 함수에 대해
근사를 구하고 싶습니다
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좀더 정확히 말하자면
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일차근사(선형근사)를 구하고 싶습니다
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즉, 이 함수를 어떤 선으로
근사하고자 합니다
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우리는 어떤 일차근사를
구하고자 합니다
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또한 f의 일차근사를 하기 전에
알아야 할 점은
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어디 근처에서 근사하려는지 입니다
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x=-1 근처에서 일차근사를 해봅시다
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이게 무슨 뜻일까요?
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여기 이 그래프를 봅시다
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이 곡선에서 x가 -1일 때
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f(-1)은 -1/2입니다
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여기에 표시를 합시다
다른 색깔로 표시하겠습니다
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우리가 하고싶은 것은
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이 주변을 어떤 직선으로
근사하는 것입니다
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따라서 우리가 본질적으로
하고자 하는 것은
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이 부분을
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접선의 방정식으로 근사하는 것입니다
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접선은 이렇게 생겼을 것입니다
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보시는 것과 같이
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x=-1에서 점점 멀어질수록
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x=-1에서 점점 멀어질수록
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근사한 값은 점점 차이가 납니다
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만약 우리가 x=-1 주변을 본다면
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꽤 괜찮은 근사값을 얻을 수 있습니다
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적어도 이 예시에서는
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굉장히 좋은 일차근사값입니다
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x=-1 근처에서
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일차 근사를 구하라는 것은
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혹은 직선들 중에서
가장 좋은 근사를 찾는 것은
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혹은 직선들 중에서
가장 좋은 근사를 찾는 것은
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본질적으로
x=-1에서
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접선의 방정식을 구하라는 것입니다
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이제 해봅시다
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접선의 방정식을 구하기 위해서는
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직선의 방정식은 y=mx+b입니다
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이 때, m이 기울기이고 b가 y 절편입니다
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이것 말고도 다른 표현 방법을
생각해 볼 수도 있습니다
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표준형으로 표현하는
방법을 생각해보면
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y 빼기 어떤 직선 위의 점의 y좌표 y₁
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이 기울기 곱하기 x 빼기
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그 점의 x좌표 x₁과 같다고
쓸 수도 있습니다
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여기서 (x₁, y₁)은 어떤 직선위의 점입니다
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저는 이런 표준형을
이런 형태로 쓰는걸 더 선호합니다
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(y - y₁) / (x - x₁) = b
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(y - y₁) / (x - x₁) = b
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이 형태가 조금 더 직관적이기 때문입니다
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만약 (x₁, y₁)이 직선 위의 점이라면
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직선 위의 다른 임의의 점과의 기울기가
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그 직선의 기울기가 될 것입니다
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이 표현들 중 어떤 것을
사용해도 괜찮습니다
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먼저 접선의 기울기를 구해봅시다
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이 때, 도함수가 유용하게 사용됩니다
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여기에 f(x)를 다시 적어봅시다
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이를 (x-1)의 -1제곱으로 쓰겠습니다
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이를 (x-1)의 -1제곱으로 쓰겠습니다
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이렇게 쓴다면
조금 더 명확히 거듭제곱의 법칙과
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연쇄법칙을 사용할 수 있습니다
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f를 x로 미분한 도함수는
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즉, (x-1)의 -1제곱의 도함수를 구하기 위해
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x-1로 먼저 미분하겠습니다
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여기서 거듭제곱법칙을 사용하면
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-1 곱하기 (x-1)의 -2제곱이 됩니다
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그리고 여기에
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x-1을 x로 미분한 값을 곱해야 합니다
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이는 그냥 1입니다
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x를 x로 미분하면 1이고
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-1을 x로 미분하면 0입니다
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따라서 이 뒤에 1이 곱해진다고
할 수 도 있고
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혹은 이것이 값을
변화시키지는 않기 때문에
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그냥 쓰지 않을 수도 있습니다
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그럼 이제 x가 -1일때 계산해봅시다
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f'(-1)은
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여기에 쓰겠습니다
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분자는 -1이고
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분모는 (-1-1)²가 됩니다
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따라서 이는 -1/4가 됩니다
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즉, 우리의 접선의 기울기는
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m = -1/4입니다
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m = -1/4입니다.
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이제 우리는
전체 방정식을 구해야 합니다
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우리는 이미 직선 위의
점 (x₁, y₁)을 알고 있습니다
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우리가 사용할 직선위의 점은
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x가 -1일 때의 직선위의 점입니다
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우리는 그점의 x좌표가
-1이라는 것을 알고있고
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여기에 -1을 대입하면
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f(-1)은 -1/2 입니다
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f(-1)은 -1/2 입니다
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우리는 (-1, -1/2)가
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우리의 곡선 위에도 있고
직선 위에도 있는
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접선과 곡선이 만나는 점임을
알고 있습니다.
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접선과 곡선이 만나는 점임을
알고 있습니다
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따라서 우리는 이것들 중
하나의 방법을 이용하여
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직선의 방정식을 쓸 수 있습니다
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y
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y 빼기 y₁, 즉 -1/2
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이 다음과 같습니다
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기울기 -1/4
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여기서는 표준형을 사용하겠습니다
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기울기 곱하기 x - x₁
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x - x₁ 혹은 x좌표
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즉, -1
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이 전체를 다른 색으로 써보겠습니다
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y +1/2 =
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여기 이것이 +1이 되고
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이 -1/4를 분배법칙을 사용하면
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-1/4 x 빼기 1/4 입니다
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양변에서 1/2을 뺀다면
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y = -1/4 x
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여기 이미 1/4를 뺐기 때문에
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여기서 1/2을 더빼게 되면 -3/4입니다
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-3/4
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이는 여기에 그린것과 꽤 비슷합니다
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이 직선은 y축과 -3/4에서
교차할 것입니다
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따라서 이 직선은
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혹은 이 방정식은
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굉장히 좋은 일차 근사가 됩니다
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x=-1 근처에서 이 비선형 함수를
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일차 근사한 것중엔
가장 좋은 근사일 것입니다
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처음부터 x=-1에서 접선의 방정식을
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구하라고 하면 되는것 아니냐는
의문을 가질 수도 있습니다
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그럴 수도 있겠지만
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여기에는 약간 다른 뉘앙스가 존재합니다
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다만 여기에서는
접선의 방정식을 사용하여
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x=-1 근처에서 이 함수를
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근사 할 수 있는 것으로 생각합시다
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